(no subject)

[leblon]

ОК, основы теорфизики - это нереалистично, вычеркиваем.

Какие могут быть более реалистические цели?

Вариант 1-й. Классическая и квантовая механика с геометрической точки зрения, включая интеграл по траекториям. Это все уже есть в монографиях, в общем-то, даже без тензорных индексов. За исключением двух вещей: калибровочных симметрий (метод БРСТ) и систем с суперсимметрией. По ним есть либо обзоры, либо изложения "с индексами". На самом деле, суперсимметричная квантовая механика тесно связана с теорией Ходжа и методом уравнения теплопроводности в теории индекса эллиптических операторов, которые прекрасно изложены в разных книжках, но интерес представляет как раз переход от классической к квантовой суперсимметричной механике.

Вариант 2-й. Классическая механика и классическая теория поля, с уклоном в суперсимметричные и топологические теории поля. Осовременненный Дубровин-Новиков-Фоменко, в общем. Кроме классической механики суперсимметричных систем, можно описать кучу важных примеров теорий поля: сигма-модели, супер-Янг-Миллс и топологические калибровочные теории. Всякие естественные уравнения (инстантонные, монопольные) тоже естественно включаются. Но если за бортом оставить квантование, то исчезает мотивация все это хозяйство изучать: приложения все основаны на функциональном интеграле. Или не исчезает? Мотивация может быть и "внешней" по отношению к книге.

Вариант 3-й: Какая-то комбинация 1 и 2. Надо как-то ухитриться придать смысл функциональному интегралу в теориях поля, хотя бы в топологических. Например, в качестве определения можно взять рецепт вычисления методом локализации. Сомнительно, что это можно сделать в общем виде. Да и в специальных примерах это сделать непросто. И это будет очень длинно. Нет, без общего понятия функционального интеграла это бессмысленное занятие.

Comments

[sowa.livejournal.com]

"Так в математических статьях такое тоже сплошь да рядом."

Да нет, такое попадается очень редко. Пожалуй, я не читал ни одной работы, в которой бы такое было, не говоря уже о "сплошь и рядом" - а мне приходилось читать работы и по алгебре, и по геометрии, и по анализу. А вот если открыть почти любую физическую работу - там оно есть. Математические работы можно отличать о теорфизических визуально - есть индексы или нет.

Получается, у Вас есть два тензора с геометрическим смыслом, из которых в сварганили третий. Геометрического смысла его Вы не знаете. Видимо, это означает, что либо Вы еще как следует не разобрались в том, что Вы делаете, либо у него какой-то другой смысл, не геометрический, которым Вы не хотите поделиться.

Смотрите, как быстро Вы перешли на тут позицию физиков, на которую я жаловался: мы делаем так, иначе мы не можем, а вы, математики, приспосабливайтесь.

Физики вправе занимать какую угодно позицию. Но когда физик пишет в таком духе статью, явно адресованную математикам, или интересуется, какого сорта книга была бы полезна математикам, и отвергает пожелания - его позиция внутренне противоречива.

Вы беседуете с реальным математиком, который, так уж сложилось, почти всю свою профессиональную жизнь интересовался связями с физикой. Однако реализация этого интереса всегда требовала посредников, за одним исключением. У Виттена есть несколько работ, написанных так, что они понятны математикам - их можно читать. И в них нет индексов. Из чего я делаю оптимистический вывод - "могут ведь, если захотят". А для меня лично дело обстоит так - текст с индексами я заведомо читать не буду.

[chaource.livejournal.com]

Будетъ ли математику понятно, если сначала сказать, въ чёмъ смыслъ тензора C (можетъ это проекція тензора R на пространства, ортогональные чему-то тамъ), а потом просто написать эту формулу съ индексами?

