(no subject)

[leblon]

ОК, основы теорфизики - это нереалистично, вычеркиваем.

Какие могут быть более реалистические цели?

Вариант 1-й. Классическая и квантовая механика с геометрической точки зрения, включая интеграл по траекториям. Это все уже есть в монографиях, в общем-то, даже без тензорных индексов. За исключением двух вещей: калибровочных симметрий (метод БРСТ) и систем с суперсимметрией. По ним есть либо обзоры, либо изложения "с индексами". На самом деле, суперсимметричная квантовая механика тесно связана с теорией Ходжа и методом уравнения теплопроводности в теории индекса эллиптических операторов, которые прекрасно изложены в разных книжках, но интерес представляет как раз переход от классической к квантовой суперсимметричной механике.

Вариант 2-й. Классическая механика и классическая теория поля, с уклоном в суперсимметричные и топологические теории поля. Осовременненный Дубровин-Новиков-Фоменко, в общем. Кроме классической механики суперсимметричных систем, можно описать кучу важных примеров теорий поля: сигма-модели, супер-Янг-Миллс и топологические калибровочные теории. Всякие естественные уравнения (инстантонные, монопольные) тоже естественно включаются. Но если за бортом оставить квантование, то исчезает мотивация все это хозяйство изучать: приложения все основаны на функциональном интеграле. Или не исчезает? Мотивация может быть и "внешней" по отношению к книге.

Вариант 3-й: Какая-то комбинация 1 и 2. Надо как-то ухитриться придать смысл функциональному интегралу в теориях поля, хотя бы в топологических. Например, в качестве определения можно взять рецепт вычисления методом локализации. Сомнительно, что это можно сделать в общем виде. Да и в специальных примерах это сделать непросто. И это будет очень длинно. Нет, без общего понятия функционального интеграла это бессмысленное занятие.

Comments

[ayudug.livejournal.com]

1. Tao
2. Roe and Higson

[sowa.livejournal.com]

Ага, Тао. По знакомству. Это плохо. Тао очень плохо пишет "трепологические" статьи. Я пытался прочитать пару в Notices - ужас, несмотря на то, что вторая награждена премией за exposition. Что я в ней понял - это то, как Тао было интересно заниматься обсуждаемой задачкой, как все было придумано - за это, видимо, и дали премию. Чего я не понял - это в чем состоит результат. Другая славна тем, что создает впечатление, что все придумал Тао, когда на самом деле это не так. (В сети был препринт с длинным перечислением ошибок, исторических и математических.) Ну и, конечно, Тао никаким боком не специалист.

Roe and Higson, конечно должны разбираться в предмете, хотя это и не то, чем они занимаются.

Я нарочно указал наиболее подходящих авторов заранее, чтобы не вызвать подозрения в том, что я в любом случае назову другие фамилии.

[ayudug.livejournal.com]

Тао пишет неровно, это видно по блогу. Неудивительно, я не устаю поражаться как можно производить тексты с такой интенсивностью. Статей в Notices не читал. В Bulletin была статья, озаглавлена "Что такое хорошая математика" или как-то так. Там содержались весьма банальные рассуждения на уровне "что такое хорошая математика определить невозможно потому что математика вся такая разная". Еще запомнилось, что он написал что тождества Рамануджана это красивая математика потому-что их просто сформулировать, но не просто доказать. Бред какой-то.
Разные математики --- разные стили работы. Например на противополжном конце спектра, Kerckhoff и Waldhausen, которые поднимают ручку со стола лишь в тех случаях когда есть что сообщить миру действительно интересное.

Возвращаясь к PC, меня все же сильно удивляет Ваша уверенность что прочтение этих статей было бесполезно. Но я опасаюсь что дальнейшее обсуждение уведет в сторону философских обсуждений о том что же есть "польза".

[sowa.livejournal.com]

Я предпочитаю второй стиль. Кстати, Вальдхаузен как математик куда лучше Тао.

"Возвращаясь к PC, меня все же сильно удивляет Ваша уверенность что прочтение этих статей было бесполезно. Но я опасаюсь что дальнейшее обсуждение уведет в сторону философских обсуждений о том что же есть "польза"."

Обсуждать полезность этих статей довольно бессмысленно без самих статей. Вы упоминали какой-то файл - у Вас есть файл всей книги? Или этих статей?

До чтения этих статей у меня есть rebuttable presumption их вредности (более, чем бесполезности).

При этом я не исключаю того, что некоторые из них сами по себе, в отрыве от всей книги, и неплохи. Там много авторов, среди них есть и хорошие - если они все написали равномерно плохо, это было бы удивительно.

[sowa.livejournal.com]

Спасибо, я получил письмо.

Тао - очень плохо. За одно выражение "строгая теорема" надо бить канделябрами по голове, сильно. За "a curious object known as hyperbolic space" - немного послабее.

Roe and Higson - получше. Я плохо понимаю, почему статья называется "Операторные алгебры" - этому предмету посвящена только вторая часть. Третья посвящена темам, близким научным интересам авторов, а не заявленной в заголовке. 15 страниц мне сейчас не прочитать, но некие ляпы видны уже при диагональном просмотре. Принципиальный вопрос: чем отличаются [0,1] и [0, ∞] как упорядоченные множества?!

"The state of a physical system at any given instant is the list of all the information needed to determine its future behavior."

