(no subject)

[leblon]

ОК, основы теорфизики - это нереалистично, вычеркиваем.

Какие могут быть более реалистические цели?

Вариант 1-й. Классическая и квантовая механика с геометрической точки зрения, включая интеграл по траекториям. Это все уже есть в монографиях, в общем-то, даже без тензорных индексов. За исключением двух вещей: калибровочных симметрий (метод БРСТ) и систем с суперсимметрией. По ним есть либо обзоры, либо изложения "с индексами". На самом деле, суперсимметричная квантовая механика тесно связана с теорией Ходжа и методом уравнения теплопроводности в теории индекса эллиптических операторов, которые прекрасно изложены в разных книжках, но интерес представляет как раз переход от классической к квантовой суперсимметричной механике.

Вариант 2-й. Классическая механика и классическая теория поля, с уклоном в суперсимметричные и топологические теории поля. Осовременненный Дубровин-Новиков-Фоменко, в общем. Кроме классической механики суперсимметричных систем, можно описать кучу важных примеров теорий поля: сигма-модели, супер-Янг-Миллс и топологические калибровочные теории. Всякие естественные уравнения (инстантонные, монопольные) тоже естественно включаются. Но если за бортом оставить квантование, то исчезает мотивация все это хозяйство изучать: приложения все основаны на функциональном интеграле. Или не исчезает? Мотивация может быть и "внешней" по отношению к книге.

Вариант 3-й: Какая-то комбинация 1 и 2. Надо как-то ухитриться придать смысл функциональному интегралу в теориях поля, хотя бы в топологических. Например, в качестве определения можно взять рецепт вычисления методом локализации. Сомнительно, что это можно сделать в общем виде. Да и в специальных примерах это сделать непросто. И это будет очень длинно. Нет, без общего понятия функционального интеграла это бессмысленное занятие.

Comments

[sasha-br.livejournal.com]

Функциональный интеграл сам по себе бессмысленное понятие пока ты не объяснил как именно с ним работать. То, что хорошо было бы обяснить
математикам, это каким образом суперсимметрия позволяет "переписать" функциональный интеграл через сумму по инстантонам (т.е. через конечномерные
(хотя и зачастую расходящиеся) интегралы). С моей математической колокольни кажется, что суперсимметрия только для этого и нужна.

[leblon.livejournal.com]

Я не это имел в виду. Дело в том, что многие свойства интеграла должны иметь место и в несуперсимметричном случае. Вообще, должен быть какой-то аналог меры Винера для большого класса теорий поля, и многие свойства должны следовать из этого. Очень неудобно доказывать эти свойства отдельно для суперсимметричных интегралов, определенных методом локализации. Более того, в большинстве интересных случаев пространство, на котором все локализуется, не является многообразием (имеет всяческие сингулярности), и не очень понятно, как по нему интегрировать. (Собственно, единственный случай, когда нет сингулярностей, - это B-модель. Ну, и ее 3-мерный аналог - модель Розанского-Виттена.) В конкретных случаях этих сингулярностей стараются избежать, например, выбирая разные хорошие граничные условия. Но это выглядит очень уродливо: ясно же, что интеграл имеет смысл даже когда локализация не очень полезна.