Теорема Нетер, блин

[leblon]

Еще раз убедился, что я плохо учил механику на первом курсе. Или меня плохо учили. Вот такой простенький вопрос: допустим, у меня есть система нерелятивистских частиц, одинаковой массы, взаимодействующих посредством парного потенциала (неважно какого). В такой системе есть, как минимум, законы сохранения количества частиц и энергии. Ну и импульса, если потенциал зависит только от разности координат, но это уже необязательно. Внимание, вопрос: можно ли написать эти законы сохранения в локальной форме? Т.е. ввести плотность числа частиц, плотность энергии, и соответсвующие токи так, чтобы выполнялись уравнения непрерывности? Для плотности числа частиц общеизвестно, как это сделать. Этому меня учили. А вот для энергии - не учили. Плотность энергии я худо бедно написать могу. А вот ток энергии не получается. Что за напасть?

Comments

[juan_gandhi]

Да это разве механика?! (В смысле, разве это теормех?!) И как это механика на первом курсе, что это за Сорбонна? На матмехе теормех на втором курсе, а кванты дай бог на четвертом.

[leblon]

Теормех, факт. Ну, может на втором курсе физфака, а не на первом. Ничего квантового тут нет, чистая классика.

[juan_gandhi]

А, физфак. Ну тогда да.

[chaource]

По-моему, "токъ энергiи" это должна быть просто плотность импульса. Сумма по дельта-функцiямъ импульса каждой частицы.

[chaource]

Неправильно. Плотность импульса сохраняется съ плотностью массы или, какъ показано тутъ, заряда. https://physics.stackexchange.com/questions/178166/continuity-equation-for-charge-and-current-densities-of-an-accelerated-point-cha

Что мѣшаетъ написать mv^2/2 вмѣсто q въ этихъ формулахъ? Только то, что энергiя частицы мѣняется подъ воздѣйствiемъ внѣшнихъ силъ, а q не меняется. Значитъ, "токъ энергiи" это что-то вродѣ давленiя внѣшнихъ силъ.

[leblon]

Тут в комментах уже дали ссылку. Ответ кошмарен (приходится раскладывать потенциал как бесконечную сумму дельта функции и ее производных).

[glav]

В смысле, а в чём проблема? Грубо говоря, Energy flux = sum_i \delta(x-x_i)*p_i*(p_i^2/2m + sum_j U_ij)
Формально и строго - вот тут: https://aip.scitation.org/doi/10.1063/1.1747782

[leblon]

Я вроде решил задачу. Даже двумя способами, один из которых формальный (приходится раскладывать парный потенциал как бесконечную сумму дельта функции и ее производных), а другой хороший, но работает только в одном измерении. В любом случае, выражение получается весьма сложное и не то, что Вы написали. А за ссылку большое спасибо, я искал что-нибудь в таком роде, ведь транспортные коэффициенты без выражений для тока энергии не посчитать. Если посмотрите на ур. (6.23) в этой статье, то увидите, какой кошмар там получается. В том числе там видна бесконечная сумма по производным дельта функции.

[glav]

Первое выражение - это примерно то, что используется в молекулярной динамике для подсчёта мгновенного потока, см, напр. тут:
https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/00268979400100171
Кошмар в (6.23) получается по сути из-за формализма в котором вклад счётных частиц представляются полевыми функциями. Но если вам именно такое представление и нужно, то да, никуда не деться.

[clovis3]

Как насчёт старого доброго dE = p dV, где dV -- это поток скорости?