(no subject)

[leblon]

ОК, основы теорфизики - это нереалистично, вычеркиваем.

Какие могут быть более реалистические цели?

Вариант 1-й. Классическая и квантовая механика с геометрической точки зрения, включая интеграл по траекториям. Это все уже есть в монографиях, в общем-то, даже без тензорных индексов. За исключением двух вещей: калибровочных симметрий (метод БРСТ) и систем с суперсимметрией. По ним есть либо обзоры, либо изложения "с индексами". На самом деле, суперсимметричная квантовая механика тесно связана с теорией Ходжа и методом уравнения теплопроводности в теории индекса эллиптических операторов, которые прекрасно изложены в разных книжках, но интерес представляет как раз переход от классической к квантовой суперсимметричной механике.

Вариант 2-й. Классическая механика и классическая теория поля, с уклоном в суперсимметричные и топологические теории поля. Осовременненный Дубровин-Новиков-Фоменко, в общем. Кроме классической механики суперсимметричных систем, можно описать кучу важных примеров теорий поля: сигма-модели, супер-Янг-Миллс и топологические калибровочные теории. Всякие естественные уравнения (инстантонные, монопольные) тоже естественно включаются. Но если за бортом оставить квантование, то исчезает мотивация все это хозяйство изучать: приложения все основаны на функциональном интеграле. Или не исчезает? Мотивация может быть и "внешней" по отношению к книге.

Вариант 3-й: Какая-то комбинация 1 и 2. Надо как-то ухитриться придать смысл функциональному интегралу в теориях поля, хотя бы в топологических. Например, в качестве определения можно взять рецепт вычисления методом локализации. Сомнительно, что это можно сделать в общем виде. Да и в специальных примерах это сделать непросто. И это будет очень длинно. Нет, без общего понятия функционального интеграла это бессмысленное занятие.

Comments

[posic.livejournal.com]

Ну, надо взять B\otimes B, переставить вторую и третью компоненты, и применить R (понимаемый как отображение V\otimes V\to V) к последним двум компонентам. Это если словами.

Еще можно картиночки рисовать, типа диаграмм: изображать тензор типа (n,m) в виде элемента, откуда торчат n ребер, направленных вниз, и m ребер, направленных вверх. Свертки тензоров обозначать соединением ребер.

Можно и формульные обозначения придумать: ввести символы, обозначающие перестановки и свертки компонент тензоров. Скажем, если \tau_{ab} обозначает свертку компонент номер а и b, то C=\tau_{26}\tau_{47}(B\otimes B\otimes R).

Наконец, есть обозначения в стиле тех, которыми пользуются специалисты по алгебрам Хопфа. Будем писать условно B = b'_1\otimes b'_2 = b''_1\otimes b''_2, а R будем считать отображением V\otimes V\to V. Тогда C = b'_1\otimes b''_1\otimes R(b'_2\otimes b''_2). Пусть специалисты по алгебрам Хопфа меня поправят.

Все эти варианты не идеальны.

Индексоборчество

[clovis3.livejournal.com]

Граждане математики,

Зачем изобретать велосипед? Индексы -- это очень удобный способ показать, сечения каких тензорных произведений входят в формулу и между какими пространствами происходят свёртки. Почему надо придумывать другие способы отображения этой структуры, лишь бы не писать индексы?

Индексы напоминают нам о существовании базисов -- ну, так это даже хорошо: с помощью базисов можно проводить конкретные вычисления. А можно и не проводить, никто не заставляет.

Re: Индексоборчество

[posic.livejournal.com]

За других математиков не скажу, скажу за себя. Возможно, физик в самом деле сразу видит, что за объекты скрываются за буквами с индексами, какие индексы пробегают базисы в каких пространствах, и т.п. Но я, глядя на формулу с индексами, этого не вижу.

Eсли написать так, как написал здесь leblon: мол, B принадлежит V\otimes V, R принадлежит V\otimes V*\otimes V*, C будет принадлежать V\otimes V\otimes V, и вот формула с индексами, выражающая C через B и R -- тогда я могу понять, что эта формула значит. В более сложных случаях мне понадобились бы дополнительные пояснения: соответствуют ли верхние индексы элементам V, а нижние -- V*, или наоборот; какие индексы обозначают базис V, а какие -- W, и т.п.

