(no subject)

[leblon]

ОК, основы теорфизики - это нереалистично, вычеркиваем.

Какие могут быть более реалистические цели?

Вариант 1-й. Классическая и квантовая механика с геометрической точки зрения, включая интеграл по траекториям. Это все уже есть в монографиях, в общем-то, даже без тензорных индексов. За исключением двух вещей: калибровочных симметрий (метод БРСТ) и систем с суперсимметрией. По ним есть либо обзоры, либо изложения "с индексами". На самом деле, суперсимметричная квантовая механика тесно связана с теорией Ходжа и методом уравнения теплопроводности в теории индекса эллиптических операторов, которые прекрасно изложены в разных книжках, но интерес представляет как раз переход от классической к квантовой суперсимметричной механике.

Вариант 2-й. Классическая механика и классическая теория поля, с уклоном в суперсимметричные и топологические теории поля. Осовременненный Дубровин-Новиков-Фоменко, в общем. Кроме классической механики суперсимметричных систем, можно описать кучу важных примеров теорий поля: сигма-модели, супер-Янг-Миллс и топологические калибровочные теории. Всякие естественные уравнения (инстантонные, монопольные) тоже естественно включаются. Но если за бортом оставить квантование, то исчезает мотивация все это хозяйство изучать: приложения все основаны на функциональном интеграле. Или не исчезает? Мотивация может быть и "внешней" по отношению к книге.

Вариант 3-й: Какая-то комбинация 1 и 2. Надо как-то ухитриться придать смысл функциональному интегралу в теориях поля, хотя бы в топологических. Например, в качестве определения можно взять рецепт вычисления методом локализации. Сомнительно, что это можно сделать в общем виде. Да и в специальных примерах это сделать непросто. И это будет очень длинно. Нет, без общего понятия функционального интеграла это бессмысленное занятие.

Comments

[leblon.livejournal.com]

Почему Вы решили, что я отвергаю пожелания математиков? Я как раз разобраться хочу, чего они хотят.

Я не имел в виду, что в математических статьях часто встречаются индексы. Я имел в виду, что часто бывает такое: "Определим объект А формулой ...., тогда он удовлетворяет следующим свойствам ..." Никакого геометрического или какого другого смысла не предлагается. Конечно, хорошо было бы, чтобы все формулы можно было объяснить "концептуально". Но не всегда получается.

Что касается индексов, то это просто такая система обозначений. Пенроуз, например, в своей книжке с Риндлером, объясняет, как про них надо думать абстрактно (т.е. не думать, что индекс j принимает какие-то конкретные числовые значения). Значит, некоторые математики способны преодолеть психологический барьер и привыкнуть к этой системе обозначений. Если, как Вы говорите, многие математики этого сделать не способны или не желают, я бы хотел узнать, какая есть альтернативная система обозначений. Насколько я знаю (и как видно из комментария posic), стандартной системы нет. Возможно потому, что современные математики не любят включать в статьи подробные вычисления и оставляют их "за кадром"?

Кстати, Виттен совершенно не стесняется использовать индексные обозначения там, где нет стандартных безиндексных.

[sowa.livejournal.com]

"Я как раз разобраться хочу, чего они хотят."

Ну вот первое - никаких индексов. Просто переписать физический текст без индексов - это уже будет полезно. Разумеется, формулы "просто" не перепишутся, придется думать над тем, что они значат, и это, вероятно, приведет к некоторой реорганизации изложения, которая тоже будет полезна для математиков.

Индексы - это экстремальный пример формул без смысла. В математике встречаются не столь экстремальные примеры - обычно это дефекты изложения. Человек торопился, и ему было проще написать "это стандартная конструкция" (что неправда), нежели написать, что это значит. Это хорошо заметно, когда текст используется для преподавания, а не для работы - студентам так не скажешь. У Вас же речь идет не о research paper, а "просветительском" тексте, который должен быть максимально приспособлен к целевой аудитории, а не к Вашим привычкам.

"Что касается индексов, то это просто такая система обозначений."

Да, конечно. Очень плохая, потому математики от нее и отказались почти полностью (она неизбежна только в очень неестественных и неконцептуальных рассуждениях - но физики предтендуют на естественность своих теории, они не супертрудные олимпиадные задачи решают, насколько мне известно).

