(no subject)

[leblon]

ОК, основы теорфизики - это нереалистично, вычеркиваем.

Какие могут быть более реалистические цели?

Вариант 1-й. Классическая и квантовая механика с геометрической точки зрения, включая интеграл по траекториям. Это все уже есть в монографиях, в общем-то, даже без тензорных индексов. За исключением двух вещей: калибровочных симметрий (метод БРСТ) и систем с суперсимметрией. По ним есть либо обзоры, либо изложения "с индексами". На самом деле, суперсимметричная квантовая механика тесно связана с теорией Ходжа и методом уравнения теплопроводности в теории индекса эллиптических операторов, которые прекрасно изложены в разных книжках, но интерес представляет как раз переход от классической к квантовой суперсимметричной механике.

Вариант 2-й. Классическая механика и классическая теория поля, с уклоном в суперсимметричные и топологические теории поля. Осовременненный Дубровин-Новиков-Фоменко, в общем. Кроме классической механики суперсимметричных систем, можно описать кучу важных примеров теорий поля: сигма-модели, супер-Янг-Миллс и топологические калибровочные теории. Всякие естественные уравнения (инстантонные, монопольные) тоже естественно включаются. Но если за бортом оставить квантование, то исчезает мотивация все это хозяйство изучать: приложения все основаны на функциональном интеграле. Или не исчезает? Мотивация может быть и "внешней" по отношению к книге.

Вариант 3-й: Какая-то комбинация 1 и 2. Надо как-то ухитриться придать смысл функциональному интегралу в теориях поля, хотя бы в топологических. Например, в качестве определения можно взять рецепт вычисления методом локализации. Сомнительно, что это можно сделать в общем виде. Да и в специальных примерах это сделать непросто. И это будет очень длинно. Нет, без общего понятия функционального интеграла это бессмысленное занятие.

Comments

[posic.livejournal.com]

Написали, значит. Это получается такая американская версия советского пятитомного математического словаря (где, конечно, никаких этих неформальных объяснений не было).

Высосали из пальца несуществующую информацию об интуитивном смысле понятий. Что ж, выше объяснено, почему мне не кажется это удачной идеей. По-моему, такие вещи могут быть сильно misleading.

[avva.livejournal.com]

Я, наверное, не понял, почему вы считаете такую информацию несуществующей, а книгу - вредной.

Выше вы пишете, что информация не существует де-факто в книгах, статьях итд., и что каждый математик вырабатывает ее сам для себя по мере чтения книг, статей итд. Но это не значит, что ее не существует вообще - всего лишь что она (обычно) не записывается. Если разные математики, работающие в одной области, в целом могут придти к согласию (в неформальных беседах итд.) об интуитивном смысле понятий, об общей картине области, о мотивации тех или иных главных результатов/определений, то, очевидно, такая информация есть и ее можно записать.

Почему же вредно иметь ее записанной? Вы говорите - чтобы не создать опасной иллюзии понимания там, где настоящего понимания нет. Но тогда следует "запретить" (ну, ясно, не запретить, но считать вредными) вообще все научно-популярные книги; все широкопрофильные научные журналы (AMS Notices публикуют обзорные статьи, скажем), и даже все изложения предмета в упрощенном и сжатом виде для специалистов из другой области, которым это может быть интересно или может когда-нибудь понадобиться. У всего этого есть совершенно реальная опасность создать иллюзию понимания там, где настоящего понимания не возникнет.

Поделюсь пришедшей на ум ассоциацией. Сахарон Шелах высказывался в том духе, что вообще говоря примеры в математике - вредная вещь, и лучше без них обходиться, потому что любой пример какой-либо математической структуры отвлекает от главных свойств этой структуры (воплощенных в ее определении) тем, что вносит в поле зрения особенности, свойственные именно этому примеру.

[posic.livejournal.com]

Я говорю две разные вещи, которые следовало бы отчетливее разделить.

Во-первых, у математиков нет традиции обсуждать приблизительно то, что можно было бы сказать точно ("интуитивный смысл понятий и теорем"). Вместо этого есть тяготение к тому, чтобы превращать приблизительные слова, когда и если они приходят на ум, в точные определения, теоремы, или контрпримеры. Словарь, где приводятся такие приблизительные описания, может быть интересен специалистам, но будучи ориентирован на посторонних, он предлагает им пользоваться представлениями, не прошедшими обкатку в кругу специалистов.

