(no subject)
Dec. 18th, 2008 06:48 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
leblonОК, основы теорфизики - это нереалистично, вычеркиваем.
Какие могут быть более реалистические цели?
Вариант 1-й. Классическая и квантовая механика с геометрической точки зрения, включая интеграл по траекториям. Это все уже есть в монографиях, в общем-то, даже без тензорных индексов. За исключением двух вещей: калибровочных симметрий (метод БРСТ) и систем с суперсимметрией. По ним есть либо обзоры, либо изложения "с индексами". На самом деле, суперсимметричная квантовая механика тесно связана с теорией Ходжа и методом уравнения теплопроводности в теории индекса эллиптических операторов, которые прекрасно изложены в разных книжках, но интерес представляет как раз переход от классической к квантовой суперсимметричной механике.
Вариант 2-й. Классическая механика и классическая теория поля, с уклоном в суперсимметричные и топологические теории поля. Осовременненный Дубровин-Новиков-Фоменко, в общем. Кроме классической механики суперсимметричных систем, можно описать кучу важных примеров теорий поля: сигма-модели, супер-Янг-Миллс и топологические калибровочные теории. Всякие естественные уравнения (инстантонные, монопольные) тоже естественно включаются. Но если за бортом оставить квантование, то исчезает мотивация все это хозяйство изучать: приложения все основаны на функциональном интеграле. Или не исчезает? Мотивация может быть и "внешней" по отношению к книге.
Вариант 3-й: Какая-то комбинация 1 и 2. Надо как-то ухитриться придать смысл функциональному интегралу в теориях поля, хотя бы в топологических. Например, в качестве определения можно взять рецепт вычисления методом локализации. Сомнительно, что это можно сделать в общем виде. Да и в специальных примерах это сделать непросто. И это будет очень длинно. Нет, без общего понятия функционального интеграла это бессмысленное занятие.
Какие могут быть более реалистические цели?
Вариант 1-й. Классическая и квантовая механика с геометрической точки зрения, включая интеграл по траекториям. Это все уже есть в монографиях, в общем-то, даже без тензорных индексов. За исключением двух вещей: калибровочных симметрий (метод БРСТ) и систем с суперсимметрией. По ним есть либо обзоры, либо изложения "с индексами". На самом деле, суперсимметричная квантовая механика тесно связана с теорией Ходжа и методом уравнения теплопроводности в теории индекса эллиптических операторов, которые прекрасно изложены в разных книжках, но интерес представляет как раз переход от классической к квантовой суперсимметричной механике.
Вариант 2-й. Классическая механика и классическая теория поля, с уклоном в суперсимметричные и топологические теории поля. Осовременненный Дубровин-Новиков-Фоменко, в общем. Кроме классической механики суперсимметричных систем, можно описать кучу важных примеров теорий поля: сигма-модели, супер-Янг-Миллс и топологические калибровочные теории. Всякие естественные уравнения (инстантонные, монопольные) тоже естественно включаются. Но если за бортом оставить квантование, то исчезает мотивация все это хозяйство изучать: приложения все основаны на функциональном интеграле. Или не исчезает? Мотивация может быть и "внешней" по отношению к книге.
Вариант 3-й: Какая-то комбинация 1 и 2. Надо как-то ухитриться придать смысл функциональному интегралу в теориях поля, хотя бы в топологических. Например, в качестве определения можно взять рецепт вычисления методом локализации. Сомнительно, что это можно сделать в общем виде. Да и в специальных примерах это сделать непросто. И это будет очень длинно. Нет, без общего понятия функционального интеграла это бессмысленное занятие.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
(no subject)
Date: 2008-12-21 09:34 pm (UTC)Дѣйствительно, въ формализмѣ Пенроуза всё гладко. Но часто приходится писать нагроможденіе индексовъ, и оно выглядитъ уродливо. Напримѣръ, докажемъ, что производная чего-то тамъ вдоль геодезической равна нулю: 2\nabla _x g(x,x)=g(\nabla_x x, x)=0. Въ индексахъ будетъ втрое больше писанины въ такихъ вопросахъ.
Проблема съ Пенроузомъ въ томъ, что физики привыкли писать нековаріантные объекты съ такими-же индексами, какъ и коваріантные, а формализмъ Пенроуза не различаетъ ихъ. Строго говоря, символъ Кристоффеля вообще нельзя записать въ формализмѣ Пенроуза, т.к. это не тензоръ. Однако начинаются разныя оговорки ("переходимъ въ локально инерціальную систему координатъ" и т.д.), послѣ чего символъ Кристоффеля временно притворяется тензоромъ, а нужно это для того, что дѣлать вычисленія безъ символа Кристоффеля не всегда привычно - всегда можно, но не всегда легко или даже невозможно безъ опредѣлённаго набора новыхъ мелкихъ вычислительныхъ трюковъ. Трюки, нужные для индексовъ, уже извѣстны, а трюки для безъиндекснаго формализма неизвѣстны.