Теория твердого тела и алгебраическая геометрия: продолжение сюжета

[leblon]

Теории квантового эффекта Холла (КЭХ)уже более 30 лет, но и там есть белые пятна. Например, не существует точно решаемых моделей дробного КЭХ. Лафлин, когда предложил объяснение дробного КЭХ, использовал взятые "с потолка" волновые функции, которые не являются основными состояниями никакого разумного гамильтониана. Для целочисленного КЭХ можно написать свободные (невзаимодействующие) модельные гамильтонианы, но и тут не все гладко. Например, в принципе целочисленный КЭХ может быть не только в фермионных, но и в бозонных системах, но никаких точно решаемых моделей для бозонов с такими свойствами так и не построено. Проблема в том, что любая модель бозонного КЭХ должна быть взаимодействующей. В общем, ситуацию можно суммировать так: неизвестно ни одной модели со взаимодействием, где можно теоретически (т.е. без приближенных вычислений на компьютере) продемонстрировать наличие КЭХ, хоть целого, хоть дробного.

С другой стороны, за последние 15 лет, физики научились строить большое количество точно решаемых решеточных гамильтонианов со взаимодействием. Это позволяет реализовать (в теории) огромное (бесконечное, на самом деле) количество топологических фаз квантовых систем. Главный класс примеров - это конструкция Левина-Вена (частный случай ее - торический код Китаева). Все эти модели решаемые по простой причине: гамильтониан это сумма "локальных" членов, которые все коммутируют между собой. В жизни такое бывает редко, зато такие модельные гамильтонианы дают кучу примеров очень нетривиальных топологических фаз. Тем не менее, моделй с дробным или целым КЭХ таким образом построить не удалось, и сложилось твердое убеждение, что это сделать невозможно.

Мы, наконец, доказали, что это в самом деле невозможно. Доказательство использует следующий математический факт, связанный с проблемой Серра: любое алгебраическое векторное расслоение на алгебраическом торе тривиально. Доказательство весьма простое и укладывается в пару страниц.

Comments

[juan_gandhi]

Как интересно. Непонятно, каким образом тор попадает в картинку. Ну разве что в качестве квадрата окружности.

[leblon]

Тор получается так: это пространство параметров, от которых зависит гамильтониан. А именно, если в системе есть квантованный и сохранающийся электрический заряд (а без этого проводимость Холла, и вообще проводимость, не определены), то ее (систему) можно поместить во внешнее электромагнитное поле. Т.е. гамильтониан естественным образом становится функцией от плоской свазности на расслоении ранга 1. Пространство плоских связностей на расслоении ранга 1 на двумерном ориентированном многообразии это всегда тор (двумерном, потому что квантовый Холл наблюдают в двумерных системах). Значит, гамильтониан естественным образом становится функцией на торе. Поэтому пространство собственных векторов с наименьшей энергией становится расслоением над тором. Фокус в том, что если гамильтониан это сумма коммутирующих членов, то расслоение алгебраически продолжается на комплексификацию тора. Т.е. на алгебраический тор. Раз все такие расслоения тривиальны, то и расслоение собственных векторов гамильтониана обязано быть тривиальным. А отсюда уже следует (согласно хорошо известным аргументам) что проводимость Холла равна нулю.

[juan_gandhi]

Красиво.

[alexanderr]

понятно. т.е. нечего ловить что-то нетривиальное в гамильтониане, который сразу записывается как сумма коммутирующих членов. решать такую модель легко и приятно, но толку от нее не очень много

а Лафлин, конечно, молодец и Нобелевскую премию ему дали правильно

[leblon]

Толку от таких моделей как раз много: они дают весьма нетривиальные примеры топологически упорядоченных фаз, где квазичастицы имеют всякие интересные свойства (braiding and fusion). Это делает их интересным кандидатом на роль субстрата для квантового компьютера. Я слышал, люди сейчас учатся реализовать такие системы используя холодные атомы в лазерных ловушках.

Но вот квантовый эффект Холла в таких моделях реализовать нельзя.

