(no subject)

[leblon]

А вот все-таки интересно, где запрятана линейность квантовой механики? По-моему, в предположении, что наблюдаемые образуют вещественное векторное пространство. Умножение наблюдаемой на число - это да, это понятно. Если я померил А, то я померил и xА, где х - вещественое число. А сложение наблюдаемых, которые одновременно неизмеримы (т.е. не коммутируют) - это какая-то мистика. Мое объяснение такое: каждой наблюдаемой отвечает некоторое инфинитезимальное возмущение нашей системы. Сумма наблюдаемых А и B - это наблюдаемая C, соответствующее возмущение которой определяется так: сначала возмущаем при помощи А на некоторое время, потом это возмущение выключаем, но включаем B на такое же время. Правда, при таком определении не совсем понятно, почему эта операция коммутативна.

Comments

[flying-bear.livejournal.com]

Согласно копенгагенской интерпретации, измерение - это взаимодействие с "прибором". Наблюдаемой ставится в соответствие оператор таким образом, что прибор, "измеряющий" (в интуитивном смысле) величину А переводит матрицу плотности измеряемой системы в диагональный вид в представлении собственных функций оператора А. Ясно, что никакой общей интерпретации для измерения суммы операторов нет, все очень конкретно. И не факт, что некоммутативность осложняет процедуру. Скажем, если один оператор - это проекция спина частицы на ось x, а второй - проекция на ось y (они, естественно, не коммутируют), то соответствующие приборы - это штерн-герлаховские установки, ориентированные в соответствующих направлениях, а прибор, измеряющий сумму этих двух операторов - это штерн-герлаховская установка, ориентированная в точности промежуточном положении (под 45 градусов). Никакой мистики. А вот если один оператор - x-компонента спина одной частицы, а другой - y-компонента спина другой частицы (они коммутируют), то надо придумывать какой-то довольно хитрый и неестественный дивайс.

[leblon.livejournal.com]

Совершенно верно, суть моего замечания в том, что из прибора, меряющего А, и прибора, меряющего Б, нельзя, вообще говоря, построить прибор, меряющий А+Б. Поэтому сложение наблюдаемых - это совершенно неочевидная процедура. Настолько неочевидная, что ее свойства (например, коммутативность или ассоциативность), возможно, не выполяются точно, а только приближенно. Какие именно свойства от нее требуются физическими сообржениями - мне совершенно неясно.

[flying-bear.livejournal.com]

Постулируется некоторая конструкция в целом - с векторами состояний,принципом суперпозиции для векторов состояний (вот это действительно самый базовый постулат!), ну, и с отождествлением наблюдаемых с эрмитовыми операторами, действующими на пространстве состояний. Эта конструкция в целом привязывается к реальности (в копенгагенской интерпретации) в двух местах - через борновский постулат (вероятность есть квадрат модуля волновой функции) и фон-неймановскую теорию измерений (взаимодействие с прибором как проекция). Этих двух привязок достаточно. А дальше - математика уже живет своей особой жизнью. Мне кажется, не обязательно должно существовать естественное физическое соответствие для любой операции, которую можно осуществить с операторами. Даже для самых базовых ее в действительности нет, типа сложения.

[leblon.livejournal.com]

Вопрос как раз в том, можно ли эти постулаты ослабить и тем самым построить "нелинейную" квантовую механику. Пока это никому не удавалось. Возможно, ответ отрицательный, и КМ - это истина в последней инстанции. Но тогда все постулаты должны быть жесткими, т.е. физически-мотивированными. В КМ, на первый взгляд, это не так. Вот я и пытаюсь понять: это просто потому, что исторически-сложившаяся формулировка постулатов неудачна, или все-таки они не жесткие?

[flying-bear.livejournal.com]

Есть принципиальный вопрос, связанный с неспособностью (и нежеланием) квантовой механики предсказывать индивидуальные события. На мой вгляд, вероятность того, что есть более фундаментальная теория, совсем не исключена.

