(no subject)
Dec. 16th, 2008 10:10 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
leblonЯ давно думаю, что хорошо было бы иметь краткое изложение основ теорфизики для "взрослых" математиков. Т.е. на аспирантском уровне. Но вот что туда должно входить? Для меня очевидны следующие темы:
1. Классическая механика (симплектическая геометрия, симметрии, теорема Нетер, вариационные принципы, калибровочные симметрии, метод БРСТ, механика на супермногообразиях).
2. Квантовая механика (гиьбертово пространство состояний, алгебра наблюдаемых, теория измерений, квазиклассический предел, квантование кокасательных расслоений, геометрическое квантование).
3. Классическая теория поля (классическая механика на бесконечномерных симплектических пространствах, с несколькими типичными примерами, плюс релятивистские теории поля).
А что еще? Например, должно ли быть изложение основ КТП? Может, важнее аккуратно изложить необходимый предваротельный материал для КТП? Или без КТП такая книга теряет смысл?
1. Классическая механика (симплектическая геометрия, симметрии, теорема Нетер, вариационные принципы, калибровочные симметрии, метод БРСТ, механика на супермногообразиях).
2. Квантовая механика (гиьбертово пространство состояний, алгебра наблюдаемых, теория измерений, квазиклассический предел, квантование кокасательных расслоений, геометрическое квантование).
3. Классическая теория поля (классическая механика на бесконечномерных симплектических пространствах, с несколькими типичными примерами, плюс релятивистские теории поля).
А что еще? Например, должно ли быть изложение основ КТП? Может, важнее аккуратно изложить необходимый предваротельный материал для КТП? Или без КТП такая книга теряет смысл?
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
(no subject)
Date: 2008-12-17 06:49 am (UTC)(no subject)
Date: 2008-12-17 07:00 am (UTC)(no subject)
Date: 2008-12-17 12:17 pm (UTC)(no subject)
Date: 2008-12-17 01:23 pm (UTC)(no subject)
Date: 2008-12-17 02:15 pm (UTC)С КТП проблема в том,что нет общей теории функционального интеграла, или если угодно, нет общепринятых аксиом. Те аксиомы, которые есть, - это просто аксиомы квантовой механики и теории относительности. Это очень слабые аксиомы, и на практике физики используют гораздо больше, но что именно - не совсем понятно. В результате любое изложение КТП - это частные примеры. Исключением является, разве что, теория свободных полей, но это как-то маловато: интересны именно теории со взаимодействием. Можно, конечно, так и сделать: дать пример свободной теории поля, ну и еще теории Черна-Саймонса, и все. Но математики тогда скажут: а где диаграммы Фейнмана, перенормировка, и т.д. Может тогда логичнее ограничиться необходимым подготовительным материалом для КТП, а саму КТП не трогать?
(no subject)
Date: 2008-12-17 02:16 pm (UTC)Mechanics with constraints, gauge theories (Maxwell, Yang-Mills and General Relativity).
Path integral approach to quantum mechanics and to QFT.
I was myself thinking about writing a course of theoretical physics, but I'm not a mathematician, so I don't know what would be interesting for mathematicians.
(no subject)
Date: 2008-12-17 02:27 pm (UTC)(no subject)
Date: 2008-12-17 02:50 pm (UTC)Кроме того, математиков обычно интересует КТП, значит, можно опустить те разделы теорфизики, которые не имеют к КТП отношения (например, статистическую физику).
(no subject)
Date: 2008-12-17 06:22 pm (UTC)С другой стороны пробиваться через все примеры в Ландау-Лифшице для большинства математиков слишком долго и трудно. Хорошо было бы выделить ограниченное количество основных физических примеров и объяснить их на таком языке, чтобы это было понятно для математиков, но в тоже время было достаточно близко к языку, используемому физиками. Вот это был бы настоящий учебник физики для математиков. Даже простой список наиболее важных примеров был бы очень полезен.
(no subject)
Date: 2008-12-17 06:45 pm (UTC)Далее, разные области математики, связанные с физикой, обычно излагаются отдельно. В результате, некоторые факты, вполне классические, известны только узкому кругу математиков. Например, связь вариационных принципов и гамильтоновых векторных полей на симплектических многообразиях. Большинство математиков просто отключаются при виде слова "действие" или "лагранжиан". Или возьмем функциональный интеграл: в контексте квантовой механики с конечным числом степеней свободы это вполне строгая теория, но кому это известно?