У меня была очень похожая ситуація на то, что описываетъ leblon. Я хотѣлъ сдѣлать курсъ по общей теоріи относительности безъ индексовъ. Основнымъ содержаніемъ курса были симметріи, причинные горизонты и теоремы о сингулярности. Въ основномъ вся дифф. геометрія, необходимая для этого матеріала, прошла безъ индексовъ, хотя пришлось основательно поработать съ производными Ли, формами, и потоками векторныхъ полей. Но потомъ пришлось придумать собственное обозначеніе для свёртки тензоровъ по какимъ-либо заданнымъ индексамъ. Обозначеніе такое: пусть A, B - тензоры, тогда можно воспользоваться метрическимъ тензоромъ, чтобы представить ихъ какъ функціи A(a,b,...) и B(c,d,...), которыя линейны по векторамъ a,b,c,d,..., и теперь пишемъ

C(b,..., d, ...) = Tr _x A(x,b,...) B(x,d,...)

- это означаетъ, что сначала AB разсматривается какъ полилинейная функція отъ a\otimes b \otimes c \otimes d \otimes ..., а затѣмъ вмѣсто a \otimes b подставляется обратный метрическій тензоръ (элементъ V \otimes V).

Такое обозначеніе явно указываетъ, въ какіе тензорные индексы что подставляется, и позволяетъ вычислять на бумагѣ, т.е. не держа въ умѣ огромнаго числа деталей. Пришлось написать цѣлый сводъ правилъ работы съ этимъ обозначеніемъ, чтобы можно было быстро дѣлать вычисленія. Послѣ этого почти всё удалось сдѣлать достаточно легко безъ индексовъ, за исключеніемъ вывода уравненій Эйнштейна изъ функціонала дѣйствія. Тамъ нужны двойные свёртки тензоровъ, и расчёты съ объектами вида Tr _ x Tr_ y (...) становятся уже слишкомъ громоздкими по сравненію съ индексными обозначеніями. Однако выводъ теоремъ о сингулярности получился проще, чѣмъ въ стандартной литературѣ.

[chaource.livejournal.com]

Вотъ примѣръ использованія моего обозначенія: Если R(a,b,c,d) это тензоръ кривизны, понимаемый какъ полилинейная функція четырёхъ векторовъ a,b,c,d, то тензоръ Риччи опредѣляется так: Ric(x,y)=Tr_a R(a,x,a,y).

[leblon.livejournal.com]

Хорошее обозначение! На самом деле, "абстрактный индекс" Пенроуза - это то же самое, что и Ваше предложение: просто вы заменили индекс на элемент a векторного пространства. Ну и еще вместо эйнштейновского соглашения о суммировании по повторяющимся индексам явно пишите Tr. Т.е. с моей точки зрения, разница со стандартными индексными обозначениями небольшая. Интересно, математикам такая система кажется приемлемой?

[chaource.livejournal.com]

Думаю, что математики не будутъ возражать, потому что не используются какіе-либо базисы и не производится "суммированіе" по индексамъ. Tr _x это, какъ и у Пенроуза, вовсѣ не суммированіе по х.

Дѣйствительно, въ формализмѣ Пенроуза всё гладко. Но часто приходится писать нагроможденіе индексовъ, и оно выглядитъ уродливо. Напримѣръ, докажемъ, что производная чего-то тамъ вдоль геодезической равна нулю: 2\nabla _x g(x,x)=g(\nabla_x x, x)=0. Въ индексахъ будетъ втрое больше писанины въ такихъ вопросахъ.

Проблема съ Пенроузомъ въ томъ, что физики привыкли писать нековаріантные объекты съ такими-же индексами, какъ и коваріантные, а формализмъ Пенроуза не различаетъ ихъ. Строго говоря, символъ Кристоффеля вообще нельзя записать въ формализмѣ Пенроуза, т.к. это не тензоръ. Однако начинаются разныя оговорки ("переходимъ въ локально инерціальную систему координатъ" и т.д.), послѣ чего символъ Кристоффеля временно притворяется тензоромъ, а нужно это для того, что дѣлать вычисленія безъ символа Кристоффеля не всегда привычно - всегда можно, но не всегда легко или даже невозможно безъ опредѣлённаго набора новыхъ мелкихъ вычислительныхъ трюковъ. Трюки, нужные для индексовъ, уже извѣстны, а трюки для безъиндекснаго формализма неизвѣстны.

