(no subject)

[leblon]

ОК, основы теорфизики - это нереалистично, вычеркиваем.

Какие могут быть более реалистические цели?

Вариант 1-й. Классическая и квантовая механика с геометрической точки зрения, включая интеграл по траекториям. Это все уже есть в монографиях, в общем-то, даже без тензорных индексов. За исключением двух вещей: калибровочных симметрий (метод БРСТ) и систем с суперсимметрией. По ним есть либо обзоры, либо изложения "с индексами". На самом деле, суперсимметричная квантовая механика тесно связана с теорией Ходжа и методом уравнения теплопроводности в теории индекса эллиптических операторов, которые прекрасно изложены в разных книжках, но интерес представляет как раз переход от классической к квантовой суперсимметричной механике.

Вариант 2-й. Классическая механика и классическая теория поля, с уклоном в суперсимметричные и топологические теории поля. Осовременненный Дубровин-Новиков-Фоменко, в общем. Кроме классической механики суперсимметричных систем, можно описать кучу важных примеров теорий поля: сигма-модели, супер-Янг-Миллс и топологические калибровочные теории. Всякие естественные уравнения (инстантонные, монопольные) тоже естественно включаются. Но если за бортом оставить квантование, то исчезает мотивация все это хозяйство изучать: приложения все основаны на функциональном интеграле. Или не исчезает? Мотивация может быть и "внешней" по отношению к книге.

Вариант 3-й: Какая-то комбинация 1 и 2. Надо как-то ухитриться придать смысл функциональному интегралу в теориях поля, хотя бы в топологических. Например, в качестве определения можно взять рецепт вычисления методом локализации. Сомнительно, что это можно сделать в общем виде. Да и в специальных примерах это сделать непросто. И это будет очень длинно. Нет, без общего понятия функционального интеграла это бессмысленное занятие.

Comments

[avva.livejournal.com]

Разве The Princeton Companion to Mathematics не такая книга как раз?

[sowa.livejournal.com]

Судя по доступным отрывкам - нет. Вредна создаваемым ей (и сопутствующей рекламой) впечатлением, что она якобы такая.

[avva.livejournal.com]

Можете чуть подробнее? Ведь posic считает, что такая книга как раз была бы вредной, поэтому я задал этот вопрос - чтобы понять, считает ли он P(rinceton) C(ompanion) примером такой вредной книги, и в чем тогда несогласен с похвальными отзывами. Вы считаете, не соглашаясь с ним, что сама идея хорошая, но PC ее не воплощает, и вредна тем, что претендует на эту роль?

И что именно, если вам нетрудно объяснить, кажется в ней неправильным/неадекватным - сама идея, уровнь подачи материала, неточности, опущения, что-нибудь еше?

[sowa.livejournal.com]

posic точно сформулировал то, что он считает вредным: справочник, содержащий много неформальных соображений. И почему.

Насколько я знаю, PC претендует на эту роль, и на непосредственную полезность. Я думаю, что профессиональному математику будет любопытно почитать статьи из нее, близкие к его тематике - интересно, что Х написал про область Y.

А вот использовать ее как справочник, с целью что-то узнать - это вредно.

Не нравится мне сама идея. Уровень подачи материала, вероятно, сильно завист от статьи. Равно как и количество неточностей. Мне решительно не нравится идея изложения математики в алфавитном порядке - в свое время я об этом много писал. Отбор материала несколько странен, и, видимо, отражает уровень некомпетентности Гоуэрса. На одном уровне присутствуют несопоставимые по важности вещи, например:

V.2 The Atiyah-Singer Index Theorem;
V.3 The Banach-Tarski Paradox.

Раздел Part VII The Influence of Mathematics поражает отсутствием физики, и присутствием массы малозначительных областей деятельности. Я несколько раз перечитал оглавление (http://press.princeton.edu/TOCs/c8350.html), прежде чем поверил, что там нет физики! В разделе Part II The Origins of Modern Mathematics физики тоже нет!

На самом деле, уже оглавление можно долго ругать. Отсутствие в оглавлении авторов статей - нечто скандальное. Заниматься ее детальным разбором вряд ли стоит. С одной стороны, ее для этого нужно читать, с другой - это создаст ей дополнительную рекламы. Если вы не профессиональный математик с tenured position, моя рекомендация на данный момент - "сжечь до прочтения".