Наконец, полезно иметь текст, где содержится своего рода "словарь" для перевода с физического на математический язык.
(no subject)
Date: 2008-12-17 08:07 pm (UTC)а) на семинарах нередко говорится, что нечто (например, о накрытиях римановых поверхностей) является задачей, пришедшей из квантовой механики, но никак не объясняется эта связь, которая прямо в них и состоит;
б) с ними сразу можно продемонстрировать, что в КТП естественно возникает много содержательных математических задач;
в) они достаточно просты, чтобы их можно было понять, и достаточно физичны;
г) кажется, не все квантовые теории поля могут быть получены как фейнмановский интеграл, так что нечестно рассматривать последний как основу. (В качестве «дурацкого» примера, если я правильно понимаю, можно взять уже двумерную квантовую механику: если рассматривать ф. и. по кусочно-постоянным траекториям в двухточечном пространстве, то мы получим не все возможные гамильтонианы. Краем уха я слышал, что есть более содержательные примеры — инстантоны — но не знаю, увы, что это такое.)
(no subject)
Date: 2008-12-17 08:45 pm (UTC)А можно ещё несколько вопросов? Раз уж Вы разговор о физике для математиков завели…
А о какой алгебре идёт речь? Произведение эрмитовых операторов не всегда эрмитово, а симметризованное произведение неассоциативно. Больше я ничего не знаю.
Что такое квантование кокасательных расслоений? Это выписывание интеграла по путям для квадратичного лагранжиана? Или что-то ещё?
А геометрическое квантование?
Вообще же, самое главное, на мой взгляд, создание словаря, с физического на человеческий. Хотя иметь в одном месте собранные все значимые сюжеты будет очень здорово.
И ещё: нигде не написаны ни простейшие примеры (в Ландафшице, например, двумерная квантовая механика разбирается только в … очень поздно, словом; она есть в «Фейнмановских лекциях», но там нет интеграла по путям в двухточечном пространстве), ни точные описания моделей (много ли человек может Кота Шредингера объяснить мне нормально? Подозреваю, примерно те и только те, кто читал фон Неймана. А ведь окончательное описание получается, если я не ошибаюсь, для [по крайней мере конечномерной] КМ такое: есть отрезок — время, с отмеченными точками — моментами измерений, состояния — положительные эрмитовы операторы с единичным следом, между отмеченными точками сопряжение унитарным оператором, в отмеченных точках коллапс; с помощью расширения пространства состояний системы на пространства приборов, можем перенести все измерения вправо или влево, сохраняя порядок — но это всё-таки другая эволюция!).
Так вот, а в каких-нибудь книгах всё это написано? Пускай длинных, не «введениях». Лишь бы это можно было читать не морщась.
(no subject)
Date: 2008-12-17 10:17 pm (UTC)Но есть важный психологический аспект. Кому все это будет адресовано? Студенту-математику? Ему это малоинтересно, он хочет побыстрее выучить математику и доказывать теоремы, а не учить физику впрок. Реально физика интересна работающим математикам, которые столкнулись с ней в своей работе. Им-то нужна именно КТП. То же самое происходит внутри математики - если мне нужен в работе неизвестный мне раздел математики, я ищу книги и статьи, которые позволяют мне войти в предмет на высоком уровне, а не излагающие сначала основные принципы. Насколько я знаю, таких книг по КТП для математиков нет (двухтомник под редакцией Делиня и др. - "чудище обло, озорно, огромно, стозевно и лайя").
(no subject)
Date: 2008-12-17 11:11 pm (UTC)И все равно будут проблемы, как мне кажется. Например, допустим, цель - объяснить конструкцию топологических теорий поля в разных измерениях. Но тогда нужно рассказывать про квантовые аномалии классических симметрий. А это требует предварительного обсуждения перенормировки. И пошло-поехало.
