I satisfy values through friendship and physics

Добили таки статью до конца Нового Года. Получилось интересно. Гремучая смесь теории твердого тела, квантовой информации и функционального анализа. Вопрос такой: какие бесконечные цепочки запутанных кубитов или более общих qudits можно распутать при помощи локальной унитарной эволюции? В частности, если у нас есть основное состояние квантовой системы с "разумным" гамильтонианом, можно ли его так распутать?

(Конечно, физически ничего бесконечного не бывает. Для конечных физической системы вопрос выглядит так: можно ли распутать длинную цепочку за время, которое не растет с размером цепочки?)

Оказывается, можно точно описать степень запутанности цепочки, которая позволяет это сделать. В частности, основные состояния всех гамильтонианов со щелью можно так распутать. С другой стороны, если спектр возбуждений начинается с нуля (как, например, в ферми жидкости), то цепочку распутать за конечное время невозможно. 

Кстати, самое простая гипотеза была бы такая: если энтропия запутанности левой и правой половины цепочки конечна, то ее можно распутать за конечное время. Но оказывается это не так: это необходимое но не достаточное условие. С другой стороны, конечность энтропии запутанности Рени с любым показателем меньше 1 это достаточное, но не необходимое условие. Точное условие лежит "по середине" и описано у нас в статье. 

Методы тоже интересные: от алгебр фон Неймана до всяких неравенств из теории квантовой информации. Я давно думал, что чтобы решить интересные вопросы в теории твердого тела навеянные квантовой информацией без функана не обойтись. Так оно и оказалось.

 Была у нас тут нерешенная задача. Уже год как была. Некая физическая величина, вроде бы, должна была стремиться к нулю при нулевой температуре. Всегда, т.е. для любого материала. Но не было видно никаких причин ей это делать. Формула есть, очень сложная. Для неких простых ситуаций можно показать, что таки стремится к нулю. А в общем случае? У нас был только такой аргумент: если бы найти контрпример, то это было бы опровергло некоторые символы веры среди твердотельщиков и им сочувствующих. (О какой величине идет речь не так важно. Ну, коэффициент Нернста который описывает эффект Нернста, см. Википедию).

И наконец до нас дошло, что если бы эта величина не стремилась к нулю, то это нарушало бы третье начало термодинамики. Т.е. можно было бы построить "вечный двигатель третьего рода". А это что за зверь такой? Многие слышали про вечный двигатель второго рода. Эта такая штука, которая берет тепло от резервуара и превращает его целиком в полезную работу. Очень полезная штука была бы. Например, взять и охладить кору Земли и мировой океан на полградуса Цельсия. Это ж сколько полезной работы можно было получить!

Многие также слышали, что такая штука запрещена вторым началом термодинамики. Но это, оказывается, не совсем правда. Второе начало термодинамики говорит, что часть энергии придется отдать более холодному резервуару. Почему? Ну, потому что забирая энергию у первого резервуара, мы забираем и энтропию. Ее надо куда-то девать. Ну, вот мы ее и сбрасываем во второй резервуар. Чем этот второй резервуар холоднее, тем больше энтропии можно сбросить на единицу энергии. Но тогда получается, что второе начало не полностью закрывает возможность вечного двигателя 2го рода. Если второй резервуар имеет нулевую температуру, ему можно передать энтропию не передавая никакой энергии! 

Вот чтобы закрыть эту дыру и есть третье начало. Оно говорит, что невозможно охладить нечто до нулевой температуры за конечное время. Ну, или за конечное число "операций". Это "принцип недостижимости Нернста". Есть и другая формулировка, на самом деле более старая: энтропия любого тела при нулевой температуре перестает зависеть от параметров системы ("теорема Нернста"). Но эту формулировку критиковал Эйнштейн, в результате чего Нернст и придумал "принцип недостижимости". 

Третье начало термодинамики, как и второе, не доказано. Но поскольку в него все верят, то ссылка на него позволяет доказать иначе недоказуемые вещи. Как аксиома выбора в математике. И как и при применении аксиомы выбора, остается чувство неудовлетворенности. 

 A very nice video showing how a cat can turn in the air despite the law of conservation of angular momentum. Basically, the front and back parts of the cat have equal and opposite angular momentum at all times. In the end the cat's body has rotated by 180 degrees. 

