(no subject)

[leblon]

Я давно думаю, что хорошо было бы иметь краткое изложение основ теорфизики для "взрослых" математиков. Т.е. на аспирантском уровне. Но вот что туда должно входить? Для меня очевидны следующие темы:

1. Классическая механика (симплектическая геометрия, симметрии, теорема Нетер, вариационные принципы, калибровочные симметрии, метод БРСТ, механика на супермногообразиях).

2. Квантовая механика (гиьбертово пространство состояний, алгебра наблюдаемых, теория измерений, квазиклассический предел, квантование кокасательных расслоений, геометрическое квантование).

3. Классическая теория поля (классическая механика на бесконечномерных симплектических пространствах, с несколькими типичными примерами, плюс релятивистские теории поля).

А что еще? Например, должно ли быть изложение основ КТП? Может, важнее аккуратно изложить необходимый предваротельный материал для КТП? Или без КТП такая книга теряет смысл?

Comments

[leblon.livejournal.com]

Проблема в следующем. Материал, описанный выше, представляет собой наиболее фундаментальную часть теорфизики, в том смысле, что тут описываются не конкретные модели/уравнения, а принципы, которым должны подчиняться все конкретные модели. В обычных учебниках теорфизики большое внимание уделяется конкретным задачам и методам их решения, но в учебнике для математиков было бы разумно ограничиться несколькими примерами, и не вдаваться в приложения.

С КТП проблема в том,что нет общей теории функционального интеграла, или если угодно, нет общепринятых аксиом. Те аксиомы, которые есть, - это просто аксиомы квантовой механики и теории относительности. Это очень слабые аксиомы, и на практике физики используют гораздо больше, но что именно - не совсем понятно. В результате любое изложение КТП - это частные примеры. Исключением является, разве что, теория свободных полей, но это как-то маловато: интересны именно теории со взаимодействием. Можно, конечно, так и сделать: дать пример свободной теории поля, ну и еще теории Черна-Саймонса, и все. Но математики тогда скажут: а где диаграммы Фейнмана, перенормировка, и т.д. Может тогда логичнее ограничиться необходимым подготовительным материалом для КТП, а саму КТП не трогать?

[miserakl.livejournal.com]

Аксиомы Сигала вроде позволяют изложить много разных моделей с одной точки зрения, нет? К тому же их в любом случае надо рассказывать, так как:
а) на семинарах нередко говорится, что нечто (например, о накрытиях римановых поверхностей) является задачей, пришедшей из квантовой механики, но никак не объясняется эта связь, которая прямо в них и состоит;
б) с ними сразу можно продемонстрировать, что в КТП естественно возникает много содержательных математических задач;
в) они достаточно просты, чтобы их можно было понять, и достаточно физичны;
г) кажется, не все квантовые теории поля могут быть получены как фейнмановский интеграл, так что нечестно рассматривать последний как основу. (В качестве «дурацкого» примера, если я правильно понимаю, можно взять уже двумерную квантовую механику: если рассматривать ф. и. по кусочно-постоянным траекториям в двухточечном пространстве, то мы получим не все возможные гамильтонианы. Краем уха я слышал, что есть более содержательные примеры — инстантоны — но не знаю, увы, что это такое.)

[sowa.livejournal.com]

Логически оно, может быть, и так. С уже сделанной Бравчиком оговоркой - почти все эти темы есть в математической литературе, хотя и, наверное, не так, как надо.

Но есть важный психологический аспект. Кому все это будет адресовано? Студенту-математику? Ему это малоинтересно, он хочет побыстрее выучить математику и доказывать теоремы, а не учить физику впрок. Реально физика интересна работающим математикам, которые столкнулись с ней в своей работе. Им-то нужна именно КТП. То же самое происходит внутри математики - если мне нужен в работе неизвестный мне раздел математики, я ищу книги и статьи, которые позволяют мне войти в предмет на высоком уровне, а не излагающие сначала основные принципы. Насколько я знаю, таких книг по КТП для математиков нет (двухтомник под редакцией Делиня и др. - "чудище обло, озорно, огромно, стозевно и лайя").

[leblon.livejournal.com]

А что имеется в виду под предметом? Зеркальная симметрия? Теория Сайберга-Виттена? Топологическая теория поля вообще? Суперсимметричная теория поля вообще? Интегрируемые системы в КТП? Солитонные уравнения? Перенормировка? Теория рассеяния? Надо ли излагать все это, или достаточно чтобы читатель смог читать оригинальные статьи? Если предмет понимать широко, то введение опять будет громадным и малополезным. Если узко, то тогда надо сначала выбрать конкретный раздел КТП.

И все равно будут проблемы, как мне кажется. Например, допустим, цель - объяснить конструкцию топологических теорий поля в разных измерениях. Но тогда нужно рассказывать про квантовые аномалии классических симметрий. А это требует предварительного обсуждения перенормировки. И пошло-поехало.

Может, цель - сделать так, что математик, читающий оригинальные статьи по топ. теории поля, будет понимать большую часть терминологии и примерно представлять, что делается? Эта задача поскромнее. Но я не уверен, что тогда стоит огород городить: интересующиеся математики и так примерно представляют, что в этих статьях делается.

Мне так представлялось, что большая часть ТФТ - классическая. Ее реалистично объяснить за разумное время. Квантовая часть (аномалии, диаграммы Фейнмана) требует от читателя гораздо больше.

[sowa.livejournal.com]

Для начала, не надо пытаться объять необъятное. В физике есть традиция всеобъемлющих курсов (Ландау-Лифщиц, Фейнман), но математики, невзирая на Бурбаки (никто не читает и не читал трактат Бурбаки подряд), не любят такой стиль. Один мой знакомый хороший математик говорил, что книжки длинее 200 страниц он читать не может. Я терпимее, 400-500 страниц я считаю нормальным, но больше 200 страниц вряд ли прочитаю.

Для математиков желательно иметь минимум несколько книг (и хотелось бы, чтобы с них началась традиция писания таких книг) - введения в разные области.

Проблемы, разумеется, будут. Точно такие же проблемы возникают при писании и математических книг. Допустим, я хочу изложить теорему Атийи-Сингера - результат уже давно классический и хорошо понятый с разных сторон. И тут оказывается, что для этого надо изложить и К-теорию, и характеристические классы, и псевдо-дифференциальные операторы, а если хотеть подобраться к современным вещам, то и C*-алгебры, и деформационное квантование. В результате такой книги нет. Что в значительной мере компенсируется тем, что работы Атийи написаны исключительно ясно и могут заменить учебник. Чего нельзя сказать о более поздних работах.

Попутно: вот если бы физики перестали пользоваться тензорными обозначениями (с индексами), это бы очень помогло математикам. Я думаю, что просто переписать некоторые физические тексты в инвариантных обозначениях - уже было бы очень полезным делом.