Я бы хотел привести следующее общее соображние. Любой предмет нужно изучать "с середины". Вы читаете учебник (слушаете лекции) на достаточно современном уровне, в котором не будут ного отвлекаться на мотивировки и неформальные обсуждения. Его цель - быстро дать Вам минимально необходимый запас знаний. Отсюда вы начинаете двигаться в двух направлениях - к современным исследованиям (или приложениям), что даст вам понимание того, зачем все это нужно, и, если вам интересно - в прошлое, к работам классиков, что даст вам понимание того, как все это возникло. Других настоящих мотивировок, кроме полезности и истории, просто нет. Все остальное является обманом. И большая часть "неформальных объяснений" является обманом (posic привел очень яркий пример - плоские семейства).

[avva.livejournal.com]

Мне казалось, что основная цель PC - научно-популярная. В этом смысле, наверное, эта книга стремится быть полезной и дать возможность что-то узнать - но "узнать", конечно, не с целью начать профессиональную работу в данной области или воспользоваться каким-то результатами - не думаю, что кто-то с такой целью возьмет в руки PC.

А если цель научно-популярная - пусть даже уровень аудитории несколько выше, чем обычно для научно-популярных книг для широкой аудитории - то я не понимаю, какой от этого может быть вред, какого нет от всех других научно-популярных книг по математике и другим наукам.

Ваш последний абзац интересен, и возвращает меня к мыслям, которые я высказывал в недавней записи о мотивации (поскольку прямо им противоречит), но не кажется мне напрямую связанным именно с PC, которую я вообще не вижу стоящей на этом спектре возможных точек "входа" в изучение предмета (ну или не более, чем любая научно-популярная книга может мотивировать кого-то заняться серьезным изучением предмета - бывает, конечно, особенно часто в юном возрасте).

[sowa.livejournal.com]

А Вы не обращали внимания на тот замечательный факт, что научно-популярных книг по математике практически нет? Книг, адресованных достаточно широкому кругу читателей, и рассказывающих о научных достижениях. Про Большой взрыв, черные дыры, нейтрино, темную материю, поведение животных, эволюцию, и так далее - есть огромное количество книг. А про алгебраическую геометрию - нет ни одной. И про фукциональный анализ.

Вместо этого для интересующихся математикой есть много книг, в которых излагается настоящая математика, но не та, которой занимаются сегодняшние математики. Элементарная алгебра, элементарная геометрия, выпуклые фигуры, сборники очерков по разным разделам матматикие. "Числа и фигуры" Радемахера и Теплица - классика жанра.

Попытки написать популярную книгу по математике обычно связаны с какой-нибудь человеческой драмой, вроде истории с Перельманом - т.е. это книги о математиках, а не о математике.

Я ткнул в несколько страниц на Амазоне: в одном месте речь идет о гильбертовых пространствах, в другом - о когомологиях в теории чисел. Это не может быть научно-популярным изложением. Речь идет о сложных технических понятиях.

Я не вижу никакой аудитории для большей части этой книги, кроме профессиональных математиков (чем она может быть интересна им, я написал). Конечно, там есть биографические статьи (кто его знает, насколько они аккуратны), и трепологические статьи про давным-давно неактуальный "кризис оснований" - это, наверное, могут читать неспециалисты.

По поводу вреда я присоединяюсь к pocis.

[ayudug.livejournal.com]

Да, салатница какая-то. Если бы это был сборник состоящий из expository papers for general math audience то я бы был куда больше заинтересован почитать.
И еще забавно, что там Колмогоров есть, а Александрова нет, так что явление это международное ))

[sowa.livejournal.com]

Ну откуда Гоуэрсу знать про Александрова, главный вклад которого - участие в создании теории гомологий?

Список имен вообще лучше не трогать. Там нет ни Гротендика, ни Эйленберга, ни Хопфа, ни - можно продолжать до бесконечности. Зато есть минимум 6 логиков (и еще и другие, у кого логика не была главной темой).

[ayudug.livejournal.com]

Если вы не профессиональный математик с tenured position, моя рекомендация на данный момент - "сжечь до прочтения".

Я думаю Вы перегибаете палку. По Вашей рекомендации мне бы следовало сжечь, или в данном случае удалить. Но я сегодня внимательно прочитал две статьи о вещах про которые ничего до этого не знал. Ricci Flow и Operator Algebras. Я нахожу что они очень хорошо написаны. Немного расширил кругозор.

[sowa.livejournal.com]

То, что Вы получили удовольствие, не означает, что это было Вам полезно. Кроме того, Вы потратили некоторое время, которое можно было бы употребить с пользой. Например, статей про поток Риччи сейчас и так более чем достаточно - я думаю, что они лучше.

А кто написал эти статьи? Для первой подходящими авторами могли бы быть Лотт, Кляйнер или Морган, для второй - Конн или Такесаки.

[helvegr.livejournal.com]

Отсутствие в оглавлении авторов статей - нечто скандальное.

Есть отдельный раздел Contributors, в котором для каждого автора перечислены написанные им статьи.