Во-вторых, бывают неформальные соображения, которые действительно обсуждаются и публикуются -- условно говоря, философия отдельных областей математики (методология, аналогии, и проч). Говоря о включении неформальных соображений, следует заметить, что обзор и справочник -- существенно разные жанры. Обзор предназначен для того, чтобы быстро получить неполную информацию по широкому кругу вопросов, а справочник -- чтобы быстро получить полную информацию по узкому вопросу. Неформальные соображения (философия) в обзоре не так обманчивы, как в справочнике, поскольку читатель обзора осознает неполноту и поверхностность получаемых им сведений.

Читатель же справочника хотел бы иметь возможность полагаться на то, пусть немногое, что он оттуда извлек (именно для этого предназначены справочники). Но нельзя полагаться на философию, не ощущая пределов ее применимости; а для того, чтобы прочувствовать такие пределы, нужно изучить предмет на изрядное расстояние вширь и вглубь от вопроса, к которому непосредственно относится философия.

[avva.livejournal.com]

Я не понимаю, в чем разница между "интуитивным смыслом понятий и теорем", которого нету, и "философией отдельных областей математики" и "неформальными соображениями", которые есть, в вашем изложении. Может, моя формулировка неудачна, но по-моему, именно это, которые вы описываете как имеющееся, я и имел в виду все это время.

Ваши соображения насчет разницы между обзором и справочником кажутся мне весьма разумными, но в том-то и дело, что PC, на мой взгляд, позиционирует себя (и его польза, предполагая, что она вообще есть, заключается в этом) как набор неформальных обзоров основных областей современной (чистой) математики, а не как справочник, или как словарь, итд. Поэтому и называется Companion, а не Dictionary, Encyclopedia, Guide или даже Handbook.

[posic.livejournal.com]

Интуитивный смысл понятий -- это, чтобы взять вполне патологический пример как раз из этого Компаньона, "The ideal class group is a way of measuring how badly unique factorization fails... the larger and more complex the ideal class group is, the further the ring is from having the unique-factorization property" (c.221-222). Кстати, процитированное является частью вполне себе квази-словарной статьи, а никакого не обзора ("квази", потому что определение определяемого понятия в статье не содержится). Или, "to oversimplify slightly [just how much? -- posic], an element of the cohomology group H^n(X) is an equivalence class [Y] of a subspace Y of codimension n" (c.221) -- тоже вполне себе квазисловарная статья. Или, "roughly speaking [an expander] is a graph that is very hard to disconnect because every set of vertices in the graph is joined by many edges to its complement" (с.196). Математики обычно избегают высказываться в подобном ключе.

Примеры философии я уже приводил. Целые числа похожи на многочлены от одной переменной с коэффициентами в конечном поле. Вещественные числа похожи на p-адические, и желательно их рассматривать параллельно. Неканонических изоморфизмов нам не надо. Теории гомологий надо определять в терминах произвольных резольвент, а не канонических. Полезно думать о простых числах как о случайно распределенных по определенному закону, хотя на самом деле в них нет ничего случайного.

Данное разграничение между (невербализуемой, по моему мнению) интуицией и (вербализуемой, по моему мнению) философией возникло в предшествовавшей дискуссии между chaource и мной.

Реально этот Companion, похоже, соединяет в себе элементы справочника, сборника обзоров, сборника популярных рассказов о математиках и математике, и чего-нибудь еще. Но если вы вспомните мое первоначальное утверждение, то оно звучало, цитирую: "Что мне особенно трудно себе представить, так это книгу по математике, удобную для использования в качестве справочника, но содержащую много неформальных соображений." Вы спросили, не является ли Companion такой книгой. Если вы теперь считаете, что Companion следует рассматривать как сборник обзоров, а не как справочник, то вы сами ответили на свой вопрос, отрицательно.

[avva.livejournal.com]

Да, спасибо, теперь действительно стало понятнее насчет справочника vs сборника обзоров.