(no subject)

[leblon]

ОК, основы теорфизики - это нереалистично, вычеркиваем.

Какие могут быть более реалистические цели?

Вариант 1-й. Классическая и квантовая механика с геометрической точки зрения, включая интеграл по траекториям. Это все уже есть в монографиях, в общем-то, даже без тензорных индексов. За исключением двух вещей: калибровочных симметрий (метод БРСТ) и систем с суперсимметрией. По ним есть либо обзоры, либо изложения "с индексами". На самом деле, суперсимметричная квантовая механика тесно связана с теорией Ходжа и методом уравнения теплопроводности в теории индекса эллиптических операторов, которые прекрасно изложены в разных книжках, но интерес представляет как раз переход от классической к квантовой суперсимметричной механике.

Вариант 2-й. Классическая механика и классическая теория поля, с уклоном в суперсимметричные и топологические теории поля. Осовременненный Дубровин-Новиков-Фоменко, в общем. Кроме классической механики суперсимметричных систем, можно описать кучу важных примеров теорий поля: сигма-модели, супер-Янг-Миллс и топологические калибровочные теории. Всякие естественные уравнения (инстантонные, монопольные) тоже естественно включаются. Но если за бортом оставить квантование, то исчезает мотивация все это хозяйство изучать: приложения все основаны на функциональном интеграле. Или не исчезает? Мотивация может быть и "внешней" по отношению к книге.

Вариант 3-й: Какая-то комбинация 1 и 2. Надо как-то ухитриться придать смысл функциональному интегралу в теориях поля, хотя бы в топологических. Например, в качестве определения можно взять рецепт вычисления методом локализации. Сомнительно, что это можно сделать в общем виде. Да и в специальных примерах это сделать непросто. И это будет очень длинно. Нет, без общего понятия функционального интеграла это бессмысленное занятие.

Comments

[leblon.livejournal.com]

Хорошее обозначение! На самом деле, "абстрактный индекс" Пенроуза - это то же самое, что и Ваше предложение: просто вы заменили индекс на элемент a векторного пространства. Ну и еще вместо эйнштейновского соглашения о суммировании по повторяющимся индексам явно пишите Tr. Т.е. с моей точки зрения, разница со стандартными индексными обозначениями небольшая. Интересно, математикам такая система кажется приемлемой?

[chaource.livejournal.com]

Думаю, что математики не будутъ возражать, потому что не используются какіе-либо базисы и не производится "суммированіе" по индексамъ. Tr _x это, какъ и у Пенроуза, вовсѣ не суммированіе по х.

Дѣйствительно, въ формализмѣ Пенроуза всё гладко. Но часто приходится писать нагроможденіе индексовъ, и оно выглядитъ уродливо. Напримѣръ, докажемъ, что производная чего-то тамъ вдоль геодезической равна нулю: 2\nabla _x g(x,x)=g(\nabla_x x, x)=0. Въ индексахъ будетъ втрое больше писанины въ такихъ вопросахъ.

Проблема съ Пенроузомъ въ томъ, что физики привыкли писать нековаріантные объекты съ такими-же индексами, какъ и коваріантные, а формализмъ Пенроуза не различаетъ ихъ. Строго говоря, символъ Кристоффеля вообще нельзя записать въ формализмѣ Пенроуза, т.к. это не тензоръ. Однако начинаются разныя оговорки ("переходимъ въ локально инерціальную систему координатъ" и т.д.), послѣ чего символъ Кристоффеля временно притворяется тензоромъ, а нужно это для того, что дѣлать вычисленія безъ символа Кристоффеля не всегда привычно - всегда можно, но не всегда легко или даже невозможно безъ опредѣлённаго набора новыхъ мелкихъ вычислительныхъ трюковъ. Трюки, нужные для индексовъ, уже извѣстны, а трюки для безъиндекснаго формализма неизвѣстны.

[posic.livejournal.com]

Я бы, может быть, модифицировал обозначения chaource таким образом: Ric(x,y)=g^{-1}(a^*,b^*)R(a,x,b,y). Подразумевая сворачивание по соответствующим переменным из двойственных пространств, обозначаемым какой-то буквой и той же буквой со звездочкой. Это длиннее, но зато зависимость от метрического тензора представлена в явном виде. В ситуации, когда зависимость от g не играет роли, можно упростить все это до чего-то вроде Ric(x,y)=R(a',x,a'',y). Оно и коротко, и вроде бы понятно.

Так или иначе, мне кажется, что преимущество такого рода обозначений перед обозначениями с индексами должно проявиться в момент перехода к дифференциальной геометрии. Где, кроме тензоров, есть еще связности, коммутаторы векторных полей, дифференциалы де Рама, производные Ли, и т.п. объекты, нелинейные над кольцом функций. Потому что если для меня R -- это R(x,y,z,w), то и \nabla для меня -- это \nabla_x(y), и у меня есть Lie_x(...) и [x,y], и (d\omega)(x,y) (для 1-формы \omega) дается известной формулой, и т.д.

А вот если для меня R = R_{ijkl}, то \nabla для меня -- это ужасные символы Кристоффеля, а дифференциал де Рама, производная Ли и коммутатор векторных полей даются просто в явными формулами в координатах. Похоже, что все нелинейные, но инвариантные понятия дифференциальной геометрии в индексных обозначениях перестают существовать, как понятия, превращаясь в загадочные формулы, по загадочным причинам сохраняющие смысл при заменах координат.

[chaource.livejournal.com]

Да, всѣ студенты-физики именно такъ и видятъ дифф. геометрію - какъ нѣкій ужасный наборъ сложныхъ индексныхъ формулъ, по таинственной причинѣ необходимыхъ въ общей теоріи относительности (ОТО). Типичное упражненіе - "вотъ формула для Х_{ijk}, покажите, что это тензоръ и что онъ симметриченъ по i,j."

Меня забавляетъ, что въ современныхъ физическихъ книгахъ по ОТО бываетъ обширное введеніе, гдѣ даются всѣ объекты дифф. геометріи - векторное поле, формы, связности вообще и связность Леви-Чивита, крученіе, кривизна, коммутаторы, дифференціалы, производная Lie, Cartan's orthonormal frames - и всё въ индексахъ. А потомъ ничего изъ этого никогда не используется, а всѣ вычисленія, нужные въ ОТО, даются какъ обычно - въ индексахъ и безъ геометрическаго смысла.

А вотъ анекдотъ почти изъ жизни. "Векторомъ называется наборъ n компонентъ, которые преобразуются по такой-то формулѣ при замѣнахъ базиса. Базисомъ называется наборъ n векторовъ, компоненты которыхъ образуютъ невырожденную матрицу."