Mathematics of Quantum Mechanics

[leblon]

Общение с математиками оказывает на меня разлагающее действие. Например, после 20 лет бездумного пользования квантовой механикой, я вдруг задался вопросом: почему математическая структура КМ описывается в терминах операторов на гильбертовом пространстве? Операторы образуют алгебру над комплексными числами, но зачем это нужно в физике - непонятно.

Какой, например, смысл того, что операторы можно складывать? Если у меня есть два прибора: один для измерения импульса, а другой для измерения координаты, совершенно неочевидно, как построить прибор для измерения их суммы.

А какой физический смысл умножения операторов? Никакого, насколько я могу судить. Так как произведение эрмитовых операторов не обязательно эрмитово, можно было бы предположить, что физический смысл имеет не произведение, а его эрмитовая часть. Такая операция не ассоциативна, но в любом случае, не ясно, какой от нее толк.

Фон Неймана перечитать, что ли?

Comments

[ded-maxim.livejournal.com]

Умножение операторов играет существенную роль в квантовой логике и теории измерений, но там в основном интерес представляют ортогональные проекторы.

[leblon.livejournal.com]

Я вот как раз читал книжку Д. Коэна про это дело, и там понятие логики и измерения определено без всякой отсылки к операторам или гильбертовым пространствам. Классическая и квантовая логики - частные случаи этого определения. Автор честно признает, что не знает, какие еще есть неклассические логики, и чем квантовая логика, основанная на проекторах в гильбертовом пространстве, "лучше" их.

[ded-maxim.livejournal.com]

Да, припоминаю, что общее построение квантовой логики проводится при помощи соответствующим образом определенных решеток. Насчет квантовой логики, основанной на проекторах: есть теорема Глисона (см. также http://en.wikipedia.org/wiki/Gleason's_theorem), согласно которой борновская интерпретация оператора плотности вытекает из свойств проекторов над гильбертовым пространством (правда, размерности большей трех).

вернее, так

[ded-maxim.livejournal.com]

http://en.wikipedia.org/wiki/Gleason's_theorem