(no subject)

[leblon]

ОК, основы теорфизики - это нереалистично, вычеркиваем.

Какие могут быть более реалистические цели?

Вариант 1-й. Классическая и квантовая механика с геометрической точки зрения, включая интеграл по траекториям. Это все уже есть в монографиях, в общем-то, даже без тензорных индексов. За исключением двух вещей: калибровочных симметрий (метод БРСТ) и систем с суперсимметрией. По ним есть либо обзоры, либо изложения "с индексами". На самом деле, суперсимметричная квантовая механика тесно связана с теорией Ходжа и методом уравнения теплопроводности в теории индекса эллиптических операторов, которые прекрасно изложены в разных книжках, но интерес представляет как раз переход от классической к квантовой суперсимметричной механике.

Вариант 2-й. Классическая механика и классическая теория поля, с уклоном в суперсимметричные и топологические теории поля. Осовременненный Дубровин-Новиков-Фоменко, в общем. Кроме классической механики суперсимметричных систем, можно описать кучу важных примеров теорий поля: сигма-модели, супер-Янг-Миллс и топологические калибровочные теории. Всякие естественные уравнения (инстантонные, монопольные) тоже естественно включаются. Но если за бортом оставить квантование, то исчезает мотивация все это хозяйство изучать: приложения все основаны на функциональном интеграле. Или не исчезает? Мотивация может быть и "внешней" по отношению к книге.

Вариант 3-й: Какая-то комбинация 1 и 2. Надо как-то ухитриться придать смысл функциональному интегралу в теориях поля, хотя бы в топологических. Например, в качестве определения можно взять рецепт вычисления методом локализации. Сомнительно, что это можно сделать в общем виде. Да и в специальных примерах это сделать непросто. И это будет очень длинно. Нет, без общего понятия функционального интеграла это бессмысленное занятие.

Comments

[chaource.livejournal.com]

Будетъ ли математику понятно, если сначала сказать, въ чёмъ смыслъ тензора C (можетъ это проекція тензора R на пространства, ортогональные чему-то тамъ), а потом просто написать эту формулу съ индексами?

У меня была очень похожая ситуація на то, что описываетъ leblon. Я хотѣлъ сдѣлать курсъ по общей теоріи относительности безъ индексовъ. Основнымъ содержаніемъ курса были симметріи, причинные горизонты и теоремы о сингулярности. Въ основномъ вся дифф. геометрія, необходимая для этого матеріала, прошла безъ индексовъ, хотя пришлось основательно поработать съ производными Ли, формами, и потоками векторныхъ полей. Но потомъ пришлось придумать собственное обозначеніе для свёртки тензоровъ по какимъ-либо заданнымъ индексамъ. Обозначеніе такое: пусть A, B - тензоры, тогда можно воспользоваться метрическимъ тензоромъ, чтобы представить ихъ какъ функціи A(a,b,...) и B(c,d,...), которыя линейны по векторамъ a,b,c,d,..., и теперь пишемъ

C(b,..., d, ...) = Tr _x A(x,b,...) B(x,d,...)

- это означаетъ, что сначала AB разсматривается какъ полилинейная функція отъ a\otimes b \otimes c \otimes d \otimes ..., а затѣмъ вмѣсто a \otimes b подставляется обратный метрическій тензоръ (элементъ V \otimes V).

Такое обозначеніе явно указываетъ, въ какіе тензорные индексы что подставляется, и позволяетъ вычислять на бумагѣ, т.е. не держа въ умѣ огромнаго числа деталей. Пришлось написать цѣлый сводъ правилъ работы съ этимъ обозначеніемъ, чтобы можно было быстро дѣлать вычисленія. Послѣ этого почти всё удалось сдѣлать достаточно легко безъ индексовъ, за исключеніемъ вывода уравненій Эйнштейна изъ функціонала дѣйствія. Тамъ нужны двойные свёртки тензоровъ, и расчёты съ объектами вида Tr _ x Tr_ y (...) становятся уже слишкомъ громоздкими по сравненію съ индексными обозначеніями. Однако выводъ теоремъ о сингулярности получился проще, чѣмъ въ стандартной литературѣ.

[chaource.livejournal.com]

Вотъ примѣръ использованія моего обозначенія: Если R(a,b,c,d) это тензоръ кривизны, понимаемый какъ полилинейная функція четырёхъ векторовъ a,b,c,d, то тензоръ Риччи опредѣляется так: Ric(x,y)=Tr_a R(a,x,a,y).

[leblon.livejournal.com]

Хорошее обозначение! На самом деле, "абстрактный индекс" Пенроуза - это то же самое, что и Ваше предложение: просто вы заменили индекс на элемент a векторного пространства. Ну и еще вместо эйнштейновского соглашения о суммировании по повторяющимся индексам явно пишите Tr. Т.е. с моей точки зрения, разница со стандартными индексными обозначениями небольшая. Интересно, математикам такая система кажется приемлемой?

