(no subject)

[leblon]

ОК, основы теорфизики - это нереалистично, вычеркиваем.

Какие могут быть более реалистические цели?

Вариант 1-й. Классическая и квантовая механика с геометрической точки зрения, включая интеграл по траекториям. Это все уже есть в монографиях, в общем-то, даже без тензорных индексов. За исключением двух вещей: калибровочных симметрий (метод БРСТ) и систем с суперсимметрией. По ним есть либо обзоры, либо изложения "с индексами". На самом деле, суперсимметричная квантовая механика тесно связана с теорией Ходжа и методом уравнения теплопроводности в теории индекса эллиптических операторов, которые прекрасно изложены в разных книжках, но интерес представляет как раз переход от классической к квантовой суперсимметричной механике.

Вариант 2-й. Классическая механика и классическая теория поля, с уклоном в суперсимметричные и топологические теории поля. Осовременненный Дубровин-Новиков-Фоменко, в общем. Кроме классической механики суперсимметричных систем, можно описать кучу важных примеров теорий поля: сигма-модели, супер-Янг-Миллс и топологические калибровочные теории. Всякие естественные уравнения (инстантонные, монопольные) тоже естественно включаются. Но если за бортом оставить квантование, то исчезает мотивация все это хозяйство изучать: приложения все основаны на функциональном интеграле. Или не исчезает? Мотивация может быть и "внешней" по отношению к книге.

Вариант 3-й: Какая-то комбинация 1 и 2. Надо как-то ухитриться придать смысл функциональному интегралу в теориях поля, хотя бы в топологических. Например, в качестве определения можно взять рецепт вычисления методом локализации. Сомнительно, что это можно сделать в общем виде. Да и в специальных примерах это сделать непросто. И это будет очень длинно. Нет, без общего понятия функционального интеграла это бессмысленное занятие.

Comments

Re: Индексоборчество

[chaource.livejournal.com]

Да, про символы Кристоффеля это хорошій вопросъ. Я не знаю, какъ "по-человѣчески" объяснить, что въ нихъ получается симметричность по нижнимъ индексамъ.

Кстати, я обнаружилъ очень полезную формулу для связности Леви-Чивита.

Обозначенія: \nabla _ x y - это производная векторнаго поля y по вектору x

g(..., y) это 1-форма, соотвѣтствующая вектору y, по отношенію къ метрическому тензору g,

g(x,y) это скалярное произведеніе x и y

\cal L _x А - это производная Ли тензора А по отношенію къ векторному полю x.

Коваріантная производная \nabla _x y будетъ извѣстна, если мы будемъ знать такую билинейную функцію отъ двухъ векторовъ a, b: g(\nabla _a y, b) . Обозначимъ эту функцію такъ:

g( \nabla _{...} y, ...)

Тогда эта функція будетъ задана такой относительно простой формулой:

2 g( \nabla _{...} y, ...) = d g(..., y ) + \cal L _y g

Здѣсь d g(..., y) это 2-форма - внѣшній дифференціалъ 1-формы g(...,y), а \cal L_y g это симметричная билинейная форма, которая получается какъ производная Ли отъ метрическаго тензора. То-есть мы явно разложили билинейную форму g( \nabla _{...} y, ...) на симметричную и антисимметричную части.

Съ этой формулой вычисленія часто становятся гораздо короче.

Re: Индексоборчество

[chaource.livejournal.com]

Полезность этой формулы ещё и въ томъ, что она явно используетъ метрическій тензоръ. И значитъ можно легко продифференцировать какое-либо выраженіе, содержащее коваріантную производную, по метрическому тензору.

Re: Индексоборчество

[posic.livejournal.com]

По-человечески, отсутствие кручения у связности на касательном расслоении записывается тождеством \nabla_x y - \nabla_y x = [x,y] для векторных полей x,y. Поскольку координатные векторные поля коммутируют, получается симметричность. Но вот восстановить это тождество, исходя из условия "симметричности символов Кристоффеля" -- задачка не совсем тривиальная.

Формула твоя отличнейшая. Например, посчитать, как меняется связность Леви-Чивита при конформном преобразовании метрики с ее помощью можно, небось, немедленно.

Re: Индексоборчество

[chaource.livejournal.com]

Да, это получается легко. Часто ещё нужны производные отъ такихъ векторовъ у, что заранѣе извѣстно, что g(\nabla _{...}y, ...) либо симметрична, либо антисимметрична. Тогда въ этой формулѣ остаётся только одно слагаемое и всё вычисленіе сильно упрощается.

А вывести эту формулу тоже относительно легко. Надо просто вычислить у билинейной формы g(\nabla _{...}y, ...) сначала симметричную часть, а потомъ антисимметричную часть. После этого всё упрощается.