I guess the confusing thing about all this is that formally momentum and angular momentum seem very analogous. But while conservation of momentum implies that the center-of-mass of an isolated body remains at rest if it was at rest initially, there is nothing analogous for the angular momentum, in general (provided we are talking about a body which is not rigid). 

Решил почитать про resource theory, одно потянулось за другим, и так я дошел до демона Максвелла и машины Сциларда. С ними вроде все понятно, но вот позднейшая интерпретация Чарли Беннеттом в терминах информации меня смутила.

Напомню, что за демон Максвелла такой (не путать с демоном Лапласа). У нас коробка с перегородкой, в ней дверца, которая делит коробку на левую и правую половины. Справа и слева молекулы газа. Когда молекула подлетает справа, демон открывает дверцу и пропускает молекулу налево, а потом закрывает дверцу. Когда молекулы подлетают слева, дверца остается закрытой. Через некоторое время все молекулы будут слева. Энтропия газа при этом уменьшилась, что противоречит второму началу термодинамики. Как же так, спрашивает Максвелл?

Лео Сцилард, который вместе с Ферми запатентовал ядерный реактор, опубликовал в 1929 году статью,  где сделал следующий шаг . Допустим у нас всего одна молекула, но мы не знаем, слева или справа. Если бы мы знали, то заменив перегородку движущимся пистоном мы могли бы позволить молекуле давить на пистон и двигать его в нужную нам сторону. Т.е. извлекать работу из энергии окружающей среды (вечный двигатель второго рода). Если мы не знаем, где молекула, то так не сделаешь: если ошибешься, то работа получится отрицательной, так, что в среднем получится нулевая работа. Но давайте спросим демона Максвелла. С его подсказки мы сможем заставить молекулу сделать полезную работу. Потом вставим перегородку-пистон обратно и опять спросим демона. И так далее.  Мы получили вечный двигатель второго рода. Т.е. информация превращается в полезную работу. Второе начало надо поправлять. Но как? Может, для измерения положения молекулы надо совершать работу, так что второе начало на самом деле работает как надо?

В 1961 Рольф Ландауэр предложил, что стирание одного бита информации увеличивает энтропию на kT log 2. Т.е. дело не в том, что измерение требует работы, а в том, что после каждого цикла мы должны стирать информацию о том, где была молекула в этот раз. Если это учесть, то машина Сциларда не нарушает второго начала. 

Чарли Беннетт в 1982 году в обзоре "Thermodynamics of computation" сделал, казалось бы, логичный вывод. Информация - это ресурс, который позволяет нам извлекать полезную работу из окружающей среды, Например, если некто дал мне случайную последовательность битов, то это не позволяет мне извлечь полезную работу. А если некто дал мне последовательность битов, кодирующую поэму Омара Хайяма "The Moving Finger Writes; and having Writ...", то я смогу извлечь из нее полезную работу. Как? Ну, если мы используем машину Сциларда для кодирования одного бита (молекула слева это 0, молекула справа это 1), то можно считать, что некто дал мне несколько машин Сциларда, причем в первом случае я не знаю, где там молекулы, а во втором - знаю. 

Но тут я уже чувствую, что меня обманывают. Если мне дали два закрытых конверта и сказали, что в первом из них бумага с последовательностью 10 нулей, а во втором - бумага с последовательностью 10 случайных битов, то почему первый конверт ценнее чем второй?

 Недавно прочитал интересную вещь: откуда берется распределение Гиббса в статистической механике? В стандартных учебниках вроде Ландау-Лифшица дается такой ответ: это распределение, которое максимизирует энтропию в смысле фон Неймана при фиксированной средней энергии. Этот ответ работает для больших, но конечных систем. Для бесконечных систем аналогом распределения Гиббса является условие Кубо-Мартина-Швингера (KMS condition). Но его физический смысл уже не так ясен.И методом Ландау-Лифшица его не вывести. 

Оказывается, есть красивый альтернативный вывод как условия KMS, так и распределения Гиббса. Мне он нравится больше стандартного. Интересно, что его сначала открыли в контексте бесконечных квантовых систем, и при выводе использовался всякий нетривиальный функциональный анализ (C* алгебры, и т.д.). Но впоследствии результат был перенесен на конечные системы, и даже на классическую статистическую механику, где все гораздо более элементарно.