Это еще полбеды, пока обсуждается полилинейная алгебра, как в этом примере. Настоящая беда наступает, когда начинается дифференциальная геометрия. Там не все объекты являются тензорами, бывают еще связности (символы Кристоффеля, калибровочные поля, или как там еще их называют). И вот когда в формулы входят буквы с индексами, долженствующие обозначать матрицы связностей, смысл таких формул становится уже категорически непонятен.

Я помню, какой ступор вызывали у меня в юности объяснения связности Леви-Чивита на римановом многообразии, основанные на апелляции к свойствам (косо)симметричности символов Кристоффеля. В книжках по математике, не по физике. Что это вообще значит? -- думал я. Это же не тензор! Какая может быть симметричность, это же у связности два аргумента совершенно разной природы?

Re: Индексоборчество

[chaource.livejournal.com]

Да, про символы Кристоффеля это хорошій вопросъ. Я не знаю, какъ "по-человѣчески" объяснить, что въ нихъ получается симметричность по нижнимъ индексамъ.

Кстати, я обнаружилъ очень полезную формулу для связности Леви-Чивита.

Обозначенія: \nabla _ x y - это производная векторнаго поля y по вектору x

g(..., y) это 1-форма, соотвѣтствующая вектору y, по отношенію къ метрическому тензору g,

g(x,y) это скалярное произведеніе x и y

\cal L _x А - это производная Ли тензора А по отношенію къ векторному полю x.

Коваріантная производная \nabla _x y будетъ извѣстна, если мы будемъ знать такую билинейную функцію отъ двухъ векторовъ a, b: g(\nabla _a y, b) . Обозначимъ эту функцію такъ:

g( \nabla _{...} y, ...)

Тогда эта функція будетъ задана такой относительно простой формулой:

2 g( \nabla _{...} y, ...) = d g(..., y ) + \cal L _y g

Здѣсь d g(..., y) это 2-форма - внѣшній дифференціалъ 1-формы g(...,y), а \cal L_y g это симметричная билинейная форма, которая получается какъ производная Ли отъ метрическаго тензора. То-есть мы явно разложили билинейную форму g( \nabla _{...} y, ...) на симметричную и антисимметричную части.

Съ этой формулой вычисленія часто становятся гораздо короче.

Re: Индексоборчество

[chaource.livejournal.com]

Полезность этой формулы ещё и въ томъ, что она явно используетъ метрическій тензоръ. И значитъ можно легко продифференцировать какое-либо выраженіе, содержащее коваріантную производную, по метрическому тензору.

Re: Индексоборчество

[posic.livejournal.com]

По-человечески, отсутствие кручения у связности на касательном расслоении записывается тождеством \nabla_x y - \nabla_y x = [x,y] для векторных полей x,y. Поскольку координатные векторные поля коммутируют, получается симметричность. Но вот восстановить это тождество, исходя из условия "симметричности символов Кристоффеля" -- задачка не совсем тривиальная.

Формула твоя отличнейшая. Например, посчитать, как меняется связность Леви-Чивита при конформном преобразовании метрики с ее помощью можно, небось, немедленно.

Re: Индексоборчество

[chaource.livejournal.com]

Да, это получается легко. Часто ещё нужны производные отъ такихъ векторовъ у, что заранѣе извѣстно, что g(\nabla _{...}y, ...) либо симметрична, либо антисимметрична. Тогда въ этой формулѣ остаётся только одно слагаемое и всё вычисленіе сильно упрощается.

А вывести эту формулу тоже относительно легко. Надо просто вычислить у билинейной формы g(\nabla _{...}y, ...) сначала симметричную часть, а потомъ антисимметричную часть. После этого всё упрощается.

Нековариантности бой!

[clovis3.livejournal.com]

Возможно, физик в самом деле сразу видит, что за объекты скрываются за буквами с индексами, какие индексы пробегают базисы в каких пространствах, и т.п. Но я, глядя на формулу с индексами, этого не вижу.

Физики обычно с самого начала сообщают, какие индексы относятся к каким пространствам. Например, греческие буквы \mu, \nu и т.п. относятся к касательному пространству, когда они сверху, и к кокасательному, когда снизу. Если два греческих индекса появились одновременно, то перед нами сечение тензорного произведения двух касательных или кокасательных пространств. Если какой-то индекс встречается дважды (один раз сверху и один раз снизу), то значит, что подразумевается спаривание между сопряжёнными пространствами. По-моему, это очень удобная система обозначений, особенно, когда происходит несколько неочевидных свёрток.

