Mathematics of Quantum Mechanics
Apr. 4th, 2007 04:40 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
leblonОбщение с математиками оказывает на меня разлагающее действие. Например, после 20 лет бездумного пользования квантовой механикой, я вдруг задался вопросом: почему математическая структура КМ описывается в терминах операторов на гильбертовом пространстве? Операторы образуют алгебру над комплексными числами, но зачем это нужно в физике - непонятно.
Какой, например, смысл того, что операторы можно складывать? Если у меня есть два прибора: один для измерения импульса, а другой для измерения координаты, совершенно неочевидно, как построить прибор для измерения их суммы.
А какой физический смысл умножения операторов? Никакого, насколько я могу судить. Так как произведение эрмитовых операторов не обязательно эрмитово, можно было бы предположить, что физический смысл имеет не произведение, а его эрмитовая часть. Такая операция не ассоциативна, но в любом случае, не ясно, какой от нее толк.
Фон Неймана перечитать, что ли?
Какой, например, смысл того, что операторы можно складывать? Если у меня есть два прибора: один для измерения импульса, а другой для измерения координаты, совершенно неочевидно, как построить прибор для измерения их суммы.
А какой физический смысл умножения операторов? Никакого, насколько я могу судить. Так как произведение эрмитовых операторов не обязательно эрмитово, можно было бы предположить, что физический смысл имеет не произведение, а его эрмитовая часть. Такая операция не ассоциативна, но в любом случае, не ясно, какой от нее толк.
Фон Неймана перечитать, что ли?
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
Re: Mathematics of Quantum Mechanics
Date: 2010-04-27 09:54 am (UTC)как например, в эксперименте с фотонами и поляризованной пленкой. сначала пропускаем фотон через вертикально поляризованный фильтр (применение проектора P1), затем через горизонтально поляризованный (применяем P2). получаем вероятность получить фотон на выходе - Tr(SP1P2) = 0. Добавляем между ними фильтр, поляризованный под углом 45град. ему соответствует тоже проектор P3, но он не совпадает с P1 и P2...
главное - записать матрицы операторов физических величин в одном и том же базисе. только в этом случае их произведение корректно будет описывать последовательное измерение этих физ.вел.
Re: Mathematics of Quantum Mechanics
Date: 2010-05-01 01:43 am (UTC)По-моему, это неверно, вообще говоря. Произведение двух некоммурируюших эрмитовых операторов не является эрмитовым, и значит не является наблюдаемой. Проекторы - это какой-то специальный случай. Вот допустим, есть у меня прибор, измеряющих наблюдаемую А, и другой прибор, измеряющий Б. Есть две другие естественные наблюдаемые: АБ+БА и i(АБ-БА). По-моему, нет никакого способа построить прибор, измеряющий эти наблюдаемые, из приборов, измеряющих А и Б.
Re: Mathematics of Quantum Mechanics
Date: 2010-05-01 10:17 pm (UTC)Дело в том, что эрмитов оператор физической величины имеет спектральное разложение в суму проекторов помноженных на собственные значения F=a1P1+a2P2+... .
Результат измерения физической величины F равен одному из собственных значений соответствующего оператора F. И после измерения система перейдет в состояние, описываемое собственным вектором оператора, который соответствует полученному собственному значению. Поэтому измерение физической величины - это проектирование вектора состояния на собственные векторы оператора.
вероятность получить aj: Tr(PS), где S - это матрица плотности, P - проектор.
новое состояние описывается матрицей: PSP/Tr(PS)
это матрица плотности, очевидно.
Теперь мы хотим измерить новую физ. величину, которая записана в этом же базисе.
получим вероятность