(no subject)

[leblon]

Я давно думаю, что хорошо было бы иметь краткое изложение основ теорфизики для "взрослых" математиков. Т.е. на аспирантском уровне. Но вот что туда должно входить? Для меня очевидны следующие темы:

1. Классическая механика (симплектическая геометрия, симметрии, теорема Нетер, вариационные принципы, калибровочные симметрии, метод БРСТ, механика на супермногообразиях).

2. Квантовая механика (гиьбертово пространство состояний, алгебра наблюдаемых, теория измерений, квазиклассический предел, квантование кокасательных расслоений, геометрическое квантование).

3. Классическая теория поля (классическая механика на бесконечномерных симплектических пространствах, с несколькими типичными примерами, плюс релятивистские теории поля).

А что еще? Например, должно ли быть изложение основ КТП? Может, важнее аккуратно изложить необходимый предваротельный материал для КТП? Или без КТП такая книга теряет смысл?

Comments

[sibirets.livejournal.com]

А в каком смысле это были бы основы теорфизики?

[leblon.livejournal.com]

В смысле, это наиболее общие концепции теорфизики, применимые ко всем физическим системам. Обычные учебники (вроде Ландау-Лифшица) обсуждают очень много конкретных приложений, и математикам сквозь них не продраться. Например, гидродинамика или кинетическая теория заведомо не попадают в список, поскольку описывают специальные системы.

Кроме того, математиков обычно интересует КТП, значит, можно опустить те разделы теорфизики, которые не имеют к КТП отношения (например, статистическую физику).

[bravchick.livejournal.com]

Мне кажется, без большого количества конкретных задач и примеров такой учебник не будет слишком полезен. На самом деле все эти темы, может быть кроме некоторых частей пункта 3, излагаются в математической литературе и в большой мере стали частью математики. Но при этом они оторвались от конкретных физических примеров, а сами темы стали чем-то совершенно отличным от того, что под ними понимали физики ("Математики, как французы: всё, что вы им говорите, они переводят на свой язык, и это тотчас же становится чем-то совершенно иным"). Мой опыт показывает, что знание математического описания этих теорий с минимальным количеством физических примеров не очень помогает при попытки найти общий язык с физиками.

С другой стороны пробиваться через все примеры в Ландау-Лифшице для большинства математиков слишком долго и трудно. Хорошо было бы выделить ограниченное количество основных физических примеров и объяснить их на таком языке, чтобы это было понятно для математиков, но в тоже время было достаточно близко к языку, используемому физиками. Вот это был бы настоящий учебник физики для математиков. Даже простой список наиболее важных примеров был бы очень полезен.

[leblon.livejournal.com]

По-моему, одна из целей - это как раз объяснить, как у физиков возникают разные математические понятия, и как они применяются для описания классических и квантовых систем. Т.е. материал во многом классический, но мотивировка - физическая. Это можно делать на примерах, но можно и на уровне аксиом и теорем. Примеры, в идеале, должны быть подбраны для иллюстрации базовых принципов, а не потому, что они сами по себе важны.

Далее, разные области математики, связанные с физикой, обычно излагаются отдельно. В результате, некоторые факты, вполне классические, известны только узкому кругу математиков. Например, связь вариационных принципов и гамильтоновых векторных полей на симплектических многообразиях. Большинство математиков просто отключаются при виде слова "действие" или "лагранжиан". Или возьмем функциональный интеграл: в контексте квантовой механики с конечным числом степеней свободы это вполне строгая теория, но кому это известно?

Наконец, полезно иметь текст, где содержится своего рода "словарь" для перевода с физического на математический язык.

[bravchick.livejournal.com]

Большинство математиков просто отключаются при виде слова "действие" или "лагранжиан".

Математики разные бывают :)) Геометры и аналитики, мне кажется, вполне комфортно себя чувствуют с этими словами. Но, зачастую, не видели никаких физических примеров.

Словарь, да, полезно. Но словари очень трудно читать. Чтобы учить язык, нужен хотя бы разговорник, а лучше сборник простых рассказов на наиболее часто встречающиеся темы.

[sibirets.livejournal.com]

У Ландау и Лифшица довольно специфический статус. Грубо говоря, это справочник по тем самым конкретным приложениям. В этой связи, когда я видел обсуждения физики для математиков, то это почти всегда выглядело, как если бы те же самые приложения переписали в другой системе ценностей. Характерным было то, что там, где изложение в физическом оригинале хромало от недостаточной идейной общности, тем же недостатком страдал и вариант для математиков. Я как-то приводил пример на эту тему http://sibirets.livejournal.com/55037.html Рассуждения "в духе ЛЛ" оказывается возможным продолжить поскольку они не завязаны на некую жесткую структуру, а формулировка на продвинутом языке оказывается совершенно неподъемной.

В частности формулировка КТП с отсылкой к пространству-времени является обычной и немилосердно жкспуатируемой, а, скажем, в теории конденсированного состояния приходится иметь дело с КТП, где этого ничего нет. Та же суперсимметрия. Предположительно есть такой эффект в физике высоких энергий в сильно искаженной форме, есть пара трюков на ее основе и все. Зато теория поля для математиков включает ее на обязательной основе.

Кстати говоря, на подобную общую тему есть четыре книжки Сарданашвили "Современные методы теории поля". Я их брался читать несколько раз, но безуспешно - слишком уж точка зрения отлична от той, к которой привык.

[leblon.livejournal.com]

Конечно, математиков в КТП интересует совсем не то, что физиков. В частности поэтому учебники КТП, написанные для физиков, совершенно не подходят для математиков. Суперсимметрия в физике - это интересная, но недоказанная гипотеза. Но это основное связующее звено между КТП и интересной математикой.

Если не считать 1+1 мерных конформных теорий поля, несуперсимметричная КТП пока не заинтересовала математиков. А жаль: там полно нерешенных проблем, где математический подход был бы очень кстати. Может, когда математики освоят суперсимметричную КТП, ситуация изменится.