(no subject)

[leblon]

ОК, основы теорфизики - это нереалистично, вычеркиваем.

Какие могут быть более реалистические цели?

Вариант 1-й. Классическая и квантовая механика с геометрической точки зрения, включая интеграл по траекториям. Это все уже есть в монографиях, в общем-то, даже без тензорных индексов. За исключением двух вещей: калибровочных симметрий (метод БРСТ) и систем с суперсимметрией. По ним есть либо обзоры, либо изложения "с индексами". На самом деле, суперсимметричная квантовая механика тесно связана с теорией Ходжа и методом уравнения теплопроводности в теории индекса эллиптических операторов, которые прекрасно изложены в разных книжках, но интерес представляет как раз переход от классической к квантовой суперсимметричной механике.

Вариант 2-й. Классическая механика и классическая теория поля, с уклоном в суперсимметричные и топологические теории поля. Осовременненный Дубровин-Новиков-Фоменко, в общем. Кроме классической механики суперсимметричных систем, можно описать кучу важных примеров теорий поля: сигма-модели, супер-Янг-Миллс и топологические калибровочные теории. Всякие естественные уравнения (инстантонные, монопольные) тоже естественно включаются. Но если за бортом оставить квантование, то исчезает мотивация все это хозяйство изучать: приложения все основаны на функциональном интеграле. Или не исчезает? Мотивация может быть и "внешней" по отношению к книге.

Вариант 3-й: Какая-то комбинация 1 и 2. Надо как-то ухитриться придать смысл функциональному интегралу в теориях поля, хотя бы в топологических. Например, в качестве определения можно взять рецепт вычисления методом локализации. Сомнительно, что это можно сделать в общем виде. Да и в специальных примерах это сделать непросто. И это будет очень длинно. Нет, без общего понятия функционального интеграла это бессмысленное занятие.

Comments

[posic.livejournal.com]

Я бы сказал, что по мотивировкам определения делятся на два типа: претендующие на естественность и претендующие на полезность. Эти два класса сильно пересекаются, но есть и ярко выраженные представители обоих типов. Эта классификация субъективна (как и все, что связано с мотивировками) и зависит от времени. Определение, продемонстрировавшее высокую полезность, начинает рассматриваться как естественное, а вместе с ним -- и многие аналогичные ему определения.

Бывает и особый случай -- определение, претендующее на решение задачи, состоящей в том, чтобы придумать определение с определенными свойствами. Это часто очень важные определения.

Выяснять, как связаны между собой различные более-менее естественные определения -- типичное занятие математиков. Это далеко не самые интересные из возможных задач, но до определенного предела они рассматриваются, как заслуживающие внимания, и нередко их решение необходимо для развития теорий.

(Вот я написал длинный текст про полубесконечную гомологическую алгебру, и там комплекс коплоских комодулей является коплоским комплексом комодулей, но комплекс полуплоских полумодулей не является полуплоским комплексом полумодулей. Из четырех фигурирующих в последней фразе определений первое и четвертое абсолютно необходимы, третье полезно, а второе рассматривается для полноты картины как условно-естественное в контексте остальных трех.)

Читатель поймет, для чего вводится какое-то определение, когда прочитает опирающиеся на него дальнейшие определения, а в особенности -- зависящие от этого определения формулировки теорем. Определения, не упоминающиеся в формулировках результатов, а только в доказательствах, являются менее важными (если текст хорошо написан).

Практически, если читатель, читая математический текст подряд, упирается в определение, которое он само по себе не может удержать в голове целиком, то оно, видимо, существенным образом зачем-то нужно. Если же читатель обнаруживает много определений, по раздельности понятных, но не запоминающихся в совокупности, ему можно посоветовать перестать читать одни только определения и изучить формулировки теорем, а также хотя бы некоторые из доказательств.

Если и после этого читатель не может понять, зачем все это нужно, ему пора вспомнить о том, зачем он взялся читать данный текст и что он рассчитывает в нем найти.

Проблема физика состоит, видимо, в том, что математика состоит прежде всего из определений, на которые опираются доказательства. В то время, как привычная физику теоретическая физика состоит из чего-то другого -- из вычислений и правил их интерпретации, возможно. Тебе виднее, из чего.