Я не понимаю, как книжка Пенроуза с Риндлером может что-то значить о математиках. Пенроуз - минимум наполовину физик. И в этой книжке он попытался остановиться где-то посередине. Вроде бы его обозначения не стали общепринятыми.

"...я бы хотел узнать, какая есть альтернативная система обозначений."

С одной стороны, я тут привел примеры, основанные на Ваших. С другой стороны, я уверен, что Вы (лично Вы) это знаете. Вы общаетесь с математиками, я думаю, что Вы используете чисто математические работы, бываете на математических докладах, и наверняка заглядывали в книги по дифференциальной геометрии (кроме Новикова и Ко.).

"Возможно потому, что современные математики не любят включать в статьи подробные вычисления и оставляют их "за кадром"?"

Это зависит о стиля данного математика, области, характера работы и т.д. Я включают в свои работы даже самые тривиальные вычисления - я считаю, что оставлять читателю самую занудную часть работы нечестно.

Вычисления с индексами были бы терпимы в структурированном тексте: сформулирован, в нормальной форме, некий результат, затем идет доказательство, которое автор не умеет писать без индексов. Тогда индексы находятся в изолированном блоке, который можно пропустить. Вообще, нестественные средства в доказательствах более допустимы, нежели в формулировках.

"Кстати, Виттен совершенно не стесняется использовать индексные обозначения там, где нет стандартных безиндексных."

Я и не утверждал, что стесняется. Поэтому большую часть его продукции читать нельзя. Но когда он хотел, он писал без индексов, и эти его работы читаются как математические работы без доказательств.

[sowa.livejournal.com]

Да, посмотрел, что написал posis. Полностью согласен. Он предложил пару систем обозначений, разумных. А вот Кловис прекрасно проиллюстрировал его замечание, что у физиков много стандартных обозначений, которые они не хотят объяснять, даже когда пишут якобы для математиков. Откуда мне знать, что греческие буквы сверху обозначают одно, а снизу - другое? Да я просто никогда не смогу (и не смог бы и в юношеские годы) запомнить, что снизу, а что сверху.

Правило суммирования Эйнштейна просто шокирует. Неужели так жалко (чернил, мела, типографской краски, памяти компьютера), чтобы явно написать знак суммирования?

[chaource.livejournal.com]

Думаю, что жалко - писать передъ каждой формулой 3-4 знака суммированія, тѣмъ болѣе, что тамъ на дѣлѣ нѣтъ никакого суммированія, а просто есть свёртки по парамъ типа V V*.

Физики запоминаютъ такія вещи, какъ индексъ вверху-внизу или 4 разныхъ обозначенія для скалярнаго произведенія векторовъ (\vec a \cdot \vec b,

[Error: Irreparable invalid markup ('<a|b>') in entry. Owner must fix manually. Raw contents below.]

Думаю, что жалко - писать передъ каждой формулой 3-4 знака суммированія, тѣмъ болѣе, что тамъ на дѣлѣ нѣтъ никакого суммированія, а просто есть свёртки по парамъ типа V V*.

Физики запоминаютъ такія вещи, какъ индексъ вверху-внизу или 4 разныхъ обозначенія для скалярнаго произведенія векторовъ (\vec a \cdot \vec b, <a|b>, a_\mu b^\mu, \bf a^T \bf b ), путёмъ продѣлыванія многихъ вычисленій при изученіи стандартныхъ курсовъ теорфизики. Если этого не продѣлать - запомнить эту чушь практически невозможно. Если продѣлать, но безъ осознанія (т.е. какъ это обычно преподаютъ) - есть опасность, что у будущихъ физиковъ не возникнетъ сразу пониманія, напримѣръ, что обозначеніе <a|b> можно примѣнять не только для квантовой механики.

[sowa.livejournal.com]

Да нет, не нужно писать 3-4 знака суммирования. Больше одного бывает нужно крайнет редко, так же как и 4 знака интеграла подряд ни один нормальный математик не пишет. \Sum_{i,j,k}, можно даже не указывать пределы суммирования, если они ясны из контекста.

Разница смысла вверху-внизу трудна для запоминание, потому что она бинарная. Как право-лево. Какова стандартная ориентация плоскости - по или против часовой стрелки? Я не знаю, и поэтому каждый раз говорю, какая у меня. Может, долгая практика помогает, но ожидать от математика, что он ей займется, не стоит.