Может, цель - сделать так, что математик, читающий оригинальные статьи по топ. теории поля, будет понимать большую часть терминологии и примерно представлять, что делается? Эта задача поскромнее. Но я не уверен, что тогда стоит огород городить: интересующиеся математики и так примерно представляют, что в этих статьях делается.
Мне так представлялось, что большая часть ТФТ - классическая. Ее реалистично объяснить за разумное время. Квантовая часть (аномалии, диаграммы Фейнмана) требует от читателя гораздо больше.
(no subject)
Date: 2008-12-17 11:36 pm (UTC)Для математиков желательно иметь минимум несколько книг (и хотелось бы, чтобы с них началась традиция писания таких книг) - введения в разные области.
Проблемы, разумеется, будут. Точно такие же проблемы возникают при писании и математических книг. Допустим, я хочу изложить теорему Атийи-Сингера - результат уже давно классический и хорошо понятый с разных сторон. И тут оказывается, что для этого надо изложить и К-теорию, и характеристические классы, и псевдо-дифференциальные операторы, а если хотеть подобраться к современным вещам, то и C*-алгебры, и деформационное квантование. В результате такой книги нет. Что в значительной мере компенсируется тем, что работы Атийи написаны исключительно ясно и могут заменить учебник. Чего нельзя сказать о более поздних работах.
Попутно: вот если бы физики перестали пользоваться тензорными обозначениями (с индексами), это бы очень помогло математикам. Я думаю, что просто переписать некоторые физические тексты в инвариантных обозначениях - уже было бы очень полезным делом.
(no subject)
Date: 2008-12-18 01:31 am (UTC)Математики разные бывают :)) Геометры и аналитики, мне кажется, вполне комфортно себя чувствуют с этими словами. Но, зачастую, не видели никаких физических примеров.
Словарь, да, полезно. Но словари очень трудно читать. Чтобы учить язык, нужен хотя бы разговорник, а лучше сборник простых рассказов на наиболее часто встречающиеся темы.
(no subject)
Date: 2008-12-18 04:21 am (UTC)или аналогичными если в них возникают похожие формулы. Математики так думать как правило не обучены, поэтому объяснять им физику довольно тяжело.
Я думаю, что если математик хорошо понимает квантовую механику и классическую теорию поля (а это предполагает большое количество сделанных
вычислений), то объяснить ему основы КТП не так уж сложно. Дальше уже начинаются другие проблемы:
в современной КТП есть очень много наизвестной математикам математики - например, всё, что связано с (классической -- не квантовой)
суперсимметрией (я помню как в 97-м году Виттен задал на дом в Принстоне доказать один из супер-аналогов тождества Бианки (всё это называлось
super-homework) - Пьеру Делиню понадобилось на это 2 недели). Я ещё не видел ни одного математика (кроме, может быть, Дэна Фрида), хорошо
ориентирующегося в этой теме (99% математиков вырубается при слове "гипер-мультиплет", даже если они примерно понимают о чём в принципе идёт речь).
А объяснить супер-симметричную КТП бе всего этого, как ты понимаешь гораздо лучше меня, невозможно.
А вообще что ни напишешь на эту тему -- всё будет очень полезно.
(no subject)
Date: 2008-12-18 03:07 pm (UTC)"Что такое квантование кокасательных расслоений? Это выписывание интеграла по путям для квадратичного лагранжиана? Или что-то ещё?"
Примерно так. Только во-первых можно это объяснять и на операторном языке, а во-вторых там всякие тонкости есть, связанные с неоднозначностью квантования. В-третьих, интеграл по путям еще определить надо. В данной ситуации это сделать можно, но не очень просто.
Геометрическое квантование - это квантование кэлеровых многообразий (обычно берутся компактные, но это необязательно). Теорема Хирцебруха-Римана-Роха там быстро вылезает, о чем большинство физиков и математиков не знает, по-моему.
Я не понял, что такое "интеграл по путям в двухточечном пространстве". Если вы хотите интеграл по путям для системы, у которой 2-мерное квантовое пространство состояний, то надо воспользоваться геометрическим квантованием какого-то компактного кэлерового многообразия. Обычно берут 2-сферу (т.е. комплексную проективную прямую). Если симплектическая форма правильно нормирована (а именно, интеграл от нее равен 2 пи), то квантование даст как раз 2-мерное пространство состояний. Интеграл по путям таким образом будет интегралом по пространству непрерывных отображений из единичного отрезка в 2-сферу.