[chaource.livejournal.com]

Всё-таки получается, что читатель математическаго текста обязанъ провести мѣсяцъ-другой, пытаясь выловить интуитивно понятный смыслъ всѣхъ этихъ опредѣленій и теоремъ. Почему-бы не сформулировать этотъ смыслъ прямо въ текстѣ? Я думаю, авторы экономятъ своё время, за счётъ времени читателя.

Въ 19-мъ вѣкѣ книгъ вообще было мало, и люди обычно читали всѣ книги по своей области, причёмъ медленно и вдумчиво. Оттуда пошёлъ стиль научныхъ книгъ-романовъ, которые надо обязательно читать сначала до конца. Сегодня этотъ стиль невозможно осуществить: никакихъ силъ не хватитъ.

[posic.livejournal.com]

Математики не знают такой вещи, как интуитивно понятный смысл определений и теорем. Об этом не пишут в статьях-книгах; об этом не рассказывают на лекциях-семинарах; это не обсуждают в частных беседах. Этих сведений просто не существует.

Бывают редчайшие исключения, кочующие из текста в текст. Мне вспоминается сейчас одно: всюду написано, что плоский морфизм (алгебраических многообразий) -- хорошая формализация интуитивной идеи непрерывного семейства многообразий. (Этот пример характерен тем, что определение плоского морфизма не имеет к интуитивной идее непрерывного семейства ни малейшего отношения; и в то же время оно очень естественно, но на другом уровне.)

Как, видимо, и любая другая интуиция, интуиция в математике не передается вербально. Ее каждый вырабатывает для себя сам. Собственно, ты же сам любишь говорить, что слова о физическом смысле тех или иных вычислений в учебниках физики не особенно полезны.

Математические статьи и книги не обязательно читать от начала до конца. В случае статьи или монографии, можно ограничиться введением; в случае учебника -- параграфом или главой, в которых содержатся интересующие определения и результаты. В последнем случае придется, правда, возвращаться назад по ссылкам.

Видимо, по мере устаревания материала количество неформальной информации, содержащейся в его изложениях, уменьшается. Мотивировки перестают быть актуальными; мечтания осуществляются или забываются. Новые поколения принимают созданный предшественниками предмет как данность, как нечто не живое, но законченное.

Изучать математику по новым учебникам проще, чем по старым монографиям, но последние могут быть интереснее. Возможно, оптимальный вариант -- это первый учебник, написанный, когда предмет уже сложился, но дух того времени, когда он рождался, еще не угас. Для выборочного чтения могут быть более подходящими поздние изложения.

Что мне особенно трудно себе представить, так это книгу по математике, удобную для использования в качестве справочника, но содержащую много неформальных соображений. Если бы кто-нибудь вздумал написать такой текст, он принес бы этим гораздо больше вреда, чем пользы. Лучше не знать о каком-то предмете ничего, чем знать много непродуманной полуправды.

У моей бабушки где-то лежит издание "Войны и мира", где каждой главе предпослан абзац текста мелким шрифтом, кратко излагающий ее содержание. Должно быть удобно для облегченного прохождения школьных уроков литературы, но вряд ли для какой разумной цели.

[chaource.livejournal.com]

Я понимаю, о чёмъ ты говоришь. Каждый человѣкъ, изучающій математику, изобретаетъ для себя какія-то интуитивныя представленія, но эти представленія не являются предмѣтомъ математики и не считаются универсально полезными. Болѣе того, такія интуитивныя представленія ("векторъ это направленный отрѣзокъ прямой линіи") могутъ быть препятствіемъ къ дальнѣйшему развитію математической теоріи.

