(no subject)

[leblon]

ОК, основы теорфизики - это нереалистично, вычеркиваем.

Какие могут быть более реалистические цели?

Вариант 1-й. Классическая и квантовая механика с геометрической точки зрения, включая интеграл по траекториям. Это все уже есть в монографиях, в общем-то, даже без тензорных индексов. За исключением двух вещей: калибровочных симметрий (метод БРСТ) и систем с суперсимметрией. По ним есть либо обзоры, либо изложения "с индексами". На самом деле, суперсимметричная квантовая механика тесно связана с теорией Ходжа и методом уравнения теплопроводности в теории индекса эллиптических операторов, которые прекрасно изложены в разных книжках, но интерес представляет как раз переход от классической к квантовой суперсимметричной механике.

Вариант 2-й. Классическая механика и классическая теория поля, с уклоном в суперсимметричные и топологические теории поля. Осовременненный Дубровин-Новиков-Фоменко, в общем. Кроме классической механики суперсимметричных систем, можно описать кучу важных примеров теорий поля: сигма-модели, супер-Янг-Миллс и топологические калибровочные теории. Всякие естественные уравнения (инстантонные, монопольные) тоже естественно включаются. Но если за бортом оставить квантование, то исчезает мотивация все это хозяйство изучать: приложения все основаны на функциональном интеграле. Или не исчезает? Мотивация может быть и "внешней" по отношению к книге.

Вариант 3-й: Какая-то комбинация 1 и 2. Надо как-то ухитриться придать смысл функциональному интегралу в теориях поля, хотя бы в топологических. Например, в качестве определения можно взять рецепт вычисления методом локализации. Сомнительно, что это можно сделать в общем виде. Да и в специальных примерах это сделать непросто. И это будет очень длинно. Нет, без общего понятия функционального интеграла это бессмысленное занятие.

Comments

[posic.livejournal.com]

Ой, я не знаю, какую теорему Уайтхеда вы имеете в виду. Маленький ляп в том, что для изоморфизма фундаментальных групп нужна не связность, а несколько более сильное условие -- линейная связность.

[ayudug.livejournal.com]

Ну про то что отображение индуцирующее изомрфизм гомотопических групп является.. не знаю как по-русски, homotopy equivalence. А если просто требовать чтобы гомотопические группы были изоморфны то это не верно, пространства могут быть не эквивалентны.

Маленький ляп я как раз заметил, Вы на него указали сразу. Я брал класс по топологии и мы соотвествующий пример обсуждали. Где же тогда здесь большой ляп в упор не вижу.

[posic.livejournal.com]

Большой ляп в том, что фундаментальная группа линейно связного пространства зависит от отмеченной точки! Фундаментальные группы для разных отмеченных точек изоморфны, но не канонически; изоморфизм определен с точностью до сопряжения. Фундаментальная группа не является функтором на категории связных пространств, только на категории пунктированных связных пространств. Опускать отмеченную точку в обозначениях решительно не рекомендуется. Можно считать это вопросом математики или философии, но как минимум приходится заключить, что книга, претендующая на изложение неформальных аспектов математического знания got it all its philosophy wrong.

[ayudug.livejournal.com]

Ну не знаю. Если бы я такое прочитал не зная что такое ф.г. то мне бы в голову не пришло думать что есть канонический изоморфизм. А если знаеш что такое ф.г. то знаеш как изоморфизм строится и тогда очевидно что он не канонический.
Я с Вами согласен что опускать точку это не верно, но называть это ляпом бы не стал.

[ayudug.livejournal.com]

Перечитал оригинал. Действительно буду удивлен если кто-то будет интерпритировать это как существование кан. из-ма.
Забавно что статья называется Homotopy Groups а на самом деле про ф.г., в конце только ссылка стоит куда-то.

[posic.livejournal.com]

На понятном мне языке, когда говорят, что какая-то группа (или векторное пространство, или вообще объект категории) от чего-то там не зависит (или определен однозначно, или что-либо в этом роде) -- подразумевается канонический изоморфизм.

Энциклопедия математики, создающая в подобных местах двусмысленность и путаницу, вместо того, чтобы наводить ясность, подлежит выбрасыванию в корзину. Не говоря уже о неформальных аспектах математического знания.

[cadadr.livejournal.com]

> нужна не связность, а несколько более сильное условие -- линейная связность.

Ошибка это или нет --- зависит от контекста, потому что очень часто под "связностью" подразумевают линейную связность. Правда, сдается мне, в этой книге нет соответствующего замечания и объяснения разницы.