(no subject)

[leblon]

ОК, основы теорфизики - это нереалистично, вычеркиваем.

Какие могут быть более реалистические цели?

Вариант 1-й. Классическая и квантовая механика с геометрической точки зрения, включая интеграл по траекториям. Это все уже есть в монографиях, в общем-то, даже без тензорных индексов. За исключением двух вещей: калибровочных симметрий (метод БРСТ) и систем с суперсимметрией. По ним есть либо обзоры, либо изложения "с индексами". На самом деле, суперсимметричная квантовая механика тесно связана с теорией Ходжа и методом уравнения теплопроводности в теории индекса эллиптических операторов, которые прекрасно изложены в разных книжках, но интерес представляет как раз переход от классической к квантовой суперсимметричной механике.

Вариант 2-й. Классическая механика и классическая теория поля, с уклоном в суперсимметричные и топологические теории поля. Осовременненный Дубровин-Новиков-Фоменко, в общем. Кроме классической механики суперсимметричных систем, можно описать кучу важных примеров теорий поля: сигма-модели, супер-Янг-Миллс и топологические калибровочные теории. Всякие естественные уравнения (инстантонные, монопольные) тоже естественно включаются. Но если за бортом оставить квантование, то исчезает мотивация все это хозяйство изучать: приложения все основаны на функциональном интеграле. Или не исчезает? Мотивация может быть и "внешней" по отношению к книге.

Вариант 3-й: Какая-то комбинация 1 и 2. Надо как-то ухитриться придать смысл функциональному интегралу в теориях поля, хотя бы в топологических. Например, в качестве определения можно взять рецепт вычисления методом локализации. Сомнительно, что это можно сделать в общем виде. Да и в специальных примерах это сделать непросто. И это будет очень длинно. Нет, без общего понятия функционального интеграла это бессмысленное занятие.

Comments

[ayudug.livejournal.com]

Tao

Ваши замечания по делу. Давайте я скажу что мне понравилось. На двух (последних) страницах он строго определяет кривизну Риччи, так что понятен геометрический смысл. После это неформально объясняется о том что такое поток Риччи, что он делает с метрикой и зачем он нужен. Либо Вы либо posic писали что это вредно.
Мне же это очень понравилось (в данном конкретном случае). Да я так и не знаю строгого определения этого потока. Но я знаю что такое Р. метрика и что значит что Р. метрика гладко меняется. Тао на странице рассказывает о геометрическом смысле потока Р. без единой формулы. Мне это интересно почитать, и для кругозора тоже хорошо. Временных затрат почти никаких.

Roe, Higson
C^* алгебры же есть прямое обобщение. Так что естественно о них написать. Ну да, наверно стоило бы указать в заглавии.

Принципиальный вопрос: чем отличаются [0,1] и [0, ∞] как упорядоченные множества?!

Да, тут я тоже споткнулся. Могу лишь предположить, что этот порядок вводится специальным образом со значениями в [0,+\infty], они это замели под ковер, а ответ оставили как был.

Про физ. ситему, не заметил. Да, ляп.

Про остальное, Вам конечно виднее. Но в целом Вы меня скорее убедили, а мне по прочтению казалось что это почти идеальный expository text.

PS Я пару раз видел, что Вы теорему Атьи-Зингера считаете одним из главных недавних достижений. У меня есть файл про это из PC. Хотите посмотреть?

[sowa.livejournal.com]

Ну вот видите, вы даже не узнали определения потока Риччи. Геометрического смысла я там не заметил - да и нет его, более-менее. Фразы типа "Ricci flow to cause a manifold to develop singularities", на мой взгляд, могут только запутать. Во-первых, многообразие не имеет особенностей по определению, и не может их "develop". Во-вторых (и это более существенно), поток Риччи не определен начиная с того момента, когда, по словам Тао, manifold develops singularities. Его текст оставляет впечатление, что он определен. На самом деле в этом месте и заключена главная трудность теории Гамильтона-Перельмана - поток надо как-то переопределить в этом месте.

Наконец, есть более понятные изложения, в которых все верно. В Notices раза два-три об этом писали.

C*-алгебры - не обобщение, а параллельная теория, придуманная практически одновременно и независимо. В философском плане они связаны с алгебрами фон Неймана как непрерывные функции с измеримыми. Методы довольно разные.

Я думаю, что не порядок вводится специальным образом, а структура богаче, чем порядок, и потому [0,1] и [0, ∞] - разные объекты. Могу ошибаться.

"Но в целом Вы меня скорее убедили, а мне по прочтению казалось что это почти идеальный expository text."

Вот в этом-то одна из главных опасностей. Неспециалист читает, и у него создается иллюзия понимания, когда на самом деле его обманывают.

Про Атийю-Зингера посмотрю с удовольствием.

[sowa.livejournal.com]

Про Атийю-Зингера. Практически все правильно. О понятности мне судить трудно, поскольку я хорошо знаю предмет и мое чтение состояло просто в узнавании знакомых идей. Довольно странно, что на эту тему выделено всего 3 страницы и авторы останавливаются на уровне примерно 65-го года, ничего не говоря ни о других доказательствах, ни об обобщениях - за 40 лет много чего было сделано.

Конкретная придирка. Фраза

"The Atiyah–Singer index theorem then gives a means to generalize the Riemann–Roch theorem to a complex manifold of any dimension."

переворачивает историю. Обобщения теоремы Римана-Роха на многообразия старшей размерности были получены Хирцебрухом и затем, в существенно более сильной форме, Гротендиком. Работа Атийи-Зингера была стимулирована этими результами. Их первое доказательство следует идеям Хирцебруха, а второе - Гротендика (и они этого никогда не скрывали). В рамках статьи разница между первым и вторым доказательствами не видна - все сказанное применимо к обоим.

[dmitri-pavlov.livejournal.com]

>Да, тут я тоже споткнулся. Могу лишь предположить, что этот порядок вводится специальным образом со значениями в [0,+\infty], они это замели под ковер, а ответ оставили как был.

На языке проекций:
множество всех проекций фактора линейно упорядочено и изоморфно одному
из множеств указанного списка, где бесконечность обозначает бесконечную
проекцию, то есть такую проекцию, которая эквивалентна собственной подпроекции.
Интервал [0, 1] означает, что все проекции конечны.

На языке следов:
у каждого фактора существует единственный (с точностью до пропорциональности)
след, всевозможные значения которого как раз и дают нам одно из множеств
списка.
Здесь уже не надо отдельно оговаривать случай бесконечности.

Вообще, я видел несколько обзоров, в которых замалчивался этот
момент при обсуждении классификации факторов, так что этот текст не одинок.