В то же время, до сих пор нет никакой экспериментальной мотивации для пересмотра квантовой механики. Вероятно, она в каких-то пределах останется верной навсегда, так же навсегда останется верной термодинамика. В термодинамике есть аксиоматика Каратеодори, в квантовой механике - Дирака (который сформулировал аксиомы неявно) - фон Неймана (явная формулировка)... Они могут быть и совсем независимы от более фундаментальных теорий. Скажем, классическая механика сменилась квантовой, а принципы термодинамики остались прежними.

[leblon.livejournal.com]

Любая "правильная" теория, не являющаяся тавтологией или частью "Теорией Всего Сущего", применима в каких-то пределах. Это отоносится и к теории Максвелла (предельный случай КЭД), и к термодинамике (она описывает определенные свойства некоторого большого класса систем, но только в "термодинамическом пределе"). Было бы удивительно, если бы КМ оказалась применима ко всем системам без исключения (как представляется на сегодняшний день), безо всякого предельного перехода. Это был бы первый пример такой абсолютно-верной и универсально-применимой физической теории. К сожалению, никаких экспериментальных указаний на отклонения от КМ нет, но задачей теоретика как раз и является придумать, куда надо смотреть экспериментаторам.

[flying-bear.livejournal.com]

Это конечно. Я просто хочу сказать, что в пределах своей применимости такая частичная теория может вполне допускать, в каком-то смысле, окончательную формулировку, не зависящую от уточнения ее места в физике как целом. Термодинамика - прекрасный пример. Она применима только для достаточно больших систем общего положения. Задача ее вывода из более фундаментальных, как мы сейчас думаем, теорий (классическая и квантовая механики) полностью не решена. Тем не менее, термодинамика, в каком-то смысле, приняла хаокнченный вид.

Другой пример - классическая механика, которая, в каком-то смысле, есть частный случай ОТО (в ОТО уравнения движения следуют из уравнений поля, потом разложиться по гравитационному потенциалу...). Но вряд ли это - лучший способ понять уравнения Гамильтона, геометрию фазового пространства и т.п. Все это можно и нужно обсуждать вполне независимо, и в каком-то смысле - установлено навсегда.

Думаю, что с квантовой механикой та же история.

[os80.livejournal.com]

Скажите пожалуйста, а чем "прибор" отличается от "неприбора"? Я часто встречаю эту фразу про "копенгагенскую интерпретацию", но вопрос "что такое прибор" нигде не объясняется. Ведь "прибор", вроде, должен состоять из таких же (подчиняющихся законам КМ) частиц, что и измеряемая система?

[flying-bear.livejournal.com]

Это действительно очень сложный вопрос - откуда в мире, где исходно все квантовое, берутся классические объекты? Наиболее распространенный ответ на этот вопрос - классическое поведение может, при определенных условиях, возникать в открытых квантовых системах, то есть, в квантовых системах, взаимодействующих с окружением. Это взаимодействие приводит к декогерентности, то есть, разрушает квантовую интерференцию состояний. Причем, в нашей Вселенной все системы взаимодействуют с окружением. Скажем, частички пыли в межгалактическом пространстве ведут себя как классические объекты, потому что декогерированы взаимодействием с фотонами микроволнового реликтового излучения, заполняющего всю Вселенную. По этому поводу обычно ссылаются на таких авторов как Joos & Zeh и Zurek (середина 1980х). Но все это до сих пор обсуждаемо. Я лично, например, не думаю, что decoherence program дает полное объяснение классичности макрообъектов. Но лучшего предложить не могу.

[flying-bear.livejournal.com]

Между прочим, именно это было основное возражение Эйнштейна против квантовой механики (по этому поводу обычно пишут несусветную чушь). Эмпирически очевидная неприменимость принципа суперпозиции к макрообъектам. И, поскольку полного решения этой проблемы до сих пор нет, нельзя пока и сказать, кто же на самом деле победил в знаменитой дискуссии Эйнштейна и Бора.

[chaource.livejournal.com]

Have you seen the paper arxiv.org/abs/quant-ph/0101012
"Quantum mechanics from five reasonable axioms"
Maybe this will help.

