(no subject)

[leblon]

ОК, основы теорфизики - это нереалистично, вычеркиваем.

Какие могут быть более реалистические цели?

Вариант 1-й. Классическая и квантовая механика с геометрической точки зрения, включая интеграл по траекториям. Это все уже есть в монографиях, в общем-то, даже без тензорных индексов. За исключением двух вещей: калибровочных симметрий (метод БРСТ) и систем с суперсимметрией. По ним есть либо обзоры, либо изложения "с индексами". На самом деле, суперсимметричная квантовая механика тесно связана с теорией Ходжа и методом уравнения теплопроводности в теории индекса эллиптических операторов, которые прекрасно изложены в разных книжках, но интерес представляет как раз переход от классической к квантовой суперсимметричной механике.

Вариант 2-й. Классическая механика и классическая теория поля, с уклоном в суперсимметричные и топологические теории поля. Осовременненный Дубровин-Новиков-Фоменко, в общем. Кроме классической механики суперсимметричных систем, можно описать кучу важных примеров теорий поля: сигма-модели, супер-Янг-Миллс и топологические калибровочные теории. Всякие естественные уравнения (инстантонные, монопольные) тоже естественно включаются. Но если за бортом оставить квантование, то исчезает мотивация все это хозяйство изучать: приложения все основаны на функциональном интеграле. Или не исчезает? Мотивация может быть и "внешней" по отношению к книге.

Вариант 3-й: Какая-то комбинация 1 и 2. Надо как-то ухитриться придать смысл функциональному интегралу в теориях поля, хотя бы в топологических. Например, в качестве определения можно взять рецепт вычисления методом локализации. Сомнительно, что это можно сделать в общем виде. Да и в специальных примерах это сделать непросто. И это будет очень длинно. Нет, без общего понятия функционального интеграла это бессмысленное занятие.

Comments

[roma.livejournal.com]

pishi trehtomnik!

[leblon.livejournal.com]

Вот спасибо за такие советы!

[kapahel.livejournal.com]

Я путаю, быть может, но, вроде, про связь SUSY QM с теоремами об индексе читал в какой-то математической книжке. У Getzler'а, что ли?

[sasha-br.livejournal.com]

Функциональный интеграл сам по себе бессмысленное понятие пока ты не объяснил как именно с ним работать. То, что хорошо было бы обяснить
математикам, это каким образом суперсимметрия позволяет "переписать" функциональный интеграл через сумму по инстантонам (т.е. через конечномерные
(хотя и зачастую расходящиеся) интегралы). С моей математической колокольни кажется, что суперсимметрия только для этого и нужна.

[leblon.livejournal.com]

Я именно про нее и думал. Просто я толком не помню, что именно в этой книге есть. Например, обсуждается ли там квантование классической SUSY QM, или сразу рассматривается квантовая SUSY QM. И есть ли там интеграл по траекториям.

[leblon.livejournal.com]

Я не это имел в виду. Дело в том, что многие свойства интеграла должны иметь место и в несуперсимметричном случае. Вообще, должен быть какой-то аналог меры Винера для большого класса теорий поля, и многие свойства должны следовать из этого. Очень неудобно доказывать эти свойства отдельно для суперсимметричных интегралов, определенных методом локализации. Более того, в большинстве интересных случаев пространство, на котором все локализуется, не является многообразием (имеет всяческие сингулярности), и не очень понятно, как по нему интегрировать. (Собственно, единственный случай, когда нет сингулярностей, - это B-модель. Ну, и ее 3-мерный аналог - модель Розанского-Виттена.) В конкретных случаях этих сингулярностей стараются избежать, например, выбирая разные хорошие граничные условия. Но это выглядит очень уродливо: ясно же, что интеграл имеет смысл даже когда локализация не очень полезна.

