I satisfy values through friendship and physics

Попытки ввести приборы в математическую формулировку квантовой механики предпринимались неоднократно. Из известных мне:

Günther Ludwig, An Axiomatic Basis for Quamtum Mechanics, 2 vols., Springer. Людвиг проделал титаническую работу по выводу матаппарата квантовой механики из аксиоматики, напрямую мотивированной свойствами приборов и экспериментов, причем в рамках копенгагенской интерпретации КМ. Очень "бурбакистская" по духу работа.

Karl Kraus, States, Effects and Operations: Fundamental Notions of Quamtum Theory, Springer. По моему мнению, вполне убедительная мотивировка алгебраической структуры КМ -- а именно, возможность построения выпуклых комбинаций операторов со спектром, лежащим в отрезке [0,1] (которые Краус называет "эффектами"), что необходимо для обобщения колмогоровских аксиом теории вероятностей на некоммутативный случай.

Paul Busch, Marian Grabowski and Pekka Lahti, Operational Quantum Physics, Springer, 1995. Авторы этой книги менее амбициозны -- они принимают матаппарат КМ как данность, но акцентируются на проблемах измерений/приборов и связанных с этим вопросов симметрии, ковариантности и т.д.

Недавняя работа: Giacomo M. D'Ariano, How to Derive the Hilbert-Space Formulation of Quantum Mechanics From Purely Operational Axioms, http://arxiv.org/abs/quant-ph/0603011

From:

w0.livejournal.com

Вообще говоря нет никакого регулярного способа перехода от классической механики к квантовой. То есть если в классической механике какая-то измеряемая величина есть произведение других измеряемых, то в квантовом мире то же равенство может выполнятся только приближенно, а выражение для первой величины может иметь разный вид (эрмитова часть плюс поправки, стремящиеся к нулю вместе с постоянной Планка).

Насчет суммы - смысл часто вполне можно придать. Вот линза, например, замечательна тем, что преобразует импульс в плоскости апертуры в координату в фокальной плоскости. Ну а между апертурой и фокусом, если померить координату, то это будет некая линейная комбинация импульса с координатой на апертуре - вот Вам и прибор.

From:

Про линзу - интересное замечание.

То, что квантование - неоднозначная процедура, мне известно. Но мой вопрос - не про это. А про то, какую роль играет умножение операторов в формализме квантовой механики. Вот коммутатор операторов играет немаловажную роль: без него не напишешь уравнения Гейзенберга.

From:

Умножение операторов играет существенную роль в квантовой логике и теории измерений, но там в основном интерес представляют ортогональные проекторы.

From:

Я вот как раз читал книжку Д. Коэна про это дело, и там понятие логики и измерения определено без всякой отсылки к операторам или гильбертовым пространствам. Классическая и квантовая логики - частные случаи этого определения. Автор честно признает, что не знает, какие еще есть неклассические логики, и чем квантовая логика, основанная на проекторах в гильбертовом пространстве, "лучше" их.

From:

Да, припоминаю, что общее построение квантовой логики проводится при помощи соответствующим образом определенных решеток. Насчет квантовой логики, основанной на проекторах: есть теорема Глисона (см. также http://en.wikipedia.org/wiki/Gleason's_theorem), согласно которой борновская интерпретация оператора плотности вытекает из свойств проекторов над гильбертовым пространством (правда, размерности большей трех).

From:

http://en.wikipedia.org/wiki/Gleason's_theorem

From:

умножение операторов соответствует последовательному применению этих операторов, то есть их композиции.
операторы вообще вот откуда возникают:
берем волновые функции щредингера. берем оператор некоторой наблюдаемой. он имеет собственные функции и собственные значения. эти собственные функции обозначаем е1, е2, е3,... и получаем что они образуют базис векторного пространства. на нем вводим скалярное произведение. получаем гильбертово.
теперь операторы имеют в этом базисе свои матрицы. так мы осуществили переход от волновой механики (Шредингер) к матричной (Гейзенберг).