Что касается связностей, то тут нужна большая осторожность. Конечно, лучше всегда использовать \nabla, не разделяя её на собственно производную и на дополнительную 1-форму связности, так как это разделение не ковариантно. Но в таких обозначения удобно делать вычисления. Например, пусть у нас есть отображение f: M --> X, а на Х есть расслоение со связностью, и надо выписать вариацию pull-back от этой связности, вызванную вариацией f. Когда видишь перед глазами 1-формы, то как-то легче вообразить это вычисление, но, наверное, всё-таки надо отвыкать от такого подхода. Положа руку на сердце, признаем, что в физической литературе местами кочуют из статьи в статью верные, но нековариантные формулы, содержащие символы Кристоффеля. Это, конечно, безобразие.

[leblon.livejournal.com]

Картиночки - это хорошо, так про тензора и надо думать. К сожалению, это, во-первых, не является общепринятым, а во-вторых трудно в латехе изобразить.

Обозначить свертку специальным символом - тоже неплохо. К сожалению, если у нас больше одного векторного пространства, то надо еще указывать, какое векторное пространство имеется в виду.

[posic.livejournal.com]

У математиков вообще мало общепринятых обозначений. Каждый автор в каждой статье вводит и объясняет свои собственные обозначения. Это, видимо, одна из причин того, что математикам трудно понимать физиков -- у физиков много стандартных обозначений, которые физики не объясняют, а математики их не знают.

Так что математики будут вполне счастливы, если им предложат удобную систему обозначений с картиночками, соответствующую тому, как надо думать. Потом можно будет разработать теорию таких картиночек... Но рисовать картинки на компьютере трудно, да.

В чем проблема с указанием векторного пространства в обозначениях для свертки? Можно писать что-нибудь вроде \tau^V_{ab}.

[chaource.livejournal.com]

Пенроузъ разработалъ картинки въ своей ужасной книгѣ про твисторы. Никто, кромѣ него, не сталъ использовать картинки для обозначенія тензоровъ.

Проблема съ обозначеніемъ типа \tau _{24} \tau _{13} (A \otimes B \otimes C), я думаю, въ томъ, что съ этимъ объектомъ трудно производить въ явномъ видѣ вычисленія.

Примѣръ: Заданы векторы a, b и метрическій тензоръ g. Опредѣлимъ обратный метрическій тензоръ g^{-1} и 1-форму A = g(..., a). Нужно вычислить свёртку (A\otimes A - g) (b \otimes b - g^{-1}).
Пишемъ:
\tau _{13} \tau {24} (g(...,a) \otimes g(...,a) - g)\otimes (b\otimes b - g^{-1} ).

Думаю, нелегко разобраться, что это значитъ. Нельзя просто вычислить такое выраженіе по какимъ-то очевиднымъ правиламъ - надо сначала разобраться, что стоитъ за обозначеніями, потомъ разбираться отдѣльно съ каждымъ слагаемымъ.

Въ индексахъ это выглядитъ такъ: ( a_i a_j -g_{ij} ) ( b^i b^j - g^{ij} ). Вычисляется въ одну строчку.

Съ помощью моего обозначенія свёртки (безъ индексовъ) это тоже вычисляется примѣрно такъ же быстро, но нѣсколько болѣе громоздко.

Tr _x Tr _y (g(a,x)g(a,y)-g(x,y)) ( g(b,x)g(b,y) - g(x,y) ) .

Пользуемся свойствомъ Tr _x g(a,x) x = a и упрощаемъ до g(a,b) g(a,b) - g(a,a) -g(b,b) + N, гдѣ N - размѣрность пространства.

При этомъ, правда, приходится писать много символовъ g всё время.

[posic.livejournal.com]

Мне кажется, во всех трех вариантах надо разбираться отдельно с каждым слагаемым. Разница в основном в том, что обозначения с \tau длиннее всего, с индексами -- короче всего, а твой вариант, может быть, где-то посередине.

Конечно, для серьезных вычислений предпочтительна короткая запись. Может быть, физики предпочитают индексные обозначения их-за их краткости?