[kapahel.livejournal.com]

Я посмотрел сейчас -- там ничего подобного нет. Про функциональный интеграл есть в $C^*$-Algebras and Elliptic Operators in Differential Topology - Yu. P. Solovyov and E. V. Troitsky. В обоих источниках пишут про супермногообразия, но не про SUSY QM. Так что, может быть, книги, которую вы описываете в первом варианте, не существует, а было бы интересно ее почитать. Второй вариант тоже интересен, и даже больше, потому что по нему не очень понятно, что читать, в отличие от первого. В чем идея третьего варианта -- я не понял.

[leblon.livejournal.com]

Идея в том, чтобы попытаться определить функциональный интеграл хотя бы в топологических теориях поля, используя тот факт, что формально он локализуется на БРСТ-инвариантных конфигурациях. Тогда можно рассмотреть не только классические, но и квантовые топологические теории поля. Но я уже потом сообразил, что это не решает проблемы, поскольку обычно множество таких конфигураций не является гладким многообразием (за исключением специальных случаев).

[sowa.livejournal.com]

Все варианты интересны, но 1-й больше.

Мне кажется, Вы слишком плохо думаете о математиках. Мы знаем, что фейнмановский интеграл не имеет строгого определения, и можем читать и тексты без доказательств. Чего мы не можем - это читать тексты, базирущиеся на интуиции, вырабатываемой изучением физики с самого начала. Ну не хочется математикам систематически учить физику, по простой причине - они не физики. С.П. Новиков несколько раз писал, что математики должны в первую очередь изучить Ландау-Лифшица. При всем моем к нему уважении, это дичь.

Нужны объяснения, что и как делается. Какие манипуляции с интегралом допустимы (с точки зрения физика), а какие нет. Почему. В математике такие вещи содержатся в определениях и доказательствах. Как объяснять такие вещи без них, я не знаю.

Еще есть такая серьезная трудность. Когда пытаешься читать теорфизический текст, создается впечатление, что для физика любая синтаксически корректная формула (тот же интеграл Фейнмана) имеет смысл. При этом с формулами не обращаются как с чисто синтаксическими конструктами - они часто имеют числовые значения, не имея смысла. Для математика формула не имеет смысла, пока не объяснено, что она значит. Хотелось бы видеть такие объяснения.

[leblon.livejournal.com]

"Мне кажется, Вы слишком плохо думаете о математиках. Мы знаем, что фейнмановский интеграл не имеет строгого определения, и можем читать и тексты без доказательств."

Да нет, что Вы. Но я думаю, что подавляющее большинство математиков не сможет читать текст, где вообще нет определений и теорем.

Кстати, а чем математиков так раздражают тензорные индексы? Это же просто способ показать, в каком векторном пространстве принимает та или иная величина, и как компонируются всякие мульти-линейные отображения. Иногда я просто не вижу никакого другого простого способа это изобразить. Если все тензора кососимметричные, то есть стандартня безиндексная система обозначений. А если тензора общие - то по-моему такой системы нет.

Например, пусть у нас есть тензор ранга 3 в векторном пространстве V над полем К. Его можно рассматривать как отображение из V^* в V\otimes V, или из (V\otimes V)^* в V, или из K в V\otimes V\otimes V, и т.д. Допустим, они нам все нужны. Что же, называть все эти тензора по-разному и каждый обозначать отдельной буквой? Так букв не напасешься. А никакого удобного способа обозначить, какую из этих возможностей мы имеем в виду, нет. Что же делать?

[sowa.livejournal.com]

"Но я думаю, что подавляющее большинство математиков не сможет читать текст, где вообще нет определений и теорем."

Я думаю, немного не так. Математик (как математик, а не как читатель, скажем, "Анны Карениной") с трудом читает текст, в котором нет структуры. Вот лагранжиан (а что это такое? - даже А.С. Шварц не утруждает себя объяснением), теперь мы сделаем такие-то манипуляции, а теперь - такие, и вот формула. Теорема - это цель, без которой трудно ориентироваться в происходящем. Недаром есть фундаментальное правило (которое, все же, часто нарушается) - не должно быть "висящих теорем" - формулировок, завершающих рассуждения, про которые не сказано, куда они ведут.