Въ физикѣ это не такъ: поскольку главнымъ содержаніемъ являются вычисленія и приёмы полученія конкретныхъ результатовъ, то главная цѣль - запомнить всѣ эти трюки. Поэтому изъ книги въ книгу кочуютъ именно неформальныя, иногда плохо продуманныя, разсужденія, которые служатъ лишь мнемоническимъ пріёмомъ, помогающимъ запоминать вычисленія. Напримѣръ, физики обычно не изучаютъ жорданову форму матрицъ. Они изучаютъ собственные векторы два раза: сначала для конечномѣрныхъ матрицъ - сначала въ курсѣ механики, въ раздѣлѣ теоріи колебаній, а потомъ собственные векторы операторовъ въ гильбертовомъ пространствѣ - въ квантовой механикѣ. Используются въ этихъ двухъ мѣстахъ совершенно разныя обозначенія для векторовъ, и не подчёркивается тотъ фактъ, что въ первомъ случаѣ всегда бываетъ симметричный операторъ (и слѣдовательно діагонализація гарантирована), а во второмъ случаѣ діагонализація можетъ быть невозможной и вообще существованіе собственныхъ векторовъ какого-либо оператора ещё провѣрить надо - ихъ можетъ не быть совсѣмъ. Въ книгахъ часто просто предполагается само собой разумѣющимся существованіе собственныхъ векторовъ. У меня такое впечатленіе, что въ результатѣ многіе физики просто не знаютъ, что не всѣ матрицы и не всѣ операторы діагонализуются.

Я когда-то придумалъ, какъ объяснить таинственный "физическій смысл".

Физическимъ смысломъ величины X называется такое слово, которое помогаетъ намъ запомнить всѣ извѣстныя уравненія теоретической физики, въ которыхъ присутствуетъ Х. Это множество конечно, и въ каждомъ уравненіи Х обозначаетъ какую-либо (вездѣ одну и ту же) физическую величину ("энергія", "частота" и т.д.). Формально можно просто опредѣлить "физическій смыслъ" какъ конечное множество уравненій, гдѣ есть Х.

[posic.livejournal.com]

Да, это так. И далее, интуиция как таковая вообще не вербализуется и не коммуницируется. Математик знает, что единственный способ поделиться с другим математиком сложившейся у него интуитивной картиной -- это изложить ее на обычном языке определений и теорем. Вербализуется философия: что похоже на что; что как надо делать; что важно, что полезно, что желательно. Аналогии и метафоры (рациональные числа похожи на рациональные функции от одной переменной с коэффициентами в конечном поле); методологические принципы (в гомологической алгебре надо по возможности пользоваться произвольными резольвентами, а не каноническими). Эти вещи обсуждают, их рассказывают аспирантам, о них пишут во введениях к статьям. Понятно, что для развивающейся области науки такие вещи важнее, чем для уже законченной.

[avva.livejournal.com]

Разве The Princeton Companion to Mathematics не такая книга как раз?

[sowa.livejournal.com]

Судя по доступным отрывкам - нет. Вредна создаваемым ей (и сопутствующей рекламой) впечатлением, что она якобы такая.

[avva.livejournal.com]

Можете чуть подробнее? Ведь posic считает, что такая книга как раз была бы вредной, поэтому я задал этот вопрос - чтобы понять, считает ли он P(rinceton) C(ompanion) примером такой вредной книги, и в чем тогда несогласен с похвальными отзывами. Вы считаете, не соглашаясь с ним, что сама идея хорошая, но PC ее не воплощает, и вредна тем, что претендует на эту роль?

И что именно, если вам нетрудно объяснить, кажется в ней неправильным/неадекватным - сама идея, уровнь подачи материала, неточности, опущения, что-нибудь еше?

[sowa.livejournal.com]

posic точно сформулировал то, что он считает вредным: справочник, содержащий много неформальных соображений. И почему.

Насколько я знаю, PC претендует на эту роль, и на непосредственную полезность. Я думаю, что профессиональному математику будет любопытно почитать статьи из нее, близкие к его тематике - интересно, что Х написал про область Y.

А вот использовать ее как справочник, с целью что-то узнать - это вредно.

Не нравится мне сама идея. Уровень подачи материала, вероятно, сильно завист от статьи. Равно как и количество неточностей. Мне решительно не нравится идея изложения математики в алфавитном порядке - в свое время я об этом много писал. Отбор материала несколько странен, и, видимо, отражает уровень некомпетентности Гоуэрса. На одном уровне присутствуют несопоставимые по важности вещи, например:

V.2 The Atiyah-Singer Index Theorem;
V.3 The Banach-Tarski Paradox.