[posic.livejournal.com]

Я бы, может быть, модифицировал обозначения chaource таким образом: Ric(x,y)=g^{-1}(a^*,b^*)R(a,x,b,y). Подразумевая сворачивание по соответствующим переменным из двойственных пространств, обозначаемым какой-то буквой и той же буквой со звездочкой. Это длиннее, но зато зависимость от метрического тензора представлена в явном виде. В ситуации, когда зависимость от g не играет роли, можно упростить все это до чего-то вроде Ric(x,y)=R(a',x,a'',y). Оно и коротко, и вроде бы понятно.

Так или иначе, мне кажется, что преимущество такого рода обозначений перед обозначениями с индексами должно проявиться в момент перехода к дифференциальной геометрии. Где, кроме тензоров, есть еще связности, коммутаторы векторных полей, дифференциалы де Рама, производные Ли, и т.п. объекты, нелинейные над кольцом функций. Потому что если для меня R -- это R(x,y,z,w), то и \nabla для меня -- это \nabla_x(y), и у меня есть Lie_x(...) и [x,y], и (d\omega)(x,y) (для 1-формы \omega) дается известной формулой, и т.д.

А вот если для меня R = R_{ijkl}, то \nabla для меня -- это ужасные символы Кристоффеля, а дифференциал де Рама, производная Ли и коммутатор векторных полей даются просто в явными формулами в координатах. Похоже, что все нелинейные, но инвариантные понятия дифференциальной геометрии в индексных обозначениях перестают существовать, как понятия, превращаясь в загадочные формулы, по загадочным причинам сохраняющие смысл при заменах координат.

[chaource.livejournal.com]

Да, всѣ студенты-физики именно такъ и видятъ дифф. геометрію - какъ нѣкій ужасный наборъ сложныхъ индексныхъ формулъ, по таинственной причинѣ необходимыхъ въ общей теоріи относительности (ОТО). Типичное упражненіе - "вотъ формула для Х_{ijk}, покажите, что это тензоръ и что онъ симметриченъ по i,j."

Меня забавляетъ, что въ современныхъ физическихъ книгахъ по ОТО бываетъ обширное введеніе, гдѣ даются всѣ объекты дифф. геометріи - векторное поле, формы, связности вообще и связность Леви-Чивита, крученіе, кривизна, коммутаторы, дифференціалы, производная Lie, Cartan's orthonormal frames - и всё въ индексахъ. А потомъ ничего изъ этого никогда не используется, а всѣ вычисленія, нужные въ ОТО, даются какъ обычно - въ индексахъ и безъ геометрическаго смысла.

А вотъ анекдотъ почти изъ жизни. "Векторомъ называется наборъ n компонентъ, которые преобразуются по такой-то формулѣ при замѣнахъ базиса. Базисомъ называется наборъ n векторовъ, компоненты которыхъ образуютъ невырожденную матрицу."

[sowa.livejournal.com]

"Будетъ ли математику понятно, если сначала сказать, въ чёмъ смыслъ тензора C (можетъ это проекція тензора R на пространства, ортогональные чему-то тамъ), а потом просто написать эту формулу съ индексами?"

Во всяком случае, будет понятнее.

Ваши обозначения выгладят привлекательно. Я подозреваю, что Tr выбрал не случайно, и это чей-то след - со следами удобно работать. Еще я думаю, что если бы двойные свертки были нужны не только в одном месте, то Вы бы и для них составили свод правил, позволяющий с ними легко работать.

[chaource.livejournal.com]

Да, конечно, Tr - это слѣдъ, переписанный такъ, чтобы явно обозначить пространства, по которымъ онъ берётся.

[leblon.livejournal.com]

Почему Вы решили, что я отвергаю пожелания математиков? Я как раз разобраться хочу, чего они хотят.

