(no subject)

[leblon]

ОК, основы теорфизики - это нереалистично, вычеркиваем.

Какие могут быть более реалистические цели?

Вариант 1-й. Классическая и квантовая механика с геометрической точки зрения, включая интеграл по траекториям. Это все уже есть в монографиях, в общем-то, даже без тензорных индексов. За исключением двух вещей: калибровочных симметрий (метод БРСТ) и систем с суперсимметрией. По ним есть либо обзоры, либо изложения "с индексами". На самом деле, суперсимметричная квантовая механика тесно связана с теорией Ходжа и методом уравнения теплопроводности в теории индекса эллиптических операторов, которые прекрасно изложены в разных книжках, но интерес представляет как раз переход от классической к квантовой суперсимметричной механике.

Вариант 2-й. Классическая механика и классическая теория поля, с уклоном в суперсимметричные и топологические теории поля. Осовременненный Дубровин-Новиков-Фоменко, в общем. Кроме классической механики суперсимметричных систем, можно описать кучу важных примеров теорий поля: сигма-модели, супер-Янг-Миллс и топологические калибровочные теории. Всякие естественные уравнения (инстантонные, монопольные) тоже естественно включаются. Но если за бортом оставить квантование, то исчезает мотивация все это хозяйство изучать: приложения все основаны на функциональном интеграле. Или не исчезает? Мотивация может быть и "внешней" по отношению к книге.

Вариант 3-й: Какая-то комбинация 1 и 2. Надо как-то ухитриться придать смысл функциональному интегралу в теориях поля, хотя бы в топологических. Например, в качестве определения можно взять рецепт вычисления методом локализации. Сомнительно, что это можно сделать в общем виде. Да и в специальных примерах это сделать непросто. И это будет очень длинно. Нет, без общего понятия функционального интеграла это бессмысленное занятие.

Comments

[posic.livejournal.com]

Удобно пользоваться books.google.com. Смотрим на страницу 221.

В статье "гомотопические группы" читателю сообщают, просто и прямо, что фундаментальная группа связного (sic) пространства не зависит от выбора отмеченной точки, и последнюю в обозначениях можно опустить.

Следующая статья "группа классов идеалов" стремится объяснить понятие группы классов идеалов, не упоминая слова "факторгруппа". Основная теорема арифметики, контрпримеры к ней в числовых полях, и связь между элементами кольца и главными идеалами обсуждаются без единого упоминания понятия "обратимый элемент". (Последнее понятие не упоминается также и в отдельной статье "Основная теорема арифметики", см. стр.699-700, где вместо этого читателя подводят к мысли, что можно обойтись плюс-минус единицей.)

Далее говорится много расплывчатых слов о том, как г.к.и. что-то там измеряет, и чем она сложнее, тем что-то там от чего-то там дальше; но что группа классов идеалов числового поля конечна, не сообщается (чтобы об этом узнать, надо пройти по ссылке на 17-страничный текст под названием "Алгебраические числа").

Хотелось бы сказать, что это профанация, но мы скажем мягче: мне, как человеку, выросшему и живущему в Москве, трудно по достоинству оценить данное порождение американской математической культуры. Пусть его оценивают американцы. Поскольку в проекте задействованы выдающиеся математики, мы предположим, что, подойдя умеючи, читатель сможет извлечь из данной книги для себя немало пользы. Ну а если нет, то, возможно, наоборот.

[sowa.livejournal.com]

Хотя это и не очень важно, я бы хотел сказать, что это не порождение американской математической культуры. Это порождение малограмотного филдсовского медалиста Гоуэрса (живущего и работающего в Британии), и является попыткой уподобить математику первой культуры в его терминологии (т.е. конецптуальную математику) дорогой его сердцу математике второй культуры, известной так же, как венгерская математика.

Проблема тут не географическая - в Москве тоже энциклопедию написали.

[posic.livejournal.com]

О да, я забыл, что Гоуэрс британец.

Московский пятитомный математический энциклопедический словарь -- это совсем другое дело! Он информативен, корректен, и может быть очень полезен -- в юности я с удовольствием им пользовался, и не только я. Жанр математического словаря своебразен, разумеется, и к нему можно относиться по-разному, что мне кажется делом вкуса (я не видел или забыл, что вы про это раньше писали). Но во всяком случае, ничего подобного процитированному выше я в московском словаре, много раз по делу пользовавшись им, не встречал.

[sowa.livejournal.com]

Никогда не пользовался. Пробовал в рамках какого-то спора в ЖЖ, ничего не получилось. Писал я о том, что изложение математики или любой другой науки в алфавитном порядке терминов совершенно неадкватно, и не следует думать, что так можно чему-то научиться.

Ваш рассказ хотя бы частично противоречит Вашему замечанию "Это получается такая американская версия советского пятитомного математического словаря".

[posic.livejournal.com]

Я просто написал это замечание по первому взгляду на книгу, до того, как вчитался. При этом я сразу оговорился, что неформальных слов в советском словаре не было.

