(no subject)

[leblon]

ОК, основы теорфизики - это нереалистично, вычеркиваем.

Какие могут быть более реалистические цели?

Вариант 1-й. Классическая и квантовая механика с геометрической точки зрения, включая интеграл по траекториям. Это все уже есть в монографиях, в общем-то, даже без тензорных индексов. За исключением двух вещей: калибровочных симметрий (метод БРСТ) и систем с суперсимметрией. По ним есть либо обзоры, либо изложения "с индексами". На самом деле, суперсимметричная квантовая механика тесно связана с теорией Ходжа и методом уравнения теплопроводности в теории индекса эллиптических операторов, которые прекрасно изложены в разных книжках, но интерес представляет как раз переход от классической к квантовой суперсимметричной механике.

Вариант 2-й. Классическая механика и классическая теория поля, с уклоном в суперсимметричные и топологические теории поля. Осовременненный Дубровин-Новиков-Фоменко, в общем. Кроме классической механики суперсимметричных систем, можно описать кучу важных примеров теорий поля: сигма-модели, супер-Янг-Миллс и топологические калибровочные теории. Всякие естественные уравнения (инстантонные, монопольные) тоже естественно включаются. Но если за бортом оставить квантование, то исчезает мотивация все это хозяйство изучать: приложения все основаны на функциональном интеграле. Или не исчезает? Мотивация может быть и "внешней" по отношению к книге.

Вариант 3-й: Какая-то комбинация 1 и 2. Надо как-то ухитриться придать смысл функциональному интегралу в теориях поля, хотя бы в топологических. Например, в качестве определения можно взять рецепт вычисления методом локализации. Сомнительно, что это можно сделать в общем виде. Да и в специальных примерах это сделать непросто. И это будет очень длинно. Нет, без общего понятия функционального интеграла это бессмысленное занятие.

Comments

[leblon.livejournal.com]

Картиночки - это хорошо, так про тензора и надо думать. К сожалению, это, во-первых, не является общепринятым, а во-вторых трудно в латехе изобразить.

Обозначить свертку специальным символом - тоже неплохо. К сожалению, если у нас больше одного векторного пространства, то надо еще указывать, какое векторное пространство имеется в виду.

[posic.livejournal.com]

У математиков вообще мало общепринятых обозначений. Каждый автор в каждой статье вводит и объясняет свои собственные обозначения. Это, видимо, одна из причин того, что математикам трудно понимать физиков -- у физиков много стандартных обозначений, которые физики не объясняют, а математики их не знают.

Так что математики будут вполне счастливы, если им предложат удобную систему обозначений с картиночками, соответствующую тому, как надо думать. Потом можно будет разработать теорию таких картиночек... Но рисовать картинки на компьютере трудно, да.

В чем проблема с указанием векторного пространства в обозначениях для свертки? Можно писать что-нибудь вроде \tau^V_{ab}.

[chaource.livejournal.com]

Пенроузъ разработалъ картинки въ своей ужасной книгѣ про твисторы. Никто, кромѣ него, не сталъ использовать картинки для обозначенія тензоровъ.

Проблема съ обозначеніемъ типа \tau _{24} \tau _{13} (A \otimes B \otimes C), я думаю, въ томъ, что съ этимъ объектомъ трудно производить въ явномъ видѣ вычисленія.

Примѣръ: Заданы векторы a, b и метрическій тензоръ g. Опредѣлимъ обратный метрическій тензоръ g^{-1} и 1-форму A = g(..., a). Нужно вычислить свёртку (A\otimes A - g) (b \otimes b - g^{-1}).
Пишемъ:
\tau _{13} \tau {24} (g(...,a) \otimes g(...,a) - g)\otimes (b\otimes b - g^{-1} ).

Думаю, нелегко разобраться, что это значитъ. Нельзя просто вычислить такое выраженіе по какимъ-то очевиднымъ правиламъ - надо сначала разобраться, что стоитъ за обозначеніями, потомъ разбираться отдѣльно съ каждымъ слагаемымъ.

Въ индексахъ это выглядитъ такъ: ( a_i a_j -g_{ij} ) ( b^i b^j - g^{ij} ). Вычисляется въ одну строчку.

Съ помощью моего обозначенія свёртки (безъ индексовъ) это тоже вычисляется примѣрно такъ же быстро, но нѣсколько болѣе громоздко.

Tr _x Tr _y (g(a,x)g(a,y)-g(x,y)) ( g(b,x)g(b,y) - g(x,y) ) .

Пользуемся свойствомъ Tr _x g(a,x) x = a и упрощаемъ до g(a,b) g(a,b) - g(a,a) -g(b,b) + N, гдѣ N - размѣрность пространства.

При этомъ, правда, приходится писать много символовъ g всё время.

[posic.livejournal.com]

Мне кажется, во всех трех вариантах надо разбираться отдельно с каждым слагаемым. Разница в основном в том, что обозначения с \tau длиннее всего, с индексами -- короче всего, а твой вариант, может быть, где-то посередине.

Конечно, для серьезных вычислений предпочтительна короткая запись. Может быть, физики предпочитают индексные обозначения их-за их краткости?