Я не имел в виду, что в математических статьях часто встречаются индексы. Я имел в виду, что часто бывает такое: "Определим объект А формулой ...., тогда он удовлетворяет следующим свойствам ..." Никакого геометрического или какого другого смысла не предлагается. Конечно, хорошо было бы, чтобы все формулы можно было объяснить "концептуально". Но не всегда получается.

Что касается индексов, то это просто такая система обозначений. Пенроуз, например, в своей книжке с Риндлером, объясняет, как про них надо думать абстрактно (т.е. не думать, что индекс j принимает какие-то конкретные числовые значения). Значит, некоторые математики способны преодолеть психологический барьер и привыкнуть к этой системе обозначений. Если, как Вы говорите, многие математики этого сделать не способны или не желают, я бы хотел узнать, какая есть альтернативная система обозначений. Насколько я знаю (и как видно из комментария posic), стандартной системы нет. Возможно потому, что современные математики не любят включать в статьи подробные вычисления и оставляют их "за кадром"?

Кстати, Виттен совершенно не стесняется использовать индексные обозначения там, где нет стандартных безиндексных.

[sowa.livejournal.com]

"Я как раз разобраться хочу, чего они хотят."

Ну вот первое - никаких индексов. Просто переписать физический текст без индексов - это уже будет полезно. Разумеется, формулы "просто" не перепишутся, придется думать над тем, что они значат, и это, вероятно, приведет к некоторой реорганизации изложения, которая тоже будет полезна для математиков.

Индексы - это экстремальный пример формул без смысла. В математике встречаются не столь экстремальные примеры - обычно это дефекты изложения. Человек торопился, и ему было проще написать "это стандартная конструкция" (что неправда), нежели написать, что это значит. Это хорошо заметно, когда текст используется для преподавания, а не для работы - студентам так не скажешь. У Вас же речь идет не о research paper, а "просветительском" тексте, который должен быть максимально приспособлен к целевой аудитории, а не к Вашим привычкам.

"Что касается индексов, то это просто такая система обозначений."

Да, конечно. Очень плохая, потому математики от нее и отказались почти полностью (она неизбежна только в очень неестественных и неконцептуальных рассуждениях - но физики предтендуют на естественность своих теории, они не супертрудные олимпиадные задачи решают, насколько мне известно).

Я не понимаю, как книжка Пенроуза с Риндлером может что-то значить о математиках. Пенроуз - минимум наполовину физик. И в этой книжке он попытался остановиться где-то посередине. Вроде бы его обозначения не стали общепринятыми.

"...я бы хотел узнать, какая есть альтернативная система обозначений."

С одной стороны, я тут привел примеры, основанные на Ваших. С другой стороны, я уверен, что Вы (лично Вы) это знаете. Вы общаетесь с математиками, я думаю, что Вы используете чисто математические работы, бываете на математических докладах, и наверняка заглядывали в книги по дифференциальной геометрии (кроме Новикова и Ко.).

"Возможно потому, что современные математики не любят включать в статьи подробные вычисления и оставляют их "за кадром"?"

Это зависит о стиля данного математика, области, характера работы и т.д. Я включают в свои работы даже самые тривиальные вычисления - я считаю, что оставлять читателю самую занудную часть работы нечестно.

Вычисления с индексами были бы терпимы в структурированном тексте: сформулирован, в нормальной форме, некий результат, затем идет доказательство, которое автор не умеет писать без индексов. Тогда индексы находятся в изолированном блоке, который можно пропустить. Вообще, нестественные средства в доказательствах более допустимы, нежели в формулировках.

"Кстати, Виттен совершенно не стесняется использовать индексные обозначения там, где нет стандартных безиндексных."

Я и не утверждал, что стесняется. Поэтому большую часть его продукции читать нельзя. Но когда он хотел, он писал без индексов, и эти его работы читаются как математические работы без доказательств.