Идея такая. Назовем систему пассивной если из нее нельзя извлечь положительной работы никаким циклическим процессом. Т.е. если сделать гамильтониан зависящим от времени так, что в через некоторое время мы возвращаемся в исходное состояние, то ожидаемая работа системы всегда отрицательна, независимо от выбора цикла. Т.е. пассивное состояние - это максимально бесполезное состояние.
Оказывается, пассивность почти эквивалентна условию KMS (ну, или распределению Гиббса). А именно, если состояние не только пассивно, но и N копий системы в этом состоянии тоже пассивны (для любого N), то это состояние удовлетворяет условию KMS (ну, или матрица плотности имеет гиббсову форму). Для классических систем достаточно потребовать пассивности для N=2, но для квантовых систем нужно требовать пассивность для любых N. 

Есть в этом какой-то глубокий философский смысл. 

 Как известно, сумасшествие - это состояние, которое наступает после прочтения 8-го тома Ландау-Лифшица, "Электродинамика сплошных сред." Вчера я изучал там главу про постоянный ток, и понял, что наши последние две работы (одна уже вышла, другая скоро выйдет) вносят некоторые поправки в эту классику. Первая поправка касается такого вопроса: почему постоянное электрическое поле приводит к потоку как электрического тока (проводимость), так и тепла (термоэлектрический эффект), а постоянное магнитное поле - нет? Т.е. почему не бывает магнитопроводимости и термомагнитного эффекта? На первый вопрос в ЛЛ есть ответ (в чуть неявном виде), на второй - нет. На самом деле, и имеющийся ответ слишком приблизительный и вызывает дальнейшие вопросы, правильный аргумент сложнее (теорема Блоха-Бома об отсутствии макроскопических электрических токов в состоянии равновесия). Ну, а из нашего результата следует удовлетворительный ответ и на второй вопрос.

Вторая поправка касается термоэлектрического эффекта и термального эффекта Холла (который у ЛЛ называется эффектом Ледюка -Риги). Оказывается, не все из этих транспортных коэффициентов являются хорошо определенными. Для некоторых хорошо определены только производные по параметрам. В результате, нет хороших формул для этих коэффициентов в терминах микроскопического Гамильтониана. Зато есть хорошие формулы для разностей этих коэффициентов для разных материалов.

Горжусь собой: нашел красивое, локальное выражение для потока энергии для взаимодействующих частиц в одном измерении. Интересно, хим. физикам оно известно? Формула неочевидная. Уже использовал эту формулу, чтобы доказать, что в равновесном состоянии поток энергии в квазиодномерной бесконечной системе равен нулю. Это такой аналог теоремы Феликса Блоха, корифея физики твердого тела, который доказал в 30х годах, что в состоянии термодинамического равновесия электрический ток зануляется. Его аргумент, если делать аккуратно, использует квантование заряда. Для энергии это не работает: собственные значения оператора энергии не целые. Но результат должен быть верным: по закону Фурье, тепло течет только если есть перепад температур (а электрический ток, согласно закону Ома, течет только если есть перепад электрического потенциала, поэтому результат Блоха очень естественный). Ну, так вот, значит мы доказали, что в системе частиц в состоянии равновесия поток энергии равен нулю. (В системах спинов на решетке мы это доказали пару недель назад). 

 Пытаюсь навести порядок в теории теплового эффекта Холла в двумерных системах. Это когда тепло течет не от горячего к холодному, а перпендикулярно градиенту температуры. Но поток все равно пропорционален градиенту, как и при обычной теплопроводности. Этот коэффициент мы и хотим посчитать. Оказывается, определить его аккуратно (не говоря уже о том, чтобы посчитать) очень трудно. В системах без взаимодействий этот коэффициент пропорционален обычной электрической проводимости Холла (закон Видемана Франца), так что там проблем нет. А вот в системах со взаимодействием проблема есть. Проблема эта связана с краевыми эффектами: трудно определить поток тепла так, чтобы результат не зависел от типа тепловых резервуаров (а их нужно два, поскольку необходимо создать перепад температуры). Литература (как теоретическая, так и экспериментальная) полна предсказаниями и измерениями теплового эффекта Холла, но что они там реально измеряют, и имеется ли в этом смысл, мне неясно.