[chaource.livejournal.com]

А вотъ вопросъ для математика. Дѣйствительно, въ математической литературѣ часто даются опредѣленія новыхъ объектовъ безъ объясненія. Въ физической литературѣ даются "псевдо-опрѣделенія" новыхъ объектовъ, т.е. написаны нѣкіе формулы и показаны примѣры работы съ ними. Математикъ жалуется, что нехватаетъ чёткихъ опредѣленій. Физикъ жалуется, что нехватаетъ объясненій.

Вѣрно-ли, что въ математической литературѣ такъ пишутъ потому, что предполагается, что читатель самъ поймётъ, для чего вводится то или иное опредѣленіе?

Мой нелюбимый функціональный анализъ изобилуетъ опредѣленіями - операторъ бываетъ bounded, closed, compact, continuous, self-adjoint, essentially self-adjoint, semicontinuous, lower semicontinuous, etc.etc. Запомнить это для физика такъ же невозможно, какъ и для математика запомнить, что означаютъ греческія буквы внизу и вверху. Почему возникла такая проблема и гдѣ рѣшеніе?

[sowa.livejournal.com]

На самом деле в обоих случаях не хватает объяснений. Что значит формула? Зачем введен какой-то объект?

В том, что касается математики, мы возвращаемся к недавно обсуждавшейся проблеме мотивировок (у posic'а и avva'ы).

На самом деле, основые понятия мотивируются. А остальные являются средством для их изучения, и математики привыкли к тому, что некоторые определения появляются поначалу чисто техническими, как нужные для решения задачи. Например, Галуа определил группы (перестановок), как некие хитроумные таблицы. Была у него какая-нибудь мотивировка, подобная той, которыю сейчас будут рассказывать школьникам или физикам (про симметрии всякие, картинки симметричные)? Нет. Мотивировка была одна - с помощью этих таблиц он решил классическую задачу.

Большинство "мотивировок" выдумываются задним числом, и не имеют никакого отношения к настоящим.

Мое знание этих классов операторов заканчивается на essentially self-adjoint, при этом я озадачен присутствием и bounded, и continuous - я думаю, что это одно и тоже. Continuous для математика не нуждается в мотивировке, closed - техническое понятие, все компактное полезно - это такой опыт, а все касающееся самосопряженности (неограниченных операторов) мотивируется дифференциальными уравнениями. И излагать эту тему надо с примерами таких дифференциальных операторов (и таких, которые несамосопряжены, но симметричны) - иначе этого действительно не понять. Это на самом деле тонкое понятие. Но для физика оно должно быть естественным, казалось бы - самосопряженность оператора означает, что граничные условия выбраны правильно (могут иметь физический смысл). Когда я учился, я просто не понял, что это и зачем. Но, скажем, у Рида-Саймона это довольно понятно написано.

[posic.livejournal.com]

Я бы сказал, что по мотивировкам определения делятся на два типа: претендующие на естественность и претендующие на полезность. Эти два класса сильно пересекаются, но есть и ярко выраженные представители обоих типов. Эта классификация субъективна (как и все, что связано с мотивировками) и зависит от времени. Определение, продемонстрировавшее высокую полезность, начинает рассматриваться как естественное, а вместе с ним -- и многие аналогичные ему определения.

Бывает и особый случай -- определение, претендующее на решение задачи, состоящей в том, чтобы придумать определение с определенными свойствами. Это часто очень важные определения.

Выяснять, как связаны между собой различные более-менее естественные определения -- типичное занятие математиков. Это далеко не самые интересные из возможных задач, но до определенного предела они рассматриваются, как заслуживающие внимания, и нередко их решение необходимо для развития теорий.

(Вот я написал длинный текст про полубесконечную гомологическую алгебру, и там комплекс коплоских комодулей является коплоским комплексом комодулей, но комплекс полуплоских полумодулей не является полуплоским комплексом полумодулей. Из четырех фигурирующих в последней фразе определений первое и четвертое абсолютно необходимы, третье полезно, а второе рассматривается для полноты картины как условно-естественное в контексте остальных трех.)

Читатель поймет, для чего вводится какое-то определение, когда прочитает опирающиеся на него дальнейшие определения, а в особенности -- зависящие от этого определения формулировки теорем. Определения, не упоминающиеся в формулировках результатов, а только в доказательствах, являются менее важными (если текст хорошо написан).