[posic.livejournal.com]

Написали, значит. Это получается такая американская версия советского пятитомного математического словаря (где, конечно, никаких этих неформальных объяснений не было).

Высосали из пальца несуществующую информацию об интуитивном смысле понятий. Что ж, выше объяснено, почему мне не кажется это удачной идеей. По-моему, такие вещи могут быть сильно misleading.

[avva.livejournal.com]

Я, наверное, не понял, почему вы считаете такую информацию несуществующей, а книгу - вредной.

Выше вы пишете, что информация не существует де-факто в книгах, статьях итд., и что каждый математик вырабатывает ее сам для себя по мере чтения книг, статей итд. Но это не значит, что ее не существует вообще - всего лишь что она (обычно) не записывается. Если разные математики, работающие в одной области, в целом могут придти к согласию (в неформальных беседах итд.) об интуитивном смысле понятий, об общей картине области, о мотивации тех или иных главных результатов/определений, то, очевидно, такая информация есть и ее можно записать.

Почему же вредно иметь ее записанной? Вы говорите - чтобы не создать опасной иллюзии понимания там, где настоящего понимания нет. Но тогда следует "запретить" (ну, ясно, не запретить, но считать вредными) вообще все научно-популярные книги; все широкопрофильные научные журналы (AMS Notices публикуют обзорные статьи, скажем), и даже все изложения предмета в упрощенном и сжатом виде для специалистов из другой области, которым это может быть интересно или может когда-нибудь понадобиться. У всего этого есть совершенно реальная опасность создать иллюзию понимания там, где настоящего понимания не возникнет.

Поделюсь пришедшей на ум ассоциацией. Сахарон Шелах высказывался в том духе, что вообще говоря примеры в математике - вредная вещь, и лучше без них обходиться, потому что любой пример какой-либо математической структуры отвлекает от главных свойств этой структуры (воплощенных в ее определении) тем, что вносит в поле зрения особенности, свойственные именно этому примеру.

[posic.livejournal.com]

Я говорю две разные вещи, которые следовало бы отчетливее разделить.

Во-первых, у математиков нет традиции обсуждать приблизительно то, что можно было бы сказать точно ("интуитивный смысл понятий и теорем"). Вместо этого есть тяготение к тому, чтобы превращать приблизительные слова, когда и если они приходят на ум, в точные определения, теоремы, или контрпримеры. Словарь, где приводятся такие приблизительные описания, может быть интересен специалистам, но будучи ориентирован на посторонних, он предлагает им пользоваться представлениями, не прошедшими обкатку в кругу специалистов.

Во-вторых, бывают неформальные соображения, которые действительно обсуждаются и публикуются -- условно говоря, философия отдельных областей математики (методология, аналогии, и проч). Говоря о включении неформальных соображений, следует заметить, что обзор и справочник -- существенно разные жанры. Обзор предназначен для того, чтобы быстро получить неполную информацию по широкому кругу вопросов, а справочник -- чтобы быстро получить полную информацию по узкому вопросу. Неформальные соображения (философия) в обзоре не так обманчивы, как в справочнике, поскольку читатель обзора осознает неполноту и поверхностность получаемых им сведений.

Читатель же справочника хотел бы иметь возможность полагаться на то, пусть немногое, что он оттуда извлек (именно для этого предназначены справочники). Но нельзя полагаться на философию, не ощущая пределов ее применимости; а для того, чтобы прочувствовать такие пределы, нужно изучить предмет на изрядное расстояние вширь и вглубь от вопроса, к которому непосредственно относится философия.

[avva.livejournal.com]

Я не понимаю, в чем разница между "интуитивным смыслом понятий и теорем", которого нету, и "философией отдельных областей математики" и "неформальными соображениями", которые есть, в вашем изложении. Может, моя формулировка неудачна, но по-моему, именно это, которые вы описываете как имеющееся, я и имел в виду все это время.

Ваши соображения насчет разницы между обзором и справочником кажутся мне весьма разумными, но в том-то и дело, что PC, на мой взгляд, позиционирует себя (и его польза, предполагая, что она вообще есть, заключается в этом) как набор неформальных обзоров основных областей современной (чистой) математики, а не как справочник, или как словарь, итд. Поэтому и называется Companion, а не Dictionary, Encyclopedia, Guide или даже Handbook.

[posic.livejournal.com]

Удобно пользоваться books.google.com. Смотрим на страницу 221.

В статье "гомотопические группы" читателю сообщают, просто и прямо, что фундаментальная группа связного (sic) пространства не зависит от выбора отмеченной точки, и последнюю в обозначениях можно опустить.