Так что если вы в начале раздела напишете курсивом: цель этого раздела - получить для интеграла Х формулу с таким-то свойствами - уже это сильно поможет.

"А если тензора общие - то по-моему такой системы нет."

Безусловно есть. Возьмите любую книгу по дифференциальной геометрии.

"Например, пусть у нас есть тензор ранга 3 в векторном пространстве V над полем К. Его можно рассматривать как отображение из V^* в V\otimes V, или из (V\otimes V)^* в V, или из K в V\otimes V\otimes V, и т.д. Допустим, они нам все нужны. Что же, называть все эти тензора по-разному и каждый обозначать отдельной буквой? "

Вы привели очень удачный пример. Для математика это три разных объекта, Они канонически определяют один другой, но они разные. Глядя на ваши тензоры, математик будет гадать, что именно имеется в виду. Когда варианта два, можно попробовать оба, когда три - уже трудно (как писал Литтлвуд, две подряд пропущенные тривиальности могут оказаться непреодолимым препятствием, в то время как каждая в отдельности препятствием не является). Простое и удобное для математика решение этой проблемы - обозначать все одной буквой, но указывать, что имеется в виду. Скажем, так:

Рассмотрим f как отображение V^* -> V\otimes V.

Аналогична проблема, о которой в другом месте писал posic - почему почти никогда не указываются переменные, от которых зависят функции? Никогда не скажут, на каком пространстве определен лагранжиан - просто напишут формулу, в которой будет f, а не f(x,\alpha).

Если Вы (или вы, физики) собираетесь писать книгу для математиков - нужно максимальмо приблизить язык и формат изложения к математическим. Если нет - можно просто сказать, как бывает - учите физику. Это общее правило - если вы обращаетесь к русскоязычной аудитории, вам надо писать по-русски. А если вы этого не хотите - это равносильно заявлению "учите английский, или китайский".

[leblon.livejournal.com]

Да, на бумаге все это выглядит хорошо. А вот попробуйте объяснить без индексов такой реальный пример из статьи, которую я сейчас заканчиваю. У нас есть симметрический бивектор B^{ij} (т.е. элемент V\otimes V) и тензор R типа (1,2), т.е. элемент V\otimes V*\otimes V*. Из них я строю элемент C\in V\otimes V\otimes V, который имеет следующие компоненты:

C^{ijk}=B^{il} B^{jm} R^k_{lm}


Какой самый понятный способ это объяснить без индексов?

[leblon.livejournal.com]

Спасибо, кстати, за то, что навели на Соловьева-Троицкого: эта книжка у меня давно валяется, но я ее так и не читал, а там много интересного, включая главу про функциональный интеграл. К сожалению, там только про бозонный случай написано подробно.

[sowa.livejournal.com]

Так мы и говорим о том, как оно выглядит на бумаге. Или Вы хотели сказать "на экране"?

Дело в том, что если бы я мог ответить на Ваш вопрос, я, наверное, мог бы читать физические статьи. Или, по крайней мере, индексы не были бы для меня препятствием.

Описать этот тензор без идексов - не проблема. ТеХ код будет длиннее, конечно. Но понятный способ - это не какой попало, а отражающий смысл Вашей конструкции. Которого я не знаю.

Для математика формула должна иметь смысл. Если Ваш тензор C вдруг определяется этой формулой - that's all, you lost me at this point. Я не смогу читать дальше. На самом деле, мне еще нужно знать и смысл тензоров B и R. Тензор R может иметь смысл элемента Hom(V, Hom(V,V)), а может - какой-то другой. И наверняка это все зависит от точки какого-то многообразия, так что речь идет о геометрических объектах, которые всегда имеют инвариантный геометрический смысл.