[leblon.livejournal.com]

I have seen it. The axioms do not seem reasonable to me.

off

[shneuse.livejournal.com]

Слушай, у меня к тебе 2 вопроса:
1. Ты не смотрел статью Верлинде
"On the origin of Gravity.."
и если да, то что думаешь?
2. Что ты думаешь по-поводу классических струн
нех те что из фазовых переходов, а ваших, фундаментальных,
которые просто стали большими в ранней вселенной?
Should we think about astrophysical consequences?

Re: off

[leblon.livejournal.com]

1. Не видел. Сейчас посмотрел: на первый взгляд, какое-то бессмысленное жонглирование формулами.

2. Я в этом не разбираюсь совершенно.

[opegs.livejournal.com]

As I get it from popular books, linearity implies nonlocality.
But QM is a consistent physical theory, since those nonlocal
interactions do not provoke instanteneous information transfer.
So that, physically meaningful interactions remain localized.
Breaking linearity here would not lead to breaking nonlocality,
but in deleting the prohibition against superluminal communication.
Is it correct?

[leblon.livejournal.com]

No, I do not think this is the correct description of the situation. QM is linear and local. Bell's theorem says that it is impossible to build a hidden-parameter model of the kind Einstein wanted which both reproduces the predictions of QM and is local. As for me, I do not care whether a future theory will conform to Einstein's preconceptions of what physical theory should be like, so Bell's theorem need not apply. However, I still do not see any reasonable way to deform QM.

[opegs.livejournal.com]

I am not a specialist in the area and it is still not clear to me what do You mean by "QM is local". Since obsrvables are localized (after measurement), but wave function is not local in classical QM. Isn't it?

[leblon.livejournal.com]

I think the notion "local" does not apply to a wavefunction. A wavefunction can be entangled, and this entanglement may involve degrees of freedom which are localized in regions far from each other.

[opegs.livejournal.com]

In the first comment I meant 'linear' is the representation in wavefunctions. Deforming it one might create entanglement of observables, which would be superluminal, non-physical and global. But yes, thank You, I have to look in the books about Bell's proposals. And there are probably other questions related, e.g.: is there a nonzero probability to find tunneled massless particle at any time (superluminal tunneling), or the measuring devices synchronization would not allow superluminal detection?

[sibirets.livejournal.com]

Здесь можно поставить вопрос и иначе - почему нельзя линейно сформулировать классическую механику. Например, на языке уравнения Лиувилля.

[chaource.livejournal.com]

I always thought about linearity in quantum mechanics in the application to states, not operators. Nobody knows how to measure p+x, but you can build a device that produces a superposition of any two states of a quantum system. For example, you can use a half-splitting mirror for photons. This device produces quantum interference.

If you formulate this in classical mechanics (Liuoville equation), as suggested by sibirets, you get a probabilistic superposition: for any two states of a classical system, you can prepare a probabilistic mixture of these two states. (Toss a coin and prepare one of the two given states.) This kind of linearity is "simple", in the sense that it does not produce new physical effects. The quantum linearity is additional to this "classical" linearity. But the quantum linearity is "complicated" because it produces new physical effects (e.g. destructive interference), so it is really a new kind of physical interaction. The linearity of QM is, in my view, the expression of the fact that this kind of physical interaction exists.

[leblon.livejournal.com]

One can build a device which measures p+x. My point was merely that such a device seems unrelated to devices which measure p and x separately. If we identify Hermitian operators with the corresponding measuring devices, this would seem to mean that the operation of addition of hermitian operators is not physical (does not come from any natural operation on measuring devices). I suggested a possible way out, but it is not altogether satisfactory (for example, the commutativity is not obvious).

I prefer to think about linearity of the algebra of operators rather than linearity of the space of states. Perhaps this comes from talking to mathematicians to much: it seems to me that the algebra of observables is more fundamental than any particular representation of it.

As for "new physical interaction", I kind of agree, but what bothers me is that it is not clear why this interaction should take such a simple (linear!) form.