(no subject)

[leblon]

ОК, основы теорфизики - это нереалистично, вычеркиваем.

Какие могут быть более реалистические цели?

Вариант 1-й. Классическая и квантовая механика с геометрической точки зрения, включая интеграл по траекториям. Это все уже есть в монографиях, в общем-то, даже без тензорных индексов. За исключением двух вещей: калибровочных симметрий (метод БРСТ) и систем с суперсимметрией. По ним есть либо обзоры, либо изложения "с индексами". На самом деле, суперсимметричная квантовая механика тесно связана с теорией Ходжа и методом уравнения теплопроводности в теории индекса эллиптических операторов, которые прекрасно изложены в разных книжках, но интерес представляет как раз переход от классической к квантовой суперсимметричной механике.

Вариант 2-й. Классическая механика и классическая теория поля, с уклоном в суперсимметричные и топологические теории поля. Осовременненный Дубровин-Новиков-Фоменко, в общем. Кроме классической механики суперсимметричных систем, можно описать кучу важных примеров теорий поля: сигма-модели, супер-Янг-Миллс и топологические калибровочные теории. Всякие естественные уравнения (инстантонные, монопольные) тоже естественно включаются. Но если за бортом оставить квантование, то исчезает мотивация все это хозяйство изучать: приложения все основаны на функциональном интеграле. Или не исчезает? Мотивация может быть и "внешней" по отношению к книге.

Вариант 3-й: Какая-то комбинация 1 и 2. Надо как-то ухитриться придать смысл функциональному интегралу в теориях поля, хотя бы в топологических. Например, в качестве определения можно взять рецепт вычисления методом локализации. Сомнительно, что это можно сделать в общем виде. Да и в специальных примерах это сделать непросто. И это будет очень длинно. Нет, без общего понятия функционального интеграла это бессмысленное занятие.

Comments

[kapahel.livejournal.com]

Я посмотрел сейчас -- там ничего подобного нет. Про функциональный интеграл есть в $C^*$-Algebras and Elliptic Operators in Differential Topology - Yu. P. Solovyov and E. V. Troitsky. В обоих источниках пишут про супермногообразия, но не про SUSY QM. Так что, может быть, книги, которую вы описываете в первом варианте, не существует, а было бы интересно ее почитать. Второй вариант тоже интересен, и даже больше, потому что по нему не очень понятно, что читать, в отличие от первого. В чем идея третьего варианта -- я не понял.

[leblon.livejournal.com]

Идея в том, чтобы попытаться определить функциональный интеграл хотя бы в топологических теориях поля, используя тот факт, что формально он локализуется на БРСТ-инвариантных конфигурациях. Тогда можно рассмотреть не только классические, но и квантовые топологические теории поля. Но я уже потом сообразил, что это не решает проблемы, поскольку обычно множество таких конфигураций не является гладким многообразием (за исключением специальных случаев).

[leblon.livejournal.com]

Спасибо, кстати, за то, что навели на Соловьева-Троицкого: эта книжка у меня давно валяется, но я ее так и не читал, а там много интересного, включая главу про функциональный интеграл. К сожалению, там только про бозонный случай написано подробно.