[sowa.livejournal.com]

Да, посмотрел, что написал posis. Полностью согласен. Он предложил пару систем обозначений, разумных. А вот Кловис прекрасно проиллюстрировал его замечание, что у физиков много стандартных обозначений, которые они не хотят объяснять, даже когда пишут якобы для математиков. Откуда мне знать, что греческие буквы сверху обозначают одно, а снизу - другое? Да я просто никогда не смогу (и не смог бы и в юношеские годы) запомнить, что снизу, а что сверху.

Правило суммирования Эйнштейна просто шокирует. Неужели так жалко (чернил, мела, типографской краски, памяти компьютера), чтобы явно написать знак суммирования?

[chaource.livejournal.com]

Думаю, что жалко - писать передъ каждой формулой 3-4 знака суммированія, тѣмъ болѣе, что тамъ на дѣлѣ нѣтъ никакого суммированія, а просто есть свёртки по парамъ типа V V*.

Физики запоминаютъ такія вещи, какъ индексъ вверху-внизу или 4 разныхъ обозначенія для скалярнаго произведенія векторовъ (\vec a \cdot \vec b,

[Error: Irreparable invalid markup ('<a|b>') in entry. Owner must fix manually. Raw contents below.]

Думаю, что жалко - писать передъ каждой формулой 3-4 знака суммированія, тѣмъ болѣе, что тамъ на дѣлѣ нѣтъ никакого суммированія, а просто есть свёртки по парамъ типа V V*.

Физики запоминаютъ такія вещи, какъ индексъ вверху-внизу или 4 разныхъ обозначенія для скалярнаго произведенія векторовъ (\vec a \cdot \vec b, <a|b>, a_\mu b^\mu, \bf a^T \bf b ), путёмъ продѣлыванія многихъ вычисленій при изученіи стандартныхъ курсовъ теорфизики. Если этого не продѣлать - запомнить эту чушь практически невозможно. Если продѣлать, но безъ осознанія (т.е. какъ это обычно преподаютъ) - есть опасность, что у будущихъ физиковъ не возникнетъ сразу пониманія, напримѣръ, что обозначеніе <a|b> можно примѣнять не только для квантовой механики.

[sowa.livejournal.com]

Да нет, не нужно писать 3-4 знака суммирования. Больше одного бывает нужно крайнет редко, так же как и 4 знака интеграла подряд ни один нормальный математик не пишет. \Sum_{i,j,k}, можно даже не указывать пределы суммирования, если они ясны из контекста.

Разница смысла вверху-внизу трудна для запоминание, потому что она бинарная. Как право-лево. Какова стандартная ориентация плоскости - по или против часовой стрелки? Я не знаю, и поэтому каждый раз говорю, какая у меня. Может, долгая практика помогает, но ожидать от математика, что он ей займется, не стоит.

[chaource.livejournal.com]

А вотъ вопросъ для математика. Дѣйствительно, въ математической литературѣ часто даются опредѣленія новыхъ объектовъ безъ объясненія. Въ физической литературѣ даются "псевдо-опрѣделенія" новыхъ объектовъ, т.е. написаны нѣкіе формулы и показаны примѣры работы съ ними. Математикъ жалуется, что нехватаетъ чёткихъ опредѣленій. Физикъ жалуется, что нехватаетъ объясненій.

Вѣрно-ли, что въ математической литературѣ такъ пишутъ потому, что предполагается, что читатель самъ поймётъ, для чего вводится то или иное опредѣленіе?

Мой нелюбимый функціональный анализъ изобилуетъ опредѣленіями - операторъ бываетъ bounded, closed, compact, continuous, self-adjoint, essentially self-adjoint, semicontinuous, lower semicontinuous, etc.etc. Запомнить это для физика такъ же невозможно, какъ и для математика запомнить, что означаютъ греческія буквы внизу и вверху. Почему возникла такая проблема и гдѣ рѣшеніе?

[sowa.livejournal.com]

На самом деле в обоих случаях не хватает объяснений. Что значит формула? Зачем введен какой-то объект?