[leblon.livejournal.com]

Тензор R имеет простой геометрический смысл (собственно, это кривизна касательного расслоения), тензор B имеет не очень простой геометрический смысл, а вот как объяснить геометрически смысл конструкции C из B и R - я не знаю. Т.е. C имеет всякие хорошие свойства, которые я могу доказать путем вычислений, но у меня нет геометрической интерпретации. Так в математических статьях такое тоже сплошь да рядом.

[sowa.livejournal.com]

"Так в математических статьях такое тоже сплошь да рядом."

Да нет, такое попадается очень редко. Пожалуй, я не читал ни одной работы, в которой бы такое было, не говоря уже о "сплошь и рядом" - а мне приходилось читать работы и по алгебре, и по геометрии, и по анализу. А вот если открыть почти любую физическую работу - там оно есть. Математические работы можно отличать о теорфизических визуально - есть индексы или нет.

Получается, у Вас есть два тензора с геометрическим смыслом, из которых в сварганили третий. Геометрического смысла его Вы не знаете. Видимо, это означает, что либо Вы еще как следует не разобрались в том, что Вы делаете, либо у него какой-то другой смысл, не геометрический, которым Вы не хотите поделиться.

Смотрите, как быстро Вы перешли на тут позицию физиков, на которую я жаловался: мы делаем так, иначе мы не можем, а вы, математики, приспосабливайтесь.

Физики вправе занимать какую угодно позицию. Но когда физик пишет в таком духе статью, явно адресованную математикам, или интересуется, какого сорта книга была бы полезна математикам, и отвергает пожелания - его позиция внутренне противоречива.

Вы беседуете с реальным математиком, который, так уж сложилось, почти всю свою профессиональную жизнь интересовался связями с физикой. Однако реализация этого интереса всегда требовала посредников, за одним исключением. У Виттена есть несколько работ, написанных так, что они понятны математикам - их можно читать. И в них нет индексов. Из чего я делаю оптимистический вывод - "могут ведь, если захотят". А для меня лично дело обстоит так - текст с индексами я заведомо читать не буду.

[posic.livejournal.com]

Ну, надо взять B\otimes B, переставить вторую и третью компоненты, и применить R (понимаемый как отображение V\otimes V\to V) к последним двум компонентам. Это если словами.

Еще можно картиночки рисовать, типа диаграмм: изображать тензор типа (n,m) в виде элемента, откуда торчат n ребер, направленных вниз, и m ребер, направленных вверх. Свертки тензоров обозначать соединением ребер.

Можно и формульные обозначения придумать: ввести символы, обозначающие перестановки и свертки компонент тензоров. Скажем, если \tau_{ab} обозначает свертку компонент номер а и b, то C=\tau_{26}\tau_{47}(B\otimes B\otimes R).

Наконец, есть обозначения в стиле тех, которыми пользуются специалисты по алгебрам Хопфа. Будем писать условно B = b'_1\otimes b'_2 = b''_1\otimes b''_2, а R будем считать отображением V\otimes V\to V. Тогда C = b'_1\otimes b''_1\otimes R(b'_2\otimes b''_2). Пусть специалисты по алгебрам Хопфа меня поправят.

Все эти варианты не идеальны.

[chaource.livejournal.com]

Будетъ ли математику понятно, если сначала сказать, въ чёмъ смыслъ тензора C (можетъ это проекція тензора R на пространства, ортогональные чему-то тамъ), а потом просто написать эту формулу съ индексами?