У меня нет сейчас под рукой пятитомного словаря, он остался на другой квартире, где моя мама живет. Поэтому напишу по памяти и ощущению, что должно/могло бы быть написано в этом словаре в статье про группу классов идеалов. По-моему, там должна быть точная последовательность обратимые элементы кольца -> мультипликативная группа поля -> дробные идеалы -> группа классов идеалов.

[justpasha.livejournal.com]

Расширенная англоязычная версия сего пятитомного словаря - на http://eom.springer.de/

[ayudug.livejournal.com]

Первое это мегаляп. Мне не удалось из гугл-букс понять кто же писал эту статью.

[posic.livejournal.com]

Там сразу два ляпа, маленький и очень большой. (С обратимыми элементами в статье про основную теорему арифметики, длиной почти в страницу, тоже мило обошлись, по-моему.)

[ayudug.livejournal.com]

В чем маленький ляп? В том что непонятно как теорему Вайтхеда формулировать теперь?
Про г.к.и. оценить по достоинству не могу из-за необразованности своей.

[posic.livejournal.com]

Ой, я не знаю, какую теорему Уайтхеда вы имеете в виду. Маленький ляп в том, что для изоморфизма фундаментальных групп нужна не связность, а несколько более сильное условие -- линейная связность.

[ayudug.livejournal.com]

Ну про то что отображение индуцирующее изомрфизм гомотопических групп является.. не знаю как по-русски, homotopy equivalence. А если просто требовать чтобы гомотопические группы были изоморфны то это не верно, пространства могут быть не эквивалентны.

Маленький ляп я как раз заметил, Вы на него указали сразу. Я брал класс по топологии и мы соотвествующий пример обсуждали. Где же тогда здесь большой ляп в упор не вижу.

[posic.livejournal.com]

Большой ляп в том, что фундаментальная группа линейно связного пространства зависит от отмеченной точки! Фундаментальные группы для разных отмеченных точек изоморфны, но не канонически; изоморфизм определен с точностью до сопряжения. Фундаментальная группа не является функтором на категории связных пространств, только на категории пунктированных связных пространств. Опускать отмеченную точку в обозначениях решительно не рекомендуется. Можно считать это вопросом математики или философии, но как минимум приходится заключить, что книга, претендующая на изложение неформальных аспектов математического знания got it all its philosophy wrong.

[ayudug.livejournal.com]

Ну не знаю. Если бы я такое прочитал не зная что такое ф.г. то мне бы в голову не пришло думать что есть канонический изоморфизм. А если знаеш что такое ф.г. то знаеш как изоморфизм строится и тогда очевидно что он не канонический.
Я с Вами согласен что опускать точку это не верно, но называть это ляпом бы не стал.

[ayudug.livejournal.com]

Перечитал оригинал. Действительно буду удивлен если кто-то будет интерпритировать это как существование кан. из-ма.
Забавно что статья называется Homotopy Groups а на самом деле про ф.г., в конце только ссылка стоит куда-то.

[posic.livejournal.com]

На понятном мне языке, когда говорят, что какая-то группа (или векторное пространство, или вообще объект категории) от чего-то там не зависит (или определен однозначно, или что-либо в этом роде) -- подразумевается канонический изоморфизм.

Энциклопедия математики, создающая в подобных местах двусмысленность и путаницу, вместо того, чтобы наводить ясность, подлежит выбрасыванию в корзину. Не говоря уже о неформальных аспектах математического знания.

[cadadr.livejournal.com]

> нужна не связность, а несколько более сильное условие -- линейная связность.

Ошибка это или нет --- зависит от контекста, потому что очень часто под "связностью" подразумевают линейную связность. Правда, сдается мне, в этой книге нет соответствующего замечания и объяснения разницы.

[ayudug.livejournal.com]

Я погуглил, вот здесь народ на ляпы указвает

http://gowers.wordpress.com/2008/09/17/princeton-companion-errata/#more-185

Больше всего поразило, что Гауэрс неправильно определяет индекс неподвижной точки. Народ находит ляпы, а он оправдывается, иногда очень смешно:

when I visualized myself walking from the North Pole to the South Pole, I didn’t spot that when I got there I would not have multiplied myself by -1, but instead would have rotated myself. Of course, that’s pretty close to what you say above.

[posic.livejournal.com]

Куча восторженных отзывов, и ни одного критического я не заметил. При этом высказывания Гоуэрса оставляют впечатление, что значительную часть текста он писал лично сам. Если так, то одного этого достаточно, чтобы сделать затею безнадежной. Даже хорошо образованный математик едва ли может один сесть и написать про всю математику. А Гоуэрс, похоже, и не разбирается ни в чем, кроме своей узкой области. Просит объяснить ему, почему двумерная проективная плоскость неориентируема, тоже мне "компаньон к математике".

Вещественная проективная плоскость получается из обычной плоскости добавлением точки на бесконечности (с.43, нашел Michael Hutchings). Кватернионы обычно вводятся как числовая система, где корней из минус единицы не один, а три (c.277, нашел Bob Palais). Беспредел какой-то.

[udod.livejournal.com]

Вот стоит у меня на полке. Вроде советской математической энциклопедии, поновее, но и хуже.