(no subject)

[leblon]

ОК, основы теорфизики - это нереалистично, вычеркиваем.

Какие могут быть более реалистические цели?

Вариант 1-й. Классическая и квантовая механика с геометрической точки зрения, включая интеграл по траекториям. Это все уже есть в монографиях, в общем-то, даже без тензорных индексов. За исключением двух вещей: калибровочных симметрий (метод БРСТ) и систем с суперсимметрией. По ним есть либо обзоры, либо изложения "с индексами". На самом деле, суперсимметричная квантовая механика тесно связана с теорией Ходжа и методом уравнения теплопроводности в теории индекса эллиптических операторов, которые прекрасно изложены в разных книжках, но интерес представляет как раз переход от классической к квантовой суперсимметричной механике.

Вариант 2-й. Классическая механика и классическая теория поля, с уклоном в суперсимметричные и топологические теории поля. Осовременненный Дубровин-Новиков-Фоменко, в общем. Кроме классической механики суперсимметричных систем, можно описать кучу важных примеров теорий поля: сигма-модели, супер-Янг-Миллс и топологические калибровочные теории. Всякие естественные уравнения (инстантонные, монопольные) тоже естественно включаются. Но если за бортом оставить квантование, то исчезает мотивация все это хозяйство изучать: приложения все основаны на функциональном интеграле. Или не исчезает? Мотивация может быть и "внешней" по отношению к книге.

Вариант 3-й: Какая-то комбинация 1 и 2. Надо как-то ухитриться придать смысл функциональному интегралу в теориях поля, хотя бы в топологических. Например, в качестве определения можно взять рецепт вычисления методом локализации. Сомнительно, что это можно сделать в общем виде. Да и в специальных примерах это сделать непросто. И это будет очень длинно. Нет, без общего понятия функционального интеграла это бессмысленное занятие.

Comments

[sowa.livejournal.com]

"Я как раз разобраться хочу, чего они хотят."

Ну вот первое - никаких индексов. Просто переписать физический текст без индексов - это уже будет полезно. Разумеется, формулы "просто" не перепишутся, придется думать над тем, что они значат, и это, вероятно, приведет к некоторой реорганизации изложения, которая тоже будет полезна для математиков.

Индексы - это экстремальный пример формул без смысла. В математике встречаются не столь экстремальные примеры - обычно это дефекты изложения. Человек торопился, и ему было проще написать "это стандартная конструкция" (что неправда), нежели написать, что это значит. Это хорошо заметно, когда текст используется для преподавания, а не для работы - студентам так не скажешь. У Вас же речь идет не о research paper, а "просветительском" тексте, который должен быть максимально приспособлен к целевой аудитории, а не к Вашим привычкам.

"Что касается индексов, то это просто такая система обозначений."

Да, конечно. Очень плохая, потому математики от нее и отказались почти полностью (она неизбежна только в очень неестественных и неконцептуальных рассуждениях - но физики предтендуют на естественность своих теории, они не супертрудные олимпиадные задачи решают, насколько мне известно).

Я не понимаю, как книжка Пенроуза с Риндлером может что-то значить о математиках. Пенроуз - минимум наполовину физик. И в этой книжке он попытался остановиться где-то посередине. Вроде бы его обозначения не стали общепринятыми.

"...я бы хотел узнать, какая есть альтернативная система обозначений."

С одной стороны, я тут привел примеры, основанные на Ваших. С другой стороны, я уверен, что Вы (лично Вы) это знаете. Вы общаетесь с математиками, я думаю, что Вы используете чисто математические работы, бываете на математических докладах, и наверняка заглядывали в книги по дифференциальной геометрии (кроме Новикова и Ко.).

"Возможно потому, что современные математики не любят включать в статьи подробные вычисления и оставляют их "за кадром"?"

Это зависит о стиля данного математика, области, характера работы и т.д. Я включают в свои работы даже самые тривиальные вычисления - я считаю, что оставлять читателю самую занудную часть работы нечестно.

Вычисления с индексами были бы терпимы в структурированном тексте: сформулирован, в нормальной форме, некий результат, затем идет доказательство, которое автор не умеет писать без индексов. Тогда индексы находятся в изолированном блоке, который можно пропустить. Вообще, нестественные средства в доказательствах более допустимы, нежели в формулировках.

"Кстати, Виттен совершенно не стесняется использовать индексные обозначения там, где нет стандартных безиндексных."

Я и не утверждал, что стесняется. Поэтому большую часть его продукции читать нельзя. Но когда он хотел, он писал без индексов, и эти его работы читаются как математические работы без доказательств.