У меня была очень похожая ситуація на то, что описываетъ leblon. Я хотѣлъ сдѣлать курсъ по общей теоріи относительности безъ индексовъ. Основнымъ содержаніемъ курса были симметріи, причинные горизонты и теоремы о сингулярности. Въ основномъ вся дифф. геометрія, необходимая для этого матеріала, прошла безъ индексовъ, хотя пришлось основательно поработать съ производными Ли, формами, и потоками векторныхъ полей. Но потомъ пришлось придумать собственное обозначеніе для свёртки тензоровъ по какимъ-либо заданнымъ индексамъ. Обозначеніе такое: пусть A, B - тензоры, тогда можно воспользоваться метрическимъ тензоромъ, чтобы представить ихъ какъ функціи A(a,b,...) и B(c,d,...), которыя линейны по векторамъ a,b,c,d,..., и теперь пишемъ

C(b,..., d, ...) = Tr _x A(x,b,...) B(x,d,...)

- это означаетъ, что сначала AB разсматривается какъ полилинейная функція отъ a\otimes b \otimes c \otimes d \otimes ..., а затѣмъ вмѣсто a \otimes b подставляется обратный метрическій тензоръ (элементъ V \otimes V).

Такое обозначеніе явно указываетъ, въ какіе тензорные индексы что подставляется, и позволяетъ вычислять на бумагѣ, т.е. не держа въ умѣ огромнаго числа деталей. Пришлось написать цѣлый сводъ правилъ работы съ этимъ обозначеніемъ, чтобы можно было быстро дѣлать вычисленія. Послѣ этого почти всё удалось сдѣлать достаточно легко безъ индексовъ, за исключеніемъ вывода уравненій Эйнштейна изъ функціонала дѣйствія. Тамъ нужны двойные свёртки тензоровъ, и расчёты съ объектами вида Tr _ x Tr_ y (...) становятся уже слишкомъ громоздкими по сравненію съ индексными обозначеніями. Однако выводъ теоремъ о сингулярности получился проще, чѣмъ въ стандартной литературѣ.

[chaource.livejournal.com]

Вотъ примѣръ использованія моего обозначенія: Если R(a,b,c,d) это тензоръ кривизны, понимаемый какъ полилинейная функція четырёхъ векторовъ a,b,c,d, то тензоръ Риччи опредѣляется так: Ric(x,y)=Tr_a R(a,x,a,y).

Индексоборчество

[clovis3.livejournal.com]

Граждане математики,

Зачем изобретать велосипед? Индексы -- это очень удобный способ показать, сечения каких тензорных произведений входят в формулу и между какими пространствами происходят свёртки. Почему надо придумывать другие способы отображения этой структуры, лишь бы не писать индексы?

Индексы напоминают нам о существовании базисов -- ну, так это даже хорошо: с помощью базисов можно проводить конкретные вычисления. А можно и не проводить, никто не заставляет.

Re: Индексоборчество

[posic.livejournal.com]

За других математиков не скажу, скажу за себя. Возможно, физик в самом деле сразу видит, что за объекты скрываются за буквами с индексами, какие индексы пробегают базисы в каких пространствах, и т.п. Но я, глядя на формулу с индексами, этого не вижу.

Eсли написать так, как написал здесь leblon: мол, B принадлежит V\otimes V, R принадлежит V\otimes V*\otimes V*, C будет принадлежать V\otimes V\otimes V, и вот формула с индексами, выражающая C через B и R -- тогда я могу понять, что эта формула значит. В более сложных случаях мне понадобились бы дополнительные пояснения: соответствуют ли верхние индексы элементам V, а нижние -- V*, или наоборот; какие индексы обозначают базис V, а какие -- W, и т.п.

Это еще полбеды, пока обсуждается полилинейная алгебра, как в этом примере. Настоящая беда наступает, когда начинается дифференциальная геометрия. Там не все объекты являются тензорами, бывают еще связности (символы Кристоффеля, калибровочные поля, или как там еще их называют). И вот когда в формулы входят буквы с индексами, долженствующие обозначать матрицы связностей, смысл таких формул становится уже категорически непонятен.

Я помню, какой ступор вызывали у меня в юности объяснения связности Леви-Чивита на римановом многообразии, основанные на апелляции к свойствам (косо)симметричности символов Кристоффеля. В книжках по математике, не по физике. Что это вообще значит? -- думал я. Это же не тензор! Какая может быть симметричность, это же у связности два аргумента совершенно разной природы?