С учетом того, что дальше речь идет о квантовой механике, это звучит странно. И в следующем абзаце авторы более-менее опровергают это утверждение.

Должен признаться, что линейные системы в числовыми коэффициентами меня сильно раздражают.

А главные и фундаментальные достижения теории - классификация Мюррея-фон Неймана и работы Конна по факторам типа III - изложены довольно туманно. Главные результаты Конна не сформулированы. В разделе 2.3 не упомянуты Томита и Такесаки - насколько я знаю, основные идеи принадлежат им.

Я думаю, это можно долго продолжать, но стоит ли?

[ayudug.livejournal.com]

Tao

Ваши замечания по делу. Давайте я скажу что мне понравилось. На двух (последних) страницах он строго определяет кривизну Риччи, так что понятен геометрический смысл. После это неформально объясняется о том что такое поток Риччи, что он делает с метрикой и зачем он нужен. Либо Вы либо posic писали что это вредно.
Мне же это очень понравилось (в данном конкретном случае). Да я так и не знаю строгого определения этого потока. Но я знаю что такое Р. метрика и что значит что Р. метрика гладко меняется. Тао на странице рассказывает о геометрическом смысле потока Р. без единой формулы. Мне это интересно почитать, и для кругозора тоже хорошо. Временных затрат почти никаких.

Roe, Higson
C^* алгебры же есть прямое обобщение. Так что естественно о них написать. Ну да, наверно стоило бы указать в заглавии.

Принципиальный вопрос: чем отличаются [0,1] и [0, ∞] как упорядоченные множества?!

Да, тут я тоже споткнулся. Могу лишь предположить, что этот порядок вводится специальным образом со значениями в [0,+\infty], они это замели под ковер, а ответ оставили как был.

Про физ. ситему, не заметил. Да, ляп.

Про остальное, Вам конечно виднее. Но в целом Вы меня скорее убедили, а мне по прочтению казалось что это почти идеальный expository text.

PS Я пару раз видел, что Вы теорему Атьи-Зингера считаете одним из главных недавних достижений. У меня есть файл про это из PC. Хотите посмотреть?

[sowa.livejournal.com]

Ну вот видите, вы даже не узнали определения потока Риччи. Геометрического смысла я там не заметил - да и нет его, более-менее. Фразы типа "Ricci flow to cause a manifold to develop singularities", на мой взгляд, могут только запутать. Во-первых, многообразие не имеет особенностей по определению, и не может их "develop". Во-вторых (и это более существенно), поток Риччи не определен начиная с того момента, когда, по словам Тао, manifold develops singularities. Его текст оставляет впечатление, что он определен. На самом деле в этом месте и заключена главная трудность теории Гамильтона-Перельмана - поток надо как-то переопределить в этом месте.

Наконец, есть более понятные изложения, в которых все верно. В Notices раза два-три об этом писали.

C*-алгебры - не обобщение, а параллельная теория, придуманная практически одновременно и независимо. В философском плане они связаны с алгебрами фон Неймана как непрерывные функции с измеримыми. Методы довольно разные.

Я думаю, что не порядок вводится специальным образом, а структура богаче, чем порядок, и потому [0,1] и [0, ∞] - разные объекты. Могу ошибаться.

"Но в целом Вы меня скорее убедили, а мне по прочтению казалось что это почти идеальный expository text."

Вот в этом-то одна из главных опасностей. Неспециалист читает, и у него создается иллюзия понимания, когда на самом деле его обманывают.

Про Атийю-Зингера посмотрю с удовольствием.

[sowa.livejournal.com]

Про Атийю-Зингера. Практически все правильно. О понятности мне судить трудно, поскольку я хорошо знаю предмет и мое чтение состояло просто в узнавании знакомых идей. Довольно странно, что на эту тему выделено всего 3 страницы и авторы останавливаются на уровне примерно 65-го года, ничего не говоря ни о других доказательствах, ни об обобщениях - за 40 лет много чего было сделано.

Конкретная придирка. Фраза

"The Atiyah–Singer index theorem then gives a means to generalize the Riemann–Roch theorem to a complex manifold of any dimension."

переворачивает историю. Обобщения теоремы Римана-Роха на многообразия старшей размерности были получены Хирцебрухом и затем, в существенно более сильной форме, Гротендиком. Работа Атийи-Зингера была стимулирована этими результами. Их первое доказательство следует идеям Хирцебруха, а второе - Гротендика (и они этого никогда не скрывали). В рамках статьи разница между первым и вторым доказательствами не видна - все сказанное применимо к обоим.

[dmitri-pavlov.livejournal.com]

>Да, тут я тоже споткнулся. Могу лишь предположить, что этот порядок вводится специальным образом со значениями в [0,+\infty], они это замели под ковер, а ответ оставили как был.

На языке проекций:
множество всех проекций фактора линейно упорядочено и изоморфно одному
из множеств указанного списка, где бесконечность обозначает бесконечную
проекцию, то есть такую проекцию, которая эквивалентна собственной подпроекции.
Интервал [0, 1] означает, что все проекции конечны.

На языке следов:
у каждого фактора существует единственный (с точностью до пропорциональности)
след, всевозможные значения которого как раз и дают нам одно из множеств
списка.
Здесь уже не надо отдельно оговаривать случай бесконечности.

Вообще, я видел несколько обзоров, в которых замалчивался этот
момент при обсуждении классификации факторов, так что этот текст не одинок.