Практически, если читатель, читая математический текст подряд, упирается в определение, которое он само по себе не может удержать в голове целиком, то оно, видимо, существенным образом зачем-то нужно. Если же читатель обнаруживает много определений, по раздельности понятных, но не запоминающихся в совокупности, ему можно посоветовать перестать читать одни только определения и изучить формулировки теорем, а также хотя бы некоторые из доказательств.

Если и после этого читатель не может понять, зачем все это нужно, ему пора вспомнить о том, зачем он взялся читать данный текст и что он рассчитывает в нем найти.

Проблема физика состоит, видимо, в том, что математика состоит прежде всего из определений, на которые опираются доказательства. В то время, как привычная физику теоретическая физика состоит из чего-то другого -- из вычислений и правил их интерпретации, возможно. Тебе виднее, из чего.

[chaource.livejournal.com]

Всё-таки получается, что читатель математическаго текста обязанъ провести мѣсяцъ-другой, пытаясь выловить интуитивно понятный смыслъ всѣхъ этихъ опредѣленій и теоремъ. Почему-бы не сформулировать этотъ смыслъ прямо въ текстѣ? Я думаю, авторы экономятъ своё время, за счётъ времени читателя.

Въ 19-мъ вѣкѣ книгъ вообще было мало, и люди обычно читали всѣ книги по своей области, причёмъ медленно и вдумчиво. Оттуда пошёлъ стиль научныхъ книгъ-романовъ, которые надо обязательно читать сначала до конца. Сегодня этотъ стиль невозможно осуществить: никакихъ силъ не хватитъ.

[posic.livejournal.com]

Математики не знают такой вещи, как интуитивно понятный смысл определений и теорем. Об этом не пишут в статьях-книгах; об этом не рассказывают на лекциях-семинарах; это не обсуждают в частных беседах. Этих сведений просто не существует.

Бывают редчайшие исключения, кочующие из текста в текст. Мне вспоминается сейчас одно: всюду написано, что плоский морфизм (алгебраических многообразий) -- хорошая формализация интуитивной идеи непрерывного семейства многообразий. (Этот пример характерен тем, что определение плоского морфизма не имеет к интуитивной идее непрерывного семейства ни малейшего отношения; и в то же время оно очень естественно, но на другом уровне.)

Как, видимо, и любая другая интуиция, интуиция в математике не передается вербально. Ее каждый вырабатывает для себя сам. Собственно, ты же сам любишь говорить, что слова о физическом смысле тех или иных вычислений в учебниках физики не особенно полезны.

Математические статьи и книги не обязательно читать от начала до конца. В случае статьи или монографии, можно ограничиться введением; в случае учебника -- параграфом или главой, в которых содержатся интересующие определения и результаты. В последнем случае придется, правда, возвращаться назад по ссылкам.

Видимо, по мере устаревания материала количество неформальной информации, содержащейся в его изложениях, уменьшается. Мотивировки перестают быть актуальными; мечтания осуществляются или забываются. Новые поколения принимают созданный предшественниками предмет как данность, как нечто не живое, но законченное.

Изучать математику по новым учебникам проще, чем по старым монографиям, но последние могут быть интереснее. Возможно, оптимальный вариант -- это первый учебник, написанный, когда предмет уже сложился, но дух того времени, когда он рождался, еще не угас. Для выборочного чтения могут быть более подходящими поздние изложения.

Что мне особенно трудно себе представить, так это книгу по математике, удобную для использования в качестве справочника, но содержащую много неформальных соображений. Если бы кто-нибудь вздумал написать такой текст, он принес бы этим гораздо больше вреда, чем пользы. Лучше не знать о каком-то предмете ничего, чем знать много непродуманной полуправды.

У моей бабушки где-то лежит издание "Войны и мира", где каждой главе предпослан абзац текста мелким шрифтом, кратко излагающий ее содержание. Должно быть удобно для облегченного прохождения школьных уроков литературы, но вряд ли для какой разумной цели.

[chaource.livejournal.com]

Я понимаю, о чёмъ ты говоришь. Каждый человѣкъ, изучающій математику, изобретаетъ для себя какія-то интуитивныя представленія, но эти представленія не являются предмѣтомъ математики и не считаются универсально полезными. Болѣе того, такія интуитивныя представленія ("векторъ это направленный отрѣзокъ прямой линіи") могутъ быть препятствіемъ къ дальнѣйшему развитію математической теоріи.

