(no subject)

[leblon]

Я давно думаю, что хорошо было бы иметь краткое изложение основ теорфизики для "взрослых" математиков. Т.е. на аспирантском уровне. Но вот что туда должно входить? Для меня очевидны следующие темы:

1. Классическая механика (симплектическая геометрия, симметрии, теорема Нетер, вариационные принципы, калибровочные симметрии, метод БРСТ, механика на супермногообразиях).

2. Квантовая механика (гиьбертово пространство состояний, алгебра наблюдаемых, теория измерений, квазиклассический предел, квантование кокасательных расслоений, геометрическое квантование).

3. Классическая теория поля (классическая механика на бесконечномерных симплектических пространствах, с несколькими типичными примерами, плюс релятивистские теории поля).

А что еще? Например, должно ли быть изложение основ КТП? Может, важнее аккуратно изложить необходимый предваротельный материал для КТП? Или без КТП такая книга теряет смысл?

Comments

[leblon.livejournal.com]

Под алгеброй "наблюдаемых" имеется в виду алгебра всех операторов. Конечно, настоящие наблюдаемые - это самосопряженные элементы в этой алгебре, это жаргон такой.

"Что такое квантование кокасательных расслоений? Это выписывание интеграла по путям для квадратичного лагранжиана? Или что-то ещё?"

Примерно так. Только во-первых можно это объяснять и на операторном языке, а во-вторых там всякие тонкости есть, связанные с неоднозначностью квантования. В-третьих, интеграл по путям еще определить надо. В данной ситуации это сделать можно, но не очень просто.

Геометрическое квантование - это квантование кэлеровых многообразий (обычно берутся компактные, но это необязательно). Теорема Хирцебруха-Римана-Роха там быстро вылезает, о чем большинство физиков и математиков не знает, по-моему.

Я не понял, что такое "интеграл по путям в двухточечном пространстве". Если вы хотите интеграл по путям для системы, у которой 2-мерное квантовое пространство состояний, то надо воспользоваться геометрическим квантованием какого-то компактного кэлерового многообразия. Обычно берут 2-сферу (т.е. комплексную проективную прямую). Если симплектическая форма правильно нормирована (а именно, интеграл от нее равен 2 пи), то квантование даст как раз 2-мерное пространство состояний. Интеграл по путям таким образом будет интегралом по пространству непрерывных отображений из единичного отрезка в 2-сферу.

[miserakl.livejournal.com]

Спасибо.

Под «интегралом по путям по двум точкам» я понимаю следующее (более простое):
есть двухточечное пространство (target, если я не путаю), время — отрезок [0, T]. Классическая механика тривиальна: все траектории непрерывны и потому постоянны (и их всего две штуки, то есть нульмерное пространство). Можно определить фейнмановский интеграл по этому пространству траекторий, которое устроено очень просто. Действие (если требовать инвариантности относительно сдвигов времени) возможно только вида интеграл от потенциальной энергии. Очевидно, что мы получим диагональный гамильтониан, причём на диагонали стоят как раз значения потенциальной энергии в точках [классического] пространства.

Есть более содержательный вариант: разрешить разрывы, то есть назвать траекторией кусочно-постоянную функцию на отрезке [0, T] со значениями в нашем двухточечном множестве. Они параметризуются своими точками разрыва, то есть заполняют объединение кубов с ребром длины T всевозможных размерностей (точнее, в каждом кубе они заполняют симплекс x_1<…<x_n, где x_i — точки разрыва). Действие (опять же, не зависящее от времени явно) устроено так: интеграл от потенциальной энергии плюс какой-то «кинетический» вклад от скачков (вообще говоря, не один и тот же для скачков в разные стороны). Тогда амплитуда перехода из точки А в точку Б даётся интегралом по объединению кубов (точнее, симплексов) от экспоненты i*действие, то есть суммой ряда по размерностям.

Легко видеть, что объём сиплекса размерности N составляет T^N/N!, а экспонента ограничена; следовательно, ряд сходится абсолютно. Кроме того, раскрыванием скобок с учётом аддитивности действия получаем, что матрицы U амплитуд перехода удовлетворяют групповому закону:
U(T_1+T_2) = U(T_1) U(T_2).

Это заодно позволяет явно их посчитать: достаточно знать производную в нуле, которая (делённая на i) такова: на диагонали стоит потенциальная энергия в А и Б, на побочной диагонали -i*e^{K_{АБ}}, -i*e^{K_{БА}}, где К — вклад в действие от скачка из А в Б и обратно.

Чтобы такая эволюция была унитарной, должно быть K_{АБ}+K_{БА} = «пи» + 2«пи»k, k \in Z.