В том, что касается математики, мы возвращаемся к недавно обсуждавшейся проблеме мотивировок (у posic'а и avva'ы).

На самом деле, основые понятия мотивируются. А остальные являются средством для их изучения, и математики привыкли к тому, что некоторые определения появляются поначалу чисто техническими, как нужные для решения задачи. Например, Галуа определил группы (перестановок), как некие хитроумные таблицы. Была у него какая-нибудь мотивировка, подобная той, которыю сейчас будут рассказывать школьникам или физикам (про симметрии всякие, картинки симметричные)? Нет. Мотивировка была одна - с помощью этих таблиц он решил классическую задачу.

Большинство "мотивировок" выдумываются задним числом, и не имеют никакого отношения к настоящим.

Мое знание этих классов операторов заканчивается на essentially self-adjoint, при этом я озадачен присутствием и bounded, и continuous - я думаю, что это одно и тоже. Continuous для математика не нуждается в мотивировке, closed - техническое понятие, все компактное полезно - это такой опыт, а все касающееся самосопряженности (неограниченных операторов) мотивируется дифференциальными уравнениями. И излагать эту тему надо с примерами таких дифференциальных операторов (и таких, которые несамосопряжены, но симметричны) - иначе этого действительно не понять. Это на самом деле тонкое понятие. Но для физика оно должно быть естественным, казалось бы - самосопряженность оператора означает, что граничные условия выбраны правильно (могут иметь физический смысл). Когда я учился, я просто не понял, что это и зачем. Но, скажем, у Рида-Саймона это довольно понятно написано.

[posic.livejournal.com]

Я бы сказал, что по мотивировкам определения делятся на два типа: претендующие на естественность и претендующие на полезность. Эти два класса сильно пересекаются, но есть и ярко выраженные представители обоих типов. Эта классификация субъективна (как и все, что связано с мотивировками) и зависит от времени. Определение, продемонстрировавшее высокую полезность, начинает рассматриваться как естественное, а вместе с ним -- и многие аналогичные ему определения.

Бывает и особый случай -- определение, претендующее на решение задачи, состоящей в том, чтобы придумать определение с определенными свойствами. Это часто очень важные определения.

Выяснять, как связаны между собой различные более-менее естественные определения -- типичное занятие математиков. Это далеко не самые интересные из возможных задач, но до определенного предела они рассматриваются, как заслуживающие внимания, и нередко их решение необходимо для развития теорий.

(Вот я написал длинный текст про полубесконечную гомологическую алгебру, и там комплекс коплоских комодулей является коплоским комплексом комодулей, но комплекс полуплоских полумодулей не является полуплоским комплексом полумодулей. Из четырех фигурирующих в последней фразе определений первое и четвертое абсолютно необходимы, третье полезно, а второе рассматривается для полноты картины как условно-естественное в контексте остальных трех.)

Читатель поймет, для чего вводится какое-то определение, когда прочитает опирающиеся на него дальнейшие определения, а в особенности -- зависящие от этого определения формулировки теорем. Определения, не упоминающиеся в формулировках результатов, а только в доказательствах, являются менее важными (если текст хорошо написан).

Практически, если читатель, читая математический текст подряд, упирается в определение, которое он само по себе не может удержать в голове целиком, то оно, видимо, существенным образом зачем-то нужно. Если же читатель обнаруживает много определений, по раздельности понятных, но не запоминающихся в совокупности, ему можно посоветовать перестать читать одни только определения и изучить формулировки теорем, а также хотя бы некоторые из доказательств.

Если и после этого читатель не может понять, зачем все это нужно, ему пора вспомнить о том, зачем он взялся читать данный текст и что он рассчитывает в нем найти.

Проблема физика состоит, видимо, в том, что математика состоит прежде всего из определений, на которые опираются доказательства. В то время, как привычная физику теоретическая физика состоит из чего-то другого -- из вычислений и правил их интерпретации, возможно. Тебе виднее, из чего.