Следующая статья "группа классов идеалов" стремится объяснить понятие группы классов идеалов, не упоминая слова "факторгруппа". Основная теорема арифметики, контрпримеры к ней в числовых полях, и связь между элементами кольца и главными идеалами обсуждаются без единого упоминания понятия "обратимый элемент". (Последнее понятие не упоминается также и в отдельной статье "Основная теорема арифметики", см. стр.699-700, где вместо этого читателя подводят к мысли, что можно обойтись плюс-минус единицей.)

Далее говорится много расплывчатых слов о том, как г.к.и. что-то там измеряет, и чем она сложнее, тем что-то там от чего-то там дальше; но что группа классов идеалов числового поля конечна, не сообщается (чтобы об этом узнать, надо пройти по ссылке на 17-страничный текст под названием "Алгебраические числа").

Хотелось бы сказать, что это профанация, но мы скажем мягче: мне, как человеку, выросшему и живущему в Москве, трудно по достоинству оценить данное порождение американской математической культуры. Пусть его оценивают американцы. Поскольку в проекте задействованы выдающиеся математики, мы предположим, что, подойдя умеючи, читатель сможет извлечь из данной книги для себя немало пользы. Ну а если нет, то, возможно, наоборот.

[sowa.livejournal.com]

Хотя это и не очень важно, я бы хотел сказать, что это не порождение американской математической культуры. Это порождение малограмотного филдсовского медалиста Гоуэрса (живущего и работающего в Британии), и является попыткой уподобить математику первой культуры в его терминологии (т.е. конецптуальную математику) дорогой его сердцу математике второй культуры, известной так же, как венгерская математика.

Проблема тут не географическая - в Москве тоже энциклопедию написали.

[posic.livejournal.com]

О да, я забыл, что Гоуэрс британец.

Московский пятитомный математический энциклопедический словарь -- это совсем другое дело! Он информативен, корректен, и может быть очень полезен -- в юности я с удовольствием им пользовался, и не только я. Жанр математического словаря своебразен, разумеется, и к нему можно относиться по-разному, что мне кажется делом вкуса (я не видел или забыл, что вы про это раньше писали). Но во всяком случае, ничего подобного процитированному выше я в московском словаре, много раз по делу пользовавшись им, не встречал.

[sowa.livejournal.com]

Никогда не пользовался. Пробовал в рамках какого-то спора в ЖЖ, ничего не получилось. Писал я о том, что изложение математики или любой другой науки в алфавитном порядке терминов совершенно неадкватно, и не следует думать, что так можно чему-то научиться.

Ваш рассказ хотя бы частично противоречит Вашему замечанию "Это получается такая американская версия советского пятитомного математического словаря".

[ayudug.livejournal.com]

Первое это мегаляп. Мне не удалось из гугл-букс понять кто же писал эту статью.

[posic.livejournal.com]

Там сразу два ляпа, маленький и очень большой. (С обратимыми элементами в статье про основную теорему арифметики, длиной почти в страницу, тоже мило обошлись, по-моему.)

[ayudug.livejournal.com]

В чем маленький ляп? В том что непонятно как теорему Вайтхеда формулировать теперь?
Про г.к.и. оценить по достоинству не могу из-за необразованности своей.

[ayudug.livejournal.com]

Я погуглил, вот здесь народ на ляпы указвает

http://gowers.wordpress.com/2008/09/17/princeton-companion-errata/#more-185

Больше всего поразило, что Гауэрс неправильно определяет индекс неподвижной точки. Народ находит ляпы, а он оправдывается, иногда очень смешно:

when I visualized myself walking from the North Pole to the South Pole, I didn’t spot that when I got there I would not have multiplied myself by -1, but instead would have rotated myself. Of course, that’s pretty close to what you say above.

[posic.livejournal.com]

Куча восторженных отзывов, и ни одного критического я не заметил. При этом высказывания Гоуэрса оставляют впечатление, что значительную часть текста он писал лично сам. Если так, то одного этого достаточно, чтобы сделать затею безнадежной. Даже хорошо образованный математик едва ли может один сесть и написать про всю математику. А Гоуэрс, похоже, и не разбирается ни в чем, кроме своей узкой области. Просит объяснить ему, почему двумерная проективная плоскость неориентируема, тоже мне "компаньон к математике".

Вещественная проективная плоскость получается из обычной плоскости добавлением точки на бесконечности (с.43, нашел Michael Hutchings). Кватернионы обычно вводятся как числовая система, где корней из минус единицы не один, а три (c.277, нашел Bob Palais). Беспредел какой-то.

[udod.livejournal.com]

Вот стоит у меня на полке. Вроде советской математической энциклопедии, поновее, но и хуже.