Раздел Part VII The Influence of Mathematics поражает отсутствием физики, и присутствием массы малозначительных областей деятельности. Я несколько раз перечитал оглавление (http://press.princeton.edu/TOCs/c8350.html), прежде чем поверил, что там нет физики! В разделе Part II The Origins of Modern Mathematics физики тоже нет!

На самом деле, уже оглавление можно долго ругать. Отсутствие в оглавлении авторов статей - нечто скандальное. Заниматься ее детальным разбором вряд ли стоит. С одной стороны, ее для этого нужно читать, с другой - это создаст ей дополнительную рекламы. Если вы не профессиональный математик с tenured position, моя рекомендация на данный момент - "сжечь до прочтения".

Я бы хотел привести следующее общее соображние. Любой предмет нужно изучать "с середины". Вы читаете учебник (слушаете лекции) на достаточно современном уровне, в котором не будут ного отвлекаться на мотивировки и неформальные обсуждения. Его цель - быстро дать Вам минимально необходимый запас знаний. Отсюда вы начинаете двигаться в двух направлениях - к современным исследованиям (или приложениям), что даст вам понимание того, зачем все это нужно, и, если вам интересно - в прошлое, к работам классиков, что даст вам понимание того, как все это возникло. Других настоящих мотивировок, кроме полезности и истории, просто нет. Все остальное является обманом. И большая часть "неформальных объяснений" является обманом (posic привел очень яркий пример - плоские семейства).

[avva.livejournal.com]

Мне казалось, что основная цель PC - научно-популярная. В этом смысле, наверное, эта книга стремится быть полезной и дать возможность что-то узнать - но "узнать", конечно, не с целью начать профессиональную работу в данной области или воспользоваться каким-то результатами - не думаю, что кто-то с такой целью возьмет в руки PC.

А если цель научно-популярная - пусть даже уровень аудитории несколько выше, чем обычно для научно-популярных книг для широкой аудитории - то я не понимаю, какой от этого может быть вред, какого нет от всех других научно-популярных книг по математике и другим наукам.

Ваш последний абзац интересен, и возвращает меня к мыслям, которые я высказывал в недавней записи о мотивации (поскольку прямо им противоречит), но не кажется мне напрямую связанным именно с PC, которую я вообще не вижу стоящей на этом спектре возможных точек "входа" в изучение предмета (ну или не более, чем любая научно-популярная книга может мотивировать кого-то заняться серьезным изучением предмета - бывает, конечно, особенно часто в юном возрасте).

[ayudug.livejournal.com]

Да, салатница какая-то. Если бы это был сборник состоящий из expository papers for general math audience то я бы был куда больше заинтересован почитать.
И еще забавно, что там Колмогоров есть, а Александрова нет, так что явление это международное ))

[ayudug.livejournal.com]

Если вы не профессиональный математик с tenured position, моя рекомендация на данный момент - "сжечь до прочтения".

Я думаю Вы перегибаете палку. По Вашей рекомендации мне бы следовало сжечь, или в данном случае удалить. Но я сегодня внимательно прочитал две статьи о вещах про которые ничего до этого не знал. Ricci Flow и Operator Algebras. Я нахожу что они очень хорошо написаны. Немного расширил кругозор.

[helvegr.livejournal.com]

Отсутствие в оглавлении авторов статей - нечто скандальное.

Есть отдельный раздел Contributors, в котором для каждого автора перечислены написанные им статьи.

[posic.livejournal.com]

Написали, значит. Это получается такая американская версия советского пятитомного математического словаря (где, конечно, никаких этих неформальных объяснений не было).

Высосали из пальца несуществующую информацию об интуитивном смысле понятий. Что ж, выше объяснено, почему мне не кажется это удачной идеей. По-моему, такие вещи могут быть сильно misleading.

[avva.livejournal.com]

Я, наверное, не понял, почему вы считаете такую информацию несуществующей, а книгу - вредной.

