(no subject)

[leblon]

ОК, основы теорфизики - это нереалистично, вычеркиваем.

Какие могут быть более реалистические цели?

Вариант 1-й. Классическая и квантовая механика с геометрической точки зрения, включая интеграл по траекториям. Это все уже есть в монографиях, в общем-то, даже без тензорных индексов. За исключением двух вещей: калибровочных симметрий (метод БРСТ) и систем с суперсимметрией. По ним есть либо обзоры, либо изложения "с индексами". На самом деле, суперсимметричная квантовая механика тесно связана с теорией Ходжа и методом уравнения теплопроводности в теории индекса эллиптических операторов, которые прекрасно изложены в разных книжках, но интерес представляет как раз переход от классической к квантовой суперсимметричной механике.

Вариант 2-й. Классическая механика и классическая теория поля, с уклоном в суперсимметричные и топологические теории поля. Осовременненный Дубровин-Новиков-Фоменко, в общем. Кроме классической механики суперсимметричных систем, можно описать кучу важных примеров теорий поля: сигма-модели, супер-Янг-Миллс и топологические калибровочные теории. Всякие естественные уравнения (инстантонные, монопольные) тоже естественно включаются. Но если за бортом оставить квантование, то исчезает мотивация все это хозяйство изучать: приложения все основаны на функциональном интеграле. Или не исчезает? Мотивация может быть и "внешней" по отношению к книге.

Вариант 3-й: Какая-то комбинация 1 и 2. Надо как-то ухитриться придать смысл функциональному интегралу в теориях поля, хотя бы в топологических. Например, в качестве определения можно взять рецепт вычисления методом локализации. Сомнительно, что это можно сделать в общем виде. Да и в специальных примерах это сделать непросто. И это будет очень длинно. Нет, без общего понятия функционального интеграла это бессмысленное занятие.

Comments

[chaource.livejournal.com]

Я понимаю, о чёмъ ты говоришь. Каждый человѣкъ, изучающій математику, изобретаетъ для себя какія-то интуитивныя представленія, но эти представленія не являются предмѣтомъ математики и не считаются универсально полезными. Болѣе того, такія интуитивныя представленія ("векторъ это направленный отрѣзокъ прямой линіи") могутъ быть препятствіемъ къ дальнѣйшему развитію математической теоріи.

Въ физикѣ это не такъ: поскольку главнымъ содержаніемъ являются вычисленія и приёмы полученія конкретныхъ результатовъ, то главная цѣль - запомнить всѣ эти трюки. Поэтому изъ книги въ книгу кочуютъ именно неформальныя, иногда плохо продуманныя, разсужденія, которые служатъ лишь мнемоническимъ пріёмомъ, помогающимъ запоминать вычисленія. Напримѣръ, физики обычно не изучаютъ жорданову форму матрицъ. Они изучаютъ собственные векторы два раза: сначала для конечномѣрныхъ матрицъ - сначала въ курсѣ механики, въ раздѣлѣ теоріи колебаній, а потомъ собственные векторы операторовъ въ гильбертовомъ пространствѣ - въ квантовой механикѣ. Используются въ этихъ двухъ мѣстахъ совершенно разныя обозначенія для векторовъ, и не подчёркивается тотъ фактъ, что въ первомъ случаѣ всегда бываетъ симметричный операторъ (и слѣдовательно діагонализація гарантирована), а во второмъ случаѣ діагонализація можетъ быть невозможной и вообще существованіе собственныхъ векторовъ какого-либо оператора ещё провѣрить надо - ихъ можетъ не быть совсѣмъ. Въ книгахъ часто просто предполагается само собой разумѣющимся существованіе собственныхъ векторовъ. У меня такое впечатленіе, что въ результатѣ многіе физики просто не знаютъ, что не всѣ матрицы и не всѣ операторы діагонализуются.

Я когда-то придумалъ, какъ объяснить таинственный "физическій смысл".

Физическимъ смысломъ величины X называется такое слово, которое помогаетъ намъ запомнить всѣ извѣстныя уравненія теоретической физики, въ которыхъ присутствуетъ Х. Это множество конечно, и въ каждомъ уравненіи Х обозначаетъ какую-либо (вездѣ одну и ту же) физическую величину ("энергія", "частота" и т.д.). Формально можно просто опредѣлить "физическій смыслъ" какъ конечное множество уравненій, гдѣ есть Х.

[posic.livejournal.com]

Да, это так. И далее, интуиция как таковая вообще не вербализуется и не коммуницируется. Математик знает, что единственный способ поделиться с другим математиком сложившейся у него интуитивной картиной -- это изложить ее на обычном языке определений и теорем. Вербализуется философия: что похоже на что; что как надо делать; что важно, что полезно, что желательно. Аналогии и метафоры (рациональные числа похожи на рациональные функции от одной переменной с коэффициентами в конечном поле); методологические принципы (в гомологической алгебре надо по возможности пользоваться произвольными резольвентами, а не каноническими). Эти вещи обсуждают, их рассказывают аспирантам, о них пишут во введениях к статьям. Понятно, что для развивающейся области науки такие вещи важнее, чем для уже законченной.