Въ физикѣ это не такъ: поскольку главнымъ содержаніемъ являются вычисленія и приёмы полученія конкретныхъ результатовъ, то главная цѣль - запомнить всѣ эти трюки. Поэтому изъ книги въ книгу кочуютъ именно неформальныя, иногда плохо продуманныя, разсужденія, которые служатъ лишь мнемоническимъ пріёмомъ, помогающимъ запоминать вычисленія. Напримѣръ, физики обычно не изучаютъ жорданову форму матрицъ. Они изучаютъ собственные векторы два раза: сначала для конечномѣрныхъ матрицъ - сначала въ курсѣ механики, въ раздѣлѣ теоріи колебаній, а потомъ собственные векторы операторовъ въ гильбертовомъ пространствѣ - въ квантовой механикѣ. Используются въ этихъ двухъ мѣстахъ совершенно разныя обозначенія для векторовъ, и не подчёркивается тотъ фактъ, что въ первомъ случаѣ всегда бываетъ симметричный операторъ (и слѣдовательно діагонализація гарантирована), а во второмъ случаѣ діагонализація можетъ быть невозможной и вообще существованіе собственныхъ векторовъ какого-либо оператора ещё провѣрить надо - ихъ можетъ не быть совсѣмъ. Въ книгахъ часто просто предполагается само собой разумѣющимся существованіе собственныхъ векторовъ. У меня такое впечатленіе, что въ результатѣ многіе физики просто не знаютъ, что не всѣ матрицы и не всѣ операторы діагонализуются.

Я когда-то придумалъ, какъ объяснить таинственный "физическій смысл".

Физическимъ смысломъ величины X называется такое слово, которое помогаетъ намъ запомнить всѣ извѣстныя уравненія теоретической физики, въ которыхъ присутствуетъ Х. Это множество конечно, и въ каждомъ уравненіи Х обозначаетъ какую-либо (вездѣ одну и ту же) физическую величину ("энергія", "частота" и т.д.). Формально можно просто опредѣлить "физическій смыслъ" какъ конечное множество уравненій, гдѣ есть Х.

[posic.livejournal.com]

Да, это так. И далее, интуиция как таковая вообще не вербализуется и не коммуницируется. Математик знает, что единственный способ поделиться с другим математиком сложившейся у него интуитивной картиной -- это изложить ее на обычном языке определений и теорем. Вербализуется философия: что похоже на что; что как надо делать; что важно, что полезно, что желательно. Аналогии и метафоры (рациональные числа похожи на рациональные функции от одной переменной с коэффициентами в конечном поле); методологические принципы (в гомологической алгебре надо по возможности пользоваться произвольными резольвентами, а не каноническими). Эти вещи обсуждают, их рассказывают аспирантам, о них пишут во введениях к статьям. Понятно, что для развивающейся области науки такие вещи важнее, чем для уже законченной.

[avva.livejournal.com]

Разве The Princeton Companion to Mathematics не такая книга как раз?

[sowa.livejournal.com]

Судя по доступным отрывкам - нет. Вредна создаваемым ей (и сопутствующей рекламой) впечатлением, что она якобы такая.

[avva.livejournal.com]

Можете чуть подробнее? Ведь posic считает, что такая книга как раз была бы вредной, поэтому я задал этот вопрос - чтобы понять, считает ли он P(rinceton) C(ompanion) примером такой вредной книги, и в чем тогда несогласен с похвальными отзывами. Вы считаете, не соглашаясь с ним, что сама идея хорошая, но PC ее не воплощает, и вредна тем, что претендует на эту роль?

И что именно, если вам нетрудно объяснить, кажется в ней неправильным/неадекватным - сама идея, уровнь подачи материала, неточности, опущения, что-нибудь еше?

[sowa.livejournal.com]

posic точно сформулировал то, что он считает вредным: справочник, содержащий много неформальных соображений. И почему.

Насколько я знаю, PC претендует на эту роль, и на непосредственную полезность. Я думаю, что профессиональному математику будет любопытно почитать статьи из нее, близкие к его тематике - интересно, что Х написал про область Y.

А вот использовать ее как справочник, с целью что-то узнать - это вредно.