Выше вы пишете, что информация не существует де-факто в книгах, статьях итд., и что каждый математик вырабатывает ее сам для себя по мере чтения книг, статей итд. Но это не значит, что ее не существует вообще - всего лишь что она (обычно) не записывается. Если разные математики, работающие в одной области, в целом могут придти к согласию (в неформальных беседах итд.) об интуитивном смысле понятий, об общей картине области, о мотивации тех или иных главных результатов/определений, то, очевидно, такая информация есть и ее можно записать.

Почему же вредно иметь ее записанной? Вы говорите - чтобы не создать опасной иллюзии понимания там, где настоящего понимания нет. Но тогда следует "запретить" (ну, ясно, не запретить, но считать вредными) вообще все научно-популярные книги; все широкопрофильные научные журналы (AMS Notices публикуют обзорные статьи, скажем), и даже все изложения предмета в упрощенном и сжатом виде для специалистов из другой области, которым это может быть интересно или может когда-нибудь понадобиться. У всего этого есть совершенно реальная опасность создать иллюзию понимания там, где настоящего понимания не возникнет.

Поделюсь пришедшей на ум ассоциацией. Сахарон Шелах высказывался в том духе, что вообще говоря примеры в математике - вредная вещь, и лучше без них обходиться, потому что любой пример какой-либо математической структуры отвлекает от главных свойств этой структуры (воплощенных в ее определении) тем, что вносит в поле зрения особенности, свойственные именно этому примеру.

[posic.livejournal.com]

Я говорю две разные вещи, которые следовало бы отчетливее разделить.

Во-первых, у математиков нет традиции обсуждать приблизительно то, что можно было бы сказать точно ("интуитивный смысл понятий и теорем"). Вместо этого есть тяготение к тому, чтобы превращать приблизительные слова, когда и если они приходят на ум, в точные определения, теоремы, или контрпримеры. Словарь, где приводятся такие приблизительные описания, может быть интересен специалистам, но будучи ориентирован на посторонних, он предлагает им пользоваться представлениями, не прошедшими обкатку в кругу специалистов.

Во-вторых, бывают неформальные соображения, которые действительно обсуждаются и публикуются -- условно говоря, философия отдельных областей математики (методология, аналогии, и проч). Говоря о включении неформальных соображений, следует заметить, что обзор и справочник -- существенно разные жанры. Обзор предназначен для того, чтобы быстро получить неполную информацию по широкому кругу вопросов, а справочник -- чтобы быстро получить полную информацию по узкому вопросу. Неформальные соображения (философия) в обзоре не так обманчивы, как в справочнике, поскольку читатель обзора осознает неполноту и поверхностность получаемых им сведений.

Читатель же справочника хотел бы иметь возможность полагаться на то, пусть немногое, что он оттуда извлек (именно для этого предназначены справочники). Но нельзя полагаться на философию, не ощущая пределов ее применимости; а для того, чтобы прочувствовать такие пределы, нужно изучить предмет на изрядное расстояние вширь и вглубь от вопроса, к которому непосредственно относится философия.

[avva.livejournal.com]

Я не понимаю, в чем разница между "интуитивным смыслом понятий и теорем", которого нету, и "философией отдельных областей математики" и "неформальными соображениями", которые есть, в вашем изложении. Может, моя формулировка неудачна, но по-моему, именно это, которые вы описываете как имеющееся, я и имел в виду все это время.

Ваши соображения насчет разницы между обзором и справочником кажутся мне весьма разумными, но в том-то и дело, что PC, на мой взгляд, позиционирует себя (и его польза, предполагая, что она вообще есть, заключается в этом) как набор неформальных обзоров основных областей современной (чистой) математики, а не как справочник, или как словарь, итд. Поэтому и называется Companion, а не Dictionary, Encyclopedia, Guide или даже Handbook.

[posic.livejournal.com]

Удобно пользоваться books.google.com. Смотрим на страницу 221.

В статье "гомотопические группы" читателю сообщают, просто и прямо, что фундаментальная группа связного (sic) пространства не зависит от выбора отмеченной точки, и последнюю в обозначениях можно опустить.