С теоретической точки зрения, как мне на настоящий момент кажется, можно определить только изменение этого коэффициента вдоль пути в пространстве параметров системы (температуры и гамильтониана). Говоря научным языком, я умею определять дифференциальную 1-форму на пространстве параметров, интеграл от которой вдоль пути и есть изменение коэффицента теплового эффекта Холла. Форма эта замкнутая, поэтому интеграл не меняется при деформации пути. Казалось бы, тем самым задача почти решена: можно взять какую нибудь простую систему как референтную и сказать, что коэффициент теплового Холла там равен нулю. А для любой другой системы получить его интегрированием вдоль какого-нибудь пути. Но есть закавыка, Форма определена только там, где корреляции быстро спадают с расстоянием и нет фазовых переходов первого рода. Это подмножество в пространстве параметров может иметь нетривиальную топологию. В частности, там могут быть пути из точки А в точку Б, которые нельзя продеформировать друг в друга. Тогда вполне возможно получить разные ответы интегрируя нашу форму по двум разным путям из точки А в точку Б. Что с этим делать - мне пока непонятно. 

Есть такая знаменитая формула для электрической проводимости: формула Грина-Кубо, или просто формула Кубо. Есть и всякие варианты этой формулы на случай тепловой проводимости и тому подобному. Этим формулам уже лет 60, если не больше. В формуле стоит интеграл по времени, от 0 до бесконечности. "А почему он сходится?" задумался Штирлиц. Полез в литературу. И обнаружил, что ответа нет! Точнее, ответ такой: если добавить случайный шум, то можно доказать сходимость (хотя и там есть вопросы: хотелось бы, чтобы сходимость была однородной по размеру системы, но такого результата я не нашел). А если шум устремить к нулю, то никому неизвестно, что получится. В очень простых случаях (системы без взаимодействия и при нулевой температуре) получается простой ответ, причем конечный. Но это не очень интересно. А в интересных случаях может и бесконечность получиться. 

В одной статье авторы честно признались: почему теплопроводность конечна и не равна нулю никому неизвестно. Т.е. закон Фурье остается загадкой. Ну, ладно, хрен с ним, с этим Фурье. А как насчет закона Ома? Я его тоже перестал понимать. 

Теории квантового эффекта Холла (КЭХ)уже более 30 лет, но и там есть белые пятна. Например, не существует точно решаемых моделей дробного КЭХ. Лафлин, когда предложил объяснение дробного КЭХ, использовал взятые "с потолка" волновые функции, которые не являются основными состояниями никакого разумного гамильтониана. Для целочисленного КЭХ можно написать свободные (невзаимодействующие) модельные гамильтонианы, но и тут не все гладко. Например, в принципе целочисленный КЭХ может быть не только в фермионных, но и в бозонных системах, но никаких точно решаемых моделей для бозонов с такими свойствами так и не построено. Проблема в том, что любая модель бозонного КЭХ должна быть взаимодействующей. В общем, ситуацию можно суммировать так: неизвестно ни одной модели со взаимодействием, где можно теоретически (т.е. без приближенных вычислений на компьютере) продемонстрировать наличие КЭХ, хоть целого, хоть дробного.

С другой стороны, за последние 15 лет, физики научились строить большое количество точно решаемых решеточных гамильтонианов со взаимодействием. Это позволяет реализовать (в теории) огромное (бесконечное, на самом деле) количество топологических фаз квантовых систем. Главный класс примеров - это конструкция Левина-Вена (частный случай ее - торический код Китаева). Все эти модели решаемые по простой причине: гамильтониан это сумма "локальных" членов, которые все коммутируют между собой. В жизни такое бывает редко, зато такие модельные гамильтонианы дают кучу примеров очень нетривиальных топологических фаз. Тем не менее, моделй с дробным или целым КЭХ таким образом построить не удалось, и сложилось твердое убеждение, что это сделать невозможно.

Мы, наконец, доказали, что это в самом деле невозможно. Доказательство использует следующий математический факт, связанный с проблемой Серра: любое алгебраическое векторное расслоение на алгебраическом торе тривиально. Доказательство весьма простое и укладывается в пару страниц.