[chaource.livejournal.com]

Всё-таки получается, что читатель математическаго текста обязанъ провести мѣсяцъ-другой, пытаясь выловить интуитивно понятный смыслъ всѣхъ этихъ опредѣленій и теоремъ. Почему-бы не сформулировать этотъ смыслъ прямо въ текстѣ? Я думаю, авторы экономятъ своё время, за счётъ времени читателя.

Въ 19-мъ вѣкѣ книгъ вообще было мало, и люди обычно читали всѣ книги по своей области, причёмъ медленно и вдумчиво. Оттуда пошёлъ стиль научныхъ книгъ-романовъ, которые надо обязательно читать сначала до конца. Сегодня этотъ стиль невозможно осуществить: никакихъ силъ не хватитъ.

[posic.livejournal.com]

Математики не знают такой вещи, как интуитивно понятный смысл определений и теорем. Об этом не пишут в статьях-книгах; об этом не рассказывают на лекциях-семинарах; это не обсуждают в частных беседах. Этих сведений просто не существует.

Бывают редчайшие исключения, кочующие из текста в текст. Мне вспоминается сейчас одно: всюду написано, что плоский морфизм (алгебраических многообразий) -- хорошая формализация интуитивной идеи непрерывного семейства многообразий. (Этот пример характерен тем, что определение плоского морфизма не имеет к интуитивной идее непрерывного семейства ни малейшего отношения; и в то же время оно очень естественно, но на другом уровне.)

Как, видимо, и любая другая интуиция, интуиция в математике не передается вербально. Ее каждый вырабатывает для себя сам. Собственно, ты же сам любишь говорить, что слова о физическом смысле тех или иных вычислений в учебниках физики не особенно полезны.

Математические статьи и книги не обязательно читать от начала до конца. В случае статьи или монографии, можно ограничиться введением; в случае учебника -- параграфом или главой, в которых содержатся интересующие определения и результаты. В последнем случае придется, правда, возвращаться назад по ссылкам.

Видимо, по мере устаревания материала количество неформальной информации, содержащейся в его изложениях, уменьшается. Мотивировки перестают быть актуальными; мечтания осуществляются или забываются. Новые поколения принимают созданный предшественниками предмет как данность, как нечто не живое, но законченное.

Изучать математику по новым учебникам проще, чем по старым монографиям, но последние могут быть интереснее. Возможно, оптимальный вариант -- это первый учебник, написанный, когда предмет уже сложился, но дух того времени, когда он рождался, еще не угас. Для выборочного чтения могут быть более подходящими поздние изложения.

Что мне особенно трудно себе представить, так это книгу по математике, удобную для использования в качестве справочника, но содержащую много неформальных соображений. Если бы кто-нибудь вздумал написать такой текст, он принес бы этим гораздо больше вреда, чем пользы. Лучше не знать о каком-то предмете ничего, чем знать много непродуманной полуправды.

У моей бабушки где-то лежит издание "Войны и мира", где каждой главе предпослан абзац текста мелким шрифтом, кратко излагающий ее содержание. Должно быть удобно для облегченного прохождения школьных уроков литературы, но вряд ли для какой разумной цели.

[chaource.livejournal.com]

Я понимаю, о чёмъ ты говоришь. Каждый человѣкъ, изучающій математику, изобретаетъ для себя какія-то интуитивныя представленія, но эти представленія не являются предмѣтомъ математики и не считаются универсально полезными. Болѣе того, такія интуитивныя представленія ("векторъ это направленный отрѣзокъ прямой линіи") могутъ быть препятствіемъ къ дальнѣйшему развитію математической теоріи.