[chaource]

Было-бы интересно получить компьютерное вычисленiе КЭХ, выполненное со строгими интервальными границами всѣхъ промежуточныхъ результатовъ. Такое вычисленiе эквивалентно строгому доказательству. (Возможно, придется дѣлать всѣ вычисленiя съ 1000 или 10 000 знаками, но съ сегодняшними компьютерами это нетрудно.) Хотя, конечно, пониманiя сути дѣла не прибавится, но по крайней мѣрѣ не будетъ уже сомнѣнiй, что какая-то рѣшаемая модель КЭХ дѣйствительно работаетъ.

[pappadeux]

> неизвестно ни одной модели со взаимодействием, где можно теоретически (т.е. без приближенных вычислений на компьютере) продемонстрировать наличие КЭХ, хоть целого, хоть дробного.

а каково состояние дел?

есть "хороший" ("хорошие") гамильтониан(ы), но решается только на комп'ютере?

или даже приемлего гамильтониана нет?

[leblon]

Я литературу плохо знаю, на самом деле. В бозонном случае (где обязательно должны быть сильные взаимодействия) есть, как минимум, один хороший решеточный гамильтониан, построенный Geraedts и Motrunich. Правда, там пространство состояний бесконечномерное даже локально (осцилляторы сидят на ребрах квадратной решетки). Они, вроде, проверили, что таким образом можно получить как дробный, так и целочисленный эффект Холла. До их работы (которой всего 3 или 4 года) было только рукомахание про бозонный КЭХ. В фермионном случае, взаимодействия нужны только для того, чтобы получить дробный КЭХ. Вроде, в 90х люди получали дробный КЭХ беря самые простые модели с сильным отталкиванием и приближенно диагонализуя гамильтониан на компьютере. Я тогда еще этой темой не занимался, поэтому точнее сказать не могу.

модельный Гамильтониан

[dtson]

Волновая функция Лафлина является основным состоянием определенного "модельного" Гамильтонианом. Простейший модельный Гамильтониан появляется в случае бозонного квантового эффекта Холла при факторе заполнения 1/2. В этом случае модельный Гамильтониан есть Гамильтониан бозонов, взаимодействующих через дельта-функциональный потенциал. В состоянии Лафлина два бозона никогда не располагаются в одной точке и энергия этого состояния равна нулю. Понятно еще, что энергия положительна, поэтому состояние Лафлина и есть основное состояние. Правда, кроме основного состояния невозможно найти никакого другого собственного состояния Гамильтониана.

Re: модельный Гамильтониан

[leblon]

Да, это правда. Но я, например, не понимаю, как использовать это знание основного состояния чтобы показать, что в системе реализуется КЭХ. Для начала, почему в спектре гамильтониана будет щель? В этой задаче есть параметр (коэффициент при дельта образном потенциале), как спектр зависит от этого параметра? Я подозреваю, что когда параметр вблизи нуля, то спектр бесщелевой, а щель "открывается" при каком-то критическом значении параметра. Т.е. в системе есть квантовый фазовый переход. Это так?

Re: модельный Гамильтониан

[dtson]

Мне кажется, что нет, В пределе низшего уровня Ландау коэффициент перед дельта-функцией есть единственный размерный параметр в теории, поэтому щель должна пропорциональна этому коэффициенту.

Re: модельный Гамильтониан

[leblon]

Вроде, коэффициент перед дельта функцией это безразмерный параметр. Т.е. щель, если она есть, должна быть пропорциональна магнитному полю, помноженному на неизвестную функцию параметра. Т.е. в пределе, когда остается только низший уровень Ландау, шель (если она есть) будет бесконечной.

Re: модельный Гамильтониан

[dtson]

В моей схеме ħ безразмерный, но размерности энергии и импульса независимые. Тогда размерность коэффициента перед дельта-функцией (обозначим его g) есть энергия/импульс^2, т.е. 1/масса. Предел низшего уровня Ландау можно взять, стремя массу электрона к нулю. Тогда единственная величина размерности энергии - произведение g на магнитное поле. Таким образом, щель пропорциональна g.