(no subject)
Date: 2008-12-18 03:14 pm (UTC)(no subject)
Date: 2008-12-18 05:01 pm (UTC)Под «интегралом по путям по двум точкам» я понимаю следующее (более простое):
есть двухточечное пространство (target, если я не путаю), время — отрезок [0, T]. Классическая механика тривиальна: все траектории непрерывны и потому постоянны (и их всего две штуки, то есть нульмерное пространство). Можно определить фейнмановский интеграл по этому пространству траекторий, которое устроено очень просто. Действие (если требовать инвариантности относительно сдвигов времени) возможно только вида интеграл от потенциальной энергии. Очевидно, что мы получим диагональный гамильтониан, причём на диагонали стоят как раз значения потенциальной энергии в точках [классического] пространства.
Есть более содержательный вариант: разрешить разрывы, то есть назвать траекторией кусочно-постоянную функцию на отрезке [0, T] со значениями в нашем двухточечном множестве. Они параметризуются своими точками разрыва, то есть заполняют объединение кубов с ребром длины T всевозможных размерностей (точнее, в каждом кубе они заполняют симплекс x_1<…<x_n, где x_i — точки разрыва). Действие (опять же, не зависящее от времени явно) устроено так: интеграл от потенциальной энергии плюс какой-то «кинетический» вклад от скачков (вообще говоря, не один и тот же для скачков в разные стороны). Тогда амплитуда перехода из точки А в точку Б даётся интегралом по объединению кубов (точнее, симплексов) от экспоненты i*действие, то есть суммой ряда по размерностям.
Легко видеть, что объём сиплекса размерности N составляет T^N/N!, а экспонента ограничена; следовательно, ряд сходится абсолютно. Кроме того, раскрыванием скобок с учётом аддитивности действия получаем, что матрицы U амплитуд перехода удовлетворяют групповому закону:
U(T_1+T_2) = U(T_1) U(T_2).
Это заодно позволяет явно их посчитать: достаточно знать производную в нуле, которая (делённая на i) такова: на диагонали стоит потенциальная энергия в А и Б, на побочной диагонали -i*e^{K_{АБ}}, -i*e^{K_{БА}}, где К — вклад в действие от скачка из А в Б и обратно.
Чтобы такая эволюция была унитарной, должно быть K_{АБ}+K_{БА} = «пи» + 2«пи»k, k \in Z.
(no subject)
Date: 2008-12-18 07:24 pm (UTC)В частности формулировка КТП с отсылкой к пространству-времени является обычной и немилосердно жкспуатируемой, а, скажем, в теории конденсированного состояния приходится иметь дело с КТП, где этого ничего нет. Та же суперсимметрия. Предположительно есть такой эффект в физике высоких энергий в сильно искаженной форме, есть пара трюков на ее основе и все. Зато теория поля для математиков включает ее на обязательной основе.
Кстати говоря, на подобную общую тему есть четыре книжки Сарданашвили "Современные методы теории поля". Я их брался читать несколько раз, но безуспешно - слишком уж точка зрения отлична от той, к которой привык.
(no subject)
Date: 2008-12-19 09:45 pm (UTC)Если не считать 1+1 мерных конформных теорий поля, несуперсимметричная КТП пока не заинтересовала математиков. А жаль: там полно нерешенных проблем, где математический подход был бы очень кстати. Может, когда математики освоят суперсимметричную КТП, ситуация изменится.
(no subject)
Date: 2012-03-02 03:52 pm (UTC)Интересна та, в которой будет хороший синтез математики и физики. Например, в известной книге Рубакова математики мало и ничего не сказано про формализм расслоений. Тогда как, скажем, у Сарданашвилли мало уделяется физическому смыслу. Одна из лучших в этом плане книга Баеза и ко, но там нет ничего про механизм Хиггса и спонтанное нарушение симметрии.
(no subject)
Date: 2012-03-02 05:39 pm (UTC)(no subject)
Date: 2012-03-02 06:27 pm (UTC)