Въ физикѣ это не такъ: поскольку главнымъ содержаніемъ являются вычисленія и приёмы полученія конкретныхъ результатовъ, то главная цѣль - запомнить всѣ эти трюки. Поэтому изъ книги въ книгу кочуютъ именно неформальныя, иногда плохо продуманныя, разсужденія, которые служатъ лишь мнемоническимъ пріёмомъ, помогающимъ запоминать вычисленія. Напримѣръ, физики обычно не изучаютъ жорданову форму матрицъ. Они изучаютъ собственные векторы два раза: сначала для конечномѣрныхъ матрицъ - сначала въ курсѣ механики, въ раздѣлѣ теоріи колебаній, а потомъ собственные векторы операторовъ въ гильбертовомъ пространствѣ - въ квантовой механикѣ. Используются въ этихъ двухъ мѣстахъ совершенно разныя обозначенія для векторовъ, и не подчёркивается тотъ фактъ, что въ первомъ случаѣ всегда бываетъ симметричный операторъ (и слѣдовательно діагонализація гарантирована), а во второмъ случаѣ діагонализація можетъ быть невозможной и вообще существованіе собственныхъ векторовъ какого-либо оператора ещё провѣрить надо - ихъ можетъ не быть совсѣмъ. Въ книгахъ часто просто предполагается само собой разумѣющимся существованіе собственныхъ векторовъ. У меня такое впечатленіе, что въ результатѣ многіе физики просто не знаютъ, что не всѣ матрицы и не всѣ операторы діагонализуются.

Я когда-то придумалъ, какъ объяснить таинственный "физическій смысл".

Физическимъ смысломъ величины X называется такое слово, которое помогаетъ намъ запомнить всѣ извѣстныя уравненія теоретической физики, въ которыхъ присутствуетъ Х. Это множество конечно, и въ каждомъ уравненіи Х обозначаетъ какую-либо (вездѣ одну и ту же) физическую величину ("энергія", "частота" и т.д.). Формально можно просто опредѣлить "физическій смыслъ" какъ конечное множество уравненій, гдѣ есть Х.

[marina_p]

"Математические работы можно отличать о теорфизических визуально - есть индексы или нет"

Кажется, я не математик... У меня во всех (по крайней мере последних, раньше просто не помню) работах по PDE есть индексы. И не очень понятно, как без них обойтись, не усложняя очень сильно (так, что целевая аудитория не станет даже и смотреть дальше)... Хотя я пыталась, где можно (в частности, как только появляется метрика, индексы сразу можно засунуть туда). Может, это специфика области, а я просто привыкла.

[sowa.livejournal.com]

Я Вам скажу по секрету: такое бывает не только у Вас. Есть работы, в которых нужно делать локально сложные вычисления, именно в PDE. Ну а если индексы можно засунуть в метрику - это не настоящие индексы.

[marina_p]

Так они у меня везде не очень настоящие -- надо описать большие классы уравнений, я говорю, что это уравнения, которые локально имеют такой-то вид (и коэффициенты в этой записи даже тензорами не являются). Но мне не кажется, что от этого теряется понимание. А никаких сложных вычислений там как раз нет, кроме одного доказательства (но вот в нём я бы без индексов точно не обошлась).

И суммы по повторяющимся индексам я пишу без значка суммы...

[sowa.livejournal.com]

"Но мне не кажется, что от этого теряется понимание."

Ну еще бы. Вы же не пишете намеренно непонятно, и физики тоже.

"И суммы по повторяющимся индексам я пишу без значка суммы..."

А это уже совсем нехорошо... :-)

Может, лучше не надо? Вы же можете писать без индексов, я точно знаю.

[marina_p]

Да вот как-то в этом месте не получается. Попробовала сейчас написать без индексов -- потребуется куча дополнительных слов и объяснений, и создастся дополнительный барьер для тех, кто с расслоениями, сечениями и струями не очень знаком (а те PDE-шники, с которыми я общалась на конференциях, в основном совсем не знакомы). Сейчас у меня это есть только в определениях и немного в доказательствах, а основная часть (формулировки всех результатов) от этих вещей свободна (а у главного определения есть простой наивный вариант, на пальцах, достаточный для того, чтобы читать дальше). Боюсь, что если весь текст будет переписан без индексов, его вообще никто никогда не прочитает. Не то чтобы сейчас его много кто прочитал...

В общем, я физиков в чём-то понимаю :-)