Не нравится мне сама идея. Уровень подачи материала, вероятно, сильно завист от статьи. Равно как и количество неточностей. Мне решительно не нравится идея изложения математики в алфавитном порядке - в свое время я об этом много писал. Отбор материала несколько странен, и, видимо, отражает уровень некомпетентности Гоуэрса. На одном уровне присутствуют несопоставимые по важности вещи, например:

V.2 The Atiyah-Singer Index Theorem;
V.3 The Banach-Tarski Paradox.

Раздел Part VII The Influence of Mathematics поражает отсутствием физики, и присутствием массы малозначительных областей деятельности. Я несколько раз перечитал оглавление (http://press.princeton.edu/TOCs/c8350.html), прежде чем поверил, что там нет физики! В разделе Part II The Origins of Modern Mathematics физики тоже нет!

На самом деле, уже оглавление можно долго ругать. Отсутствие в оглавлении авторов статей - нечто скандальное. Заниматься ее детальным разбором вряд ли стоит. С одной стороны, ее для этого нужно читать, с другой - это создаст ей дополнительную рекламы. Если вы не профессиональный математик с tenured position, моя рекомендация на данный момент - "сжечь до прочтения".

Я бы хотел привести следующее общее соображние. Любой предмет нужно изучать "с середины". Вы читаете учебник (слушаете лекции) на достаточно современном уровне, в котором не будут ного отвлекаться на мотивировки и неформальные обсуждения. Его цель - быстро дать Вам минимально необходимый запас знаний. Отсюда вы начинаете двигаться в двух направлениях - к современным исследованиям (или приложениям), что даст вам понимание того, зачем все это нужно, и, если вам интересно - в прошлое, к работам классиков, что даст вам понимание того, как все это возникло. Других настоящих мотивировок, кроме полезности и истории, просто нет. Все остальное является обманом. И большая часть "неформальных объяснений" является обманом (posic привел очень яркий пример - плоские семейства).

[posic.livejournal.com]

Написали, значит. Это получается такая американская версия советского пятитомного математического словаря (где, конечно, никаких этих неформальных объяснений не было).

Высосали из пальца несуществующую информацию об интуитивном смысле понятий. Что ж, выше объяснено, почему мне не кажется это удачной идеей. По-моему, такие вещи могут быть сильно misleading.

[avva.livejournal.com]

Я, наверное, не понял, почему вы считаете такую информацию несуществующей, а книгу - вредной.

Выше вы пишете, что информация не существует де-факто в книгах, статьях итд., и что каждый математик вырабатывает ее сам для себя по мере чтения книг, статей итд. Но это не значит, что ее не существует вообще - всего лишь что она (обычно) не записывается. Если разные математики, работающие в одной области, в целом могут придти к согласию (в неформальных беседах итд.) об интуитивном смысле понятий, об общей картине области, о мотивации тех или иных главных результатов/определений, то, очевидно, такая информация есть и ее можно записать.

Почему же вредно иметь ее записанной? Вы говорите - чтобы не создать опасной иллюзии понимания там, где настоящего понимания нет. Но тогда следует "запретить" (ну, ясно, не запретить, но считать вредными) вообще все научно-популярные книги; все широкопрофильные научные журналы (AMS Notices публикуют обзорные статьи, скажем), и даже все изложения предмета в упрощенном и сжатом виде для специалистов из другой области, которым это может быть интересно или может когда-нибудь понадобиться. У всего этого есть совершенно реальная опасность создать иллюзию понимания там, где настоящего понимания не возникнет.

Поделюсь пришедшей на ум ассоциацией. Сахарон Шелах высказывался в том духе, что вообще говоря примеры в математике - вредная вещь, и лучше без них обходиться, потому что любой пример какой-либо математической структуры отвлекает от главных свойств этой структуры (воплощенных в ее определении) тем, что вносит в поле зрения особенности, свойственные именно этому примеру.

[posic.livejournal.com]

Я говорю две разные вещи, которые следовало бы отчетливее разделить.

Во-первых, у математиков нет традиции обсуждать приблизительно то, что можно было бы сказать точно ("интуитивный смысл понятий и теорем"). Вместо этого есть тяготение к тому, чтобы превращать приблизительные слова, когда и если они приходят на ум, в точные определения, теоремы, или контрпримеры. Словарь, где приводятся такие приблизительные описания, может быть интересен специалистам, но будучи ориентирован на посторонних, он предлагает им пользоваться представлениями, не прошедшими обкатку в кругу специалистов.