Следующая статья "группа классов идеалов" стремится объяснить понятие группы классов идеалов, не упоминая слова "факторгруппа". Основная теорема арифметики, контрпримеры к ней в числовых полях, и связь между элементами кольца и главными идеалами обсуждаются без единого упоминания понятия "обратимый элемент". (Последнее понятие не упоминается также и в отдельной статье "Основная теорема арифметики", см. стр.699-700, где вместо этого читателя подводят к мысли, что можно обойтись плюс-минус единицей.)

Далее говорится много расплывчатых слов о том, как г.к.и. что-то там измеряет, и чем она сложнее, тем что-то там от чего-то там дальше; но что группа классов идеалов числового поля конечна, не сообщается (чтобы об этом узнать, надо пройти по ссылке на 17-страничный текст под названием "Алгебраические числа").

Хотелось бы сказать, что это профанация, но мы скажем мягче: мне, как человеку, выросшему и живущему в Москве, трудно по достоинству оценить данное порождение американской математической культуры. Пусть его оценивают американцы. Поскольку в проекте задействованы выдающиеся математики, мы предположим, что, подойдя умеючи, читатель сможет извлечь из данной книги для себя немало пользы. Ну а если нет, то, возможно, наоборот.

[sowa.livejournal.com]

Хотя это и не очень важно, я бы хотел сказать, что это не порождение американской математической культуры. Это порождение малограмотного филдсовского медалиста Гоуэрса (живущего и работающего в Британии), и является попыткой уподобить математику первой культуры в его терминологии (т.е. конецптуальную математику) дорогой его сердцу математике второй культуры, известной так же, как венгерская математика.

Проблема тут не географическая - в Москве тоже энциклопедию написали.

[posic.livejournal.com]

О да, я забыл, что Гоуэрс британец.

Московский пятитомный математический энциклопедический словарь -- это совсем другое дело! Он информативен, корректен, и может быть очень полезен -- в юности я с удовольствием им пользовался, и не только я. Жанр математического словаря своебразен, разумеется, и к нему можно относиться по-разному, что мне кажется делом вкуса (я не видел или забыл, что вы про это раньше писали). Но во всяком случае, ничего подобного процитированному выше я в московском словаре, много раз по делу пользовавшись им, не встречал.

[sowa.livejournal.com]

Никогда не пользовался. Пробовал в рамках какого-то спора в ЖЖ, ничего не получилось. Писал я о том, что изложение математики или любой другой науки в алфавитном порядке терминов совершенно неадкватно, и не следует думать, что так можно чему-то научиться.

Ваш рассказ хотя бы частично противоречит Вашему замечанию "Это получается такая американская версия советского пятитомного математического словаря".

[ayudug.livejournal.com]

Первое это мегаляп. Мне не удалось из гугл-букс понять кто же писал эту статью.

[posic.livejournal.com]

Там сразу два ляпа, маленький и очень большой. (С обратимыми элементами в статье про основную теорему арифметики, длиной почти в страницу, тоже мило обошлись, по-моему.)

[ayudug.livejournal.com]

Я погуглил, вот здесь народ на ляпы указвает

http://gowers.wordpress.com/2008/09/17/princeton-companion-errata/#more-185

Больше всего поразило, что Гауэрс неправильно определяет индекс неподвижной точки. Народ находит ляпы, а он оправдывается, иногда очень смешно:

when I visualized myself walking from the North Pole to the South Pole, I didn’t spot that when I got there I would not have multiplied myself by -1, but instead would have rotated myself. Of course, that’s pretty close to what you say above.

[posic.livejournal.com]

Куча восторженных отзывов, и ни одного критического я не заметил. При этом высказывания Гоуэрса оставляют впечатление, что значительную часть текста он писал лично сам. Если так, то одного этого достаточно, чтобы сделать затею безнадежной. Даже хорошо образованный математик едва ли может один сесть и написать про всю математику. А Гоуэрс, похоже, и не разбирается ни в чем, кроме своей узкой области. Просит объяснить ему, почему двумерная проективная плоскость неориентируема, тоже мне "компаньон к математике".

Вещественная проективная плоскость получается из обычной плоскости добавлением точки на бесконечности (с.43, нашел Michael Hutchings). Кватернионы обычно вводятся как числовая система, где корней из минус единицы не один, а три (c.277, нашел Bob Palais). Беспредел какой-то.