[leblon.livejournal.com]

Почему Вы решили, что я отвергаю пожелания математиков? Я как раз разобраться хочу, чего они хотят.

Я не имел в виду, что в математических статьях часто встречаются индексы. Я имел в виду, что часто бывает такое: "Определим объект А формулой ...., тогда он удовлетворяет следующим свойствам ..." Никакого геометрического или какого другого смысла не предлагается. Конечно, хорошо было бы, чтобы все формулы можно было объяснить "концептуально". Но не всегда получается.

Что касается индексов, то это просто такая система обозначений. Пенроуз, например, в своей книжке с Риндлером, объясняет, как про них надо думать абстрактно (т.е. не думать, что индекс j принимает какие-то конкретные числовые значения). Значит, некоторые математики способны преодолеть психологический барьер и привыкнуть к этой системе обозначений. Если, как Вы говорите, многие математики этого сделать не способны или не желают, я бы хотел узнать, какая есть альтернативная система обозначений. Насколько я знаю (и как видно из комментария posic), стандартной системы нет. Возможно потому, что современные математики не любят включать в статьи подробные вычисления и оставляют их "за кадром"?

Кстати, Виттен совершенно не стесняется использовать индексные обозначения там, где нет стандартных безиндексных.

[leblon.livejournal.com]

Картиночки - это хорошо, так про тензора и надо думать. К сожалению, это, во-первых, не является общепринятым, а во-вторых трудно в латехе изобразить.

Обозначить свертку специальным символом - тоже неплохо. К сожалению, если у нас больше одного векторного пространства, то надо еще указывать, какое векторное пространство имеется в виду.

Re: Индексоборчество

[chaource.livejournal.com]

Да, про символы Кристоффеля это хорошій вопросъ. Я не знаю, какъ "по-человѣчески" объяснить, что въ нихъ получается симметричность по нижнимъ индексамъ.

Кстати, я обнаружилъ очень полезную формулу для связности Леви-Чивита.

Обозначенія: \nabla _ x y - это производная векторнаго поля y по вектору x

g(..., y) это 1-форма, соотвѣтствующая вектору y, по отношенію къ метрическому тензору g,

g(x,y) это скалярное произведеніе x и y

\cal L _x А - это производная Ли тензора А по отношенію къ векторному полю x.

Коваріантная производная \nabla _x y будетъ извѣстна, если мы будемъ знать такую билинейную функцію отъ двухъ векторовъ a, b: g(\nabla _a y, b) . Обозначимъ эту функцію такъ:

g( \nabla _{...} y, ...)

Тогда эта функція будетъ задана такой относительно простой формулой:

2 g( \nabla _{...} y, ...) = d g(..., y ) + \cal L _y g

Здѣсь d g(..., y) это 2-форма - внѣшній дифференціалъ 1-формы g(...,y), а \cal L_y g это симметричная билинейная форма, которая получается какъ производная Ли отъ метрическаго тензора. То-есть мы явно разложили билинейную форму g( \nabla _{...} y, ...) на симметричную и антисимметричную части.

Съ этой формулой вычисленія часто становятся гораздо короче.

[posic.livejournal.com]

У математиков вообще мало общепринятых обозначений. Каждый автор в каждой статье вводит и объясняет свои собственные обозначения. Это, видимо, одна из причин того, что математикам трудно понимать физиков -- у физиков много стандартных обозначений, которые физики не объясняют, а математики их не знают.

Так что математики будут вполне счастливы, если им предложат удобную систему обозначений с картиночками, соответствующую тому, как надо думать. Потом можно будет разработать теорию таких картиночек... Но рисовать картинки на компьютере трудно, да.

В чем проблема с указанием векторного пространства в обозначениях для свертки? Можно писать что-нибудь вроде \tau^V_{ab}.