Во-вторых, бывают неформальные соображения, которые действительно обсуждаются и публикуются -- условно говоря, философия отдельных областей математики (методология, аналогии, и проч). Говоря о включении неформальных соображений, следует заметить, что обзор и справочник -- существенно разные жанры. Обзор предназначен для того, чтобы быстро получить неполную информацию по широкому кругу вопросов, а справочник -- чтобы быстро получить полную информацию по узкому вопросу. Неформальные соображения (философия) в обзоре не так обманчивы, как в справочнике, поскольку читатель обзора осознает неполноту и поверхностность получаемых им сведений.

Читатель же справочника хотел бы иметь возможность полагаться на то, пусть немногое, что он оттуда извлек (именно для этого предназначены справочники). Но нельзя полагаться на философию, не ощущая пределов ее применимости; а для того, чтобы прочувствовать такие пределы, нужно изучить предмет на изрядное расстояние вширь и вглубь от вопроса, к которому непосредственно относится философия.

[posic.livejournal.com]

Удобно пользоваться books.google.com. Смотрим на страницу 221.

В статье "гомотопические группы" читателю сообщают, просто и прямо, что фундаментальная группа связного (sic) пространства не зависит от выбора отмеченной точки, и последнюю в обозначениях можно опустить.

Следующая статья "группа классов идеалов" стремится объяснить понятие группы классов идеалов, не упоминая слова "факторгруппа". Основная теорема арифметики, контрпримеры к ней в числовых полях, и связь между элементами кольца и главными идеалами обсуждаются без единого упоминания понятия "обратимый элемент". (Последнее понятие не упоминается также и в отдельной статье "Основная теорема арифметики", см. стр.699-700, где вместо этого читателя подводят к мысли, что можно обойтись плюс-минус единицей.)

Далее говорится много расплывчатых слов о том, как г.к.и. что-то там измеряет, и чем она сложнее, тем что-то там от чего-то там дальше; но что группа классов идеалов числового поля конечна, не сообщается (чтобы об этом узнать, надо пройти по ссылке на 17-страничный текст под названием "Алгебраические числа").

Хотелось бы сказать, что это профанация, но мы скажем мягче: мне, как человеку, выросшему и живущему в Москве, трудно по достоинству оценить данное порождение американской математической культуры. Пусть его оценивают американцы. Поскольку в проекте задействованы выдающиеся математики, мы предположим, что, подойдя умеючи, читатель сможет извлечь из данной книги для себя немало пользы. Ну а если нет, то, возможно, наоборот.

[sowa.livejournal.com]

Хотя это и не очень важно, я бы хотел сказать, что это не порождение американской математической культуры. Это порождение малограмотного филдсовского медалиста Гоуэрса (живущего и работающего в Британии), и является попыткой уподобить математику первой культуры в его терминологии (т.е. конецптуальную математику) дорогой его сердцу математике второй культуры, известной так же, как венгерская математика.

Проблема тут не географическая - в Москве тоже энциклопедию написали.

[posic.livejournal.com]

О да, я забыл, что Гоуэрс британец.

Московский пятитомный математический энциклопедический словарь -- это совсем другое дело! Он информативен, корректен, и может быть очень полезен -- в юности я с удовольствием им пользовался, и не только я. Жанр математического словаря своебразен, разумеется, и к нему можно относиться по-разному, что мне кажется делом вкуса (я не видел или забыл, что вы про это раньше писали). Но во всяком случае, ничего подобного процитированному выше я в московском словаре, много раз по делу пользовавшись им, не встречал.

[ayudug.livejournal.com]

Первое это мегаляп. Мне не удалось из гугл-букс понять кто же писал эту статью.

[posic.livejournal.com]

Там сразу два ляпа, маленький и очень большой. (С обратимыми элементами в статье про основную теорему арифметики, длиной почти в страницу, тоже мило обошлись, по-моему.)

[ayudug.livejournal.com]

Я погуглил, вот здесь народ на ляпы указвает

http://gowers.wordpress.com/2008/09/17/princeton-companion-errata/#more-185

Больше всего поразило, что Гауэрс неправильно определяет индекс неподвижной точки. Народ находит ляпы, а он оправдывается, иногда очень смешно:

when I visualized myself walking from the North Pole to the South Pole, I didn’t spot that when I got there I would not have multiplied myself by -1, but instead would have rotated myself. Of course, that’s pretty close to what you say above.