(no subject)

[leblon]

ОК, основы теорфизики - это нереалистично, вычеркиваем.

Какие могут быть более реалистические цели?

Вариант 1-й. Классическая и квантовая механика с геометрической точки зрения, включая интеграл по траекториям. Это все уже есть в монографиях, в общем-то, даже без тензорных индексов. За исключением двух вещей: калибровочных симметрий (метод БРСТ) и систем с суперсимметрией. По ним есть либо обзоры, либо изложения "с индексами". На самом деле, суперсимметричная квантовая механика тесно связана с теорией Ходжа и методом уравнения теплопроводности в теории индекса эллиптических операторов, которые прекрасно изложены в разных книжках, но интерес представляет как раз переход от классической к квантовой суперсимметричной механике.

Вариант 2-й. Классическая механика и классическая теория поля, с уклоном в суперсимметричные и топологические теории поля. Осовременненный Дубровин-Новиков-Фоменко, в общем. Кроме классической механики суперсимметричных систем, можно описать кучу важных примеров теорий поля: сигма-модели, супер-Янг-Миллс и топологические калибровочные теории. Всякие естественные уравнения (инстантонные, монопольные) тоже естественно включаются. Но если за бортом оставить квантование, то исчезает мотивация все это хозяйство изучать: приложения все основаны на функциональном интеграле. Или не исчезает? Мотивация может быть и "внешней" по отношению к книге.

Вариант 3-й: Какая-то комбинация 1 и 2. Надо как-то ухитриться придать смысл функциональному интегралу в теориях поля, хотя бы в топологических. Например, в качестве определения можно взять рецепт вычисления методом локализации. Сомнительно, что это можно сделать в общем виде. Да и в специальных примерах это сделать непросто. И это будет очень длинно. Нет, без общего понятия функционального интеграла это бессмысленное занятие.

Comments

[avva.livejournal.com]

Я не понимаю, в чем разница между "интуитивным смыслом понятий и теорем", которого нету, и "философией отдельных областей математики" и "неформальными соображениями", которые есть, в вашем изложении. Может, моя формулировка неудачна, но по-моему, именно это, которые вы описываете как имеющееся, я и имел в виду все это время.

Ваши соображения насчет разницы между обзором и справочником кажутся мне весьма разумными, но в том-то и дело, что PC, на мой взгляд, позиционирует себя (и его польза, предполагая, что она вообще есть, заключается в этом) как набор неформальных обзоров основных областей современной (чистой) математики, а не как справочник, или как словарь, итд. Поэтому и называется Companion, а не Dictionary, Encyclopedia, Guide или даже Handbook.

[posic.livejournal.com]

Интуитивный смысл понятий -- это, чтобы взять вполне патологический пример как раз из этого Компаньона, "The ideal class group is a way of measuring how badly unique factorization fails... the larger and more complex the ideal class group is, the further the ring is from having the unique-factorization property" (c.221-222). Кстати, процитированное является частью вполне себе квази-словарной статьи, а никакого не обзора ("квази", потому что определение определяемого понятия в статье не содержится). Или, "to oversimplify slightly [just how much? -- posic], an element of the cohomology group H^n(X) is an equivalence class [Y] of a subspace Y of codimension n" (c.221) -- тоже вполне себе квазисловарная статья. Или, "roughly speaking [an expander] is a graph that is very hard to disconnect because every set of vertices in the graph is joined by many edges to its complement" (с.196). Математики обычно избегают высказываться в подобном ключе.

Примеры философии я уже приводил. Целые числа похожи на многочлены от одной переменной с коэффициентами в конечном поле. Вещественные числа похожи на p-адические, и желательно их рассматривать параллельно. Неканонических изоморфизмов нам не надо. Теории гомологий надо определять в терминах произвольных резольвент, а не канонических. Полезно думать о простых числах как о случайно распределенных по определенному закону, хотя на самом деле в них нет ничего случайного.

Данное разграничение между (невербализуемой, по моему мнению) интуицией и (вербализуемой, по моему мнению) философией возникло в предшествовавшей дискуссии между chaource и мной.

Реально этот Companion, похоже, соединяет в себе элементы справочника, сборника обзоров, сборника популярных рассказов о математиках и математике, и чего-нибудь еще. Но если вы вспомните мое первоначальное утверждение, то оно звучало, цитирую: "Что мне особенно трудно себе представить, так это книгу по математике, удобную для использования в качестве справочника, но содержащую много неформальных соображений." Вы спросили, не является ли Companion такой книгой. Если вы теперь считаете, что Companion следует рассматривать как сборник обзоров, а не как справочник, то вы сами ответили на свой вопрос, отрицательно.

[avva.livejournal.com]

Да, спасибо, теперь действительно стало понятнее насчет справочника vs сборника обзоров.