[chaource.livejournal.com]

Думаю, что математики не будутъ возражать, потому что не используются какіе-либо базисы и не производится "суммированіе" по индексамъ. Tr _x это, какъ и у Пенроуза, вовсѣ не суммированіе по х.

Дѣйствительно, въ формализмѣ Пенроуза всё гладко. Но часто приходится писать нагроможденіе индексовъ, и оно выглядитъ уродливо. Напримѣръ, докажемъ, что производная чего-то тамъ вдоль геодезической равна нулю: 2\nabla _x g(x,x)=g(\nabla_x x, x)=0. Въ индексахъ будетъ втрое больше писанины въ такихъ вопросахъ.

Проблема съ Пенроузомъ въ томъ, что физики привыкли писать нековаріантные объекты съ такими-же индексами, какъ и коваріантные, а формализмъ Пенроуза не различаетъ ихъ. Строго говоря, символъ Кристоффеля вообще нельзя записать въ формализмѣ Пенроуза, т.к. это не тензоръ. Однако начинаются разныя оговорки ("переходимъ въ локально инерціальную систему координатъ" и т.д.), послѣ чего символъ Кристоффеля временно притворяется тензоромъ, а нужно это для того, что дѣлать вычисленія безъ символа Кристоффеля не всегда привычно - всегда можно, но не всегда легко или даже невозможно безъ опредѣлённаго набора новыхъ мелкихъ вычислительныхъ трюковъ. Трюки, нужные для индексовъ, уже извѣстны, а трюки для безъиндекснаго формализма неизвѣстны.

[posic.livejournal.com]

Я бы, может быть, модифицировал обозначения chaource таким образом: Ric(x,y)=g^{-1}(a^*,b^*)R(a,x,b,y). Подразумевая сворачивание по соответствующим переменным из двойственных пространств, обозначаемым какой-то буквой и той же буквой со звездочкой. Это длиннее, но зато зависимость от метрического тензора представлена в явном виде. В ситуации, когда зависимость от g не играет роли, можно упростить все это до чего-то вроде Ric(x,y)=R(a',x,a'',y). Оно и коротко, и вроде бы понятно.

Так или иначе, мне кажется, что преимущество такого рода обозначений перед обозначениями с индексами должно проявиться в момент перехода к дифференциальной геометрии. Где, кроме тензоров, есть еще связности, коммутаторы векторных полей, дифференциалы де Рама, производные Ли, и т.п. объекты, нелинейные над кольцом функций. Потому что если для меня R -- это R(x,y,z,w), то и \nabla для меня -- это \nabla_x(y), и у меня есть Lie_x(...) и [x,y], и (d\omega)(x,y) (для 1-формы \omega) дается известной формулой, и т.д.

А вот если для меня R = R_{ijkl}, то \nabla для меня -- это ужасные символы Кристоффеля, а дифференциал де Рама, производная Ли и коммутатор векторных полей даются просто в явными формулами в координатах. Похоже, что все нелинейные, но инвариантные понятия дифференциальной геометрии в индексных обозначениях перестают существовать, как понятия, превращаясь в загадочные формулы, по загадочным причинам сохраняющие смысл при заменах координат.

[chaource.livejournal.com]

Да, всѣ студенты-физики именно такъ и видятъ дифф. геометрію - какъ нѣкій ужасный наборъ сложныхъ индексныхъ формулъ, по таинственной причинѣ необходимыхъ въ общей теоріи относительности (ОТО). Типичное упражненіе - "вотъ формула для Х_{ijk}, покажите, что это тензоръ и что онъ симметриченъ по i,j."

Меня забавляетъ, что въ современныхъ физическихъ книгахъ по ОТО бываетъ обширное введеніе, гдѣ даются всѣ объекты дифф. геометріи - векторное поле, формы, связности вообще и связность Леви-Чивита, крученіе, кривизна, коммутаторы, дифференціалы, производная Lie, Cartan's orthonormal frames - и всё въ индексахъ. А потомъ ничего изъ этого никогда не используется, а всѣ вычисленія, нужные въ ОТО, даются какъ обычно - въ индексахъ и безъ геометрическаго смысла.

А вотъ анекдотъ почти изъ жизни. "Векторомъ называется наборъ n компонентъ, которые преобразуются по такой-то формулѣ при замѣнахъ базиса. Базисомъ называется наборъ n векторовъ, компоненты которыхъ образуютъ невырожденную матрицу."

[sowa.livejournal.com]

"Будетъ ли математику понятно, если сначала сказать, въ чёмъ смыслъ тензора C (можетъ это проекція тензора R на пространства, ортогональные чему-то тамъ), а потом просто написать эту формулу съ индексами?"

Во всяком случае, будет понятнее.

Ваши обозначения выгладят привлекательно. Я подозреваю, что Tr выбрал не случайно, и это чей-то след - со следами удобно работать. Еще я думаю, что если бы двойные свертки были нужны не только в одном месте, то Вы бы и для них составили свод правил, позволяющий с ними легко работать.

[chaource.livejournal.com]

Да, конечно, Tr - это слѣдъ, переписанный такъ, чтобы явно обозначить пространства, по которымъ онъ берётся.