From:

Это не физическое, а математическое объяснение.

From:

последовательному применению операторов соответствует последовательное измерение физических величин.
как например, в эксперименте с фотонами и поляризованной пленкой. сначала пропускаем фотон через вертикально поляризованный фильтр (применение проектора P1), затем через горизонтально поляризованный (применяем P2). получаем вероятность получить фотон на выходе - Tr(SP1P2) = 0. Добавляем между ними фильтр, поляризованный под углом 45град. ему соответствует тоже проектор P3, но он не совпадает с P1 и P2...
главное - записать матрицы операторов физических величин в одном и том же базисе. только в этом случае их произведение корректно будет описывать последовательное измерение этих физ.вел.

From:

"последовательному применению операторов соответствует последовательное измерение физических величин."

По-моему, это неверно, вообще говоря. Произведение двух некоммурируюших эрмитовых операторов не является эрмитовым, и значит не является наблюдаемой. Проекторы - это какой-то специальный случай. Вот допустим, есть у меня прибор, измеряющих наблюдаемую А, и другой прибор, измеряющий Б. Есть две другие естественные наблюдаемые: АБ+БА и i(АБ-БА). По-моему, нет никакого способа построить прибор, измеряющий эти наблюдаемые, из приборов, измеряющих А и Б.

From:

видимо не совсем точно изъяснился, попытаюсь по-другому сказать.
Дело в том, что эрмитов оператор физической величины имеет спектральное разложение в суму проекторов помноженных на собственные значения F=a1P1+a2P2+... .
Результат измерения физической величины F равен одному из собственных значений соответствующего оператора F. И после измерения система перейдет в состояние, описываемое собственным вектором оператора, который соответствует полученному собственному значению. Поэтому измерение физической величины - это проектирование вектора состояния на собственные векторы оператора.
вероятность получить aj: Tr(PS), где S - это матрица плотности, P - проектор.
новое состояние описывается матрицей: PSP/Tr(PS)
это матрица плотности, очевидно.
Теперь мы хотим измерить новую физ. величину, которая записана в этом же базисе.
получим вероятность Tr(P' ( PSP/Tr(PS)) ) = Tr(P'(PSP)) / Tr(PS) = Tr(P'(PSP)P') / Tr(PS)
и новое состояние: P'PSPP'/ Tr(P'PSPP')
Заметьте, что не P'PS, а P'PSPP' ! то есть мы умножаем и слева и справа одновременно.

это тоже матрица плотности. именно здесь как раз существенно умножение операторов.
то есть мы перемножаем проекторы, затем матрицу плотности, затем проекторы в обратном порядке.
Мы не перемножаем сами операторы физических величин. следовательно, не возникает проблемы, что произведение эрмитовых не является эрмитовым. Это не важно для подсчета вероятности. Главное чтобы матрицы были в одном базисе.

Сами операторы физических величины мы должны перемножать только если рассматриваем ансамбль частиц, то есть усредняем.
эти вещи хорошо описаны в книге Wheeler J.A., Zurek W.H. (eds.) Quantum Theory and Measurement (Princeton, 1983) в статье AHARONOV, BERGMANN, LEBOWITZ "Time symmetry". она есть в интернете.

Вот допустим, есть у меня прибор, измеряющих наблюдаемую А, и другой прибор, измеряющий Б. Есть две другие естественные наблюдаемые: АБ+БА и i(АБ-БА). По-моему, нет никакого способа построить прибор, измеряющий эти наблюдаемые, из приборов, измеряющих А и Б.

здесь, если не ошибаюсь, вы имеете ввиду произведение наблюдаемых, то есть произведение величин. но это не есть последовательное измерение физических величин на системе.

From:

Так в том и был мой вопрос: почему наблюдамые можно пепремножать (ну, или брать их антикоммутатор, чтобы результат был эрмитовым), хотя физического смысла эта операция вроде не имеет. То есть, можно ли ослабить аксиомы квантовой механики, чтобы наблюдамые не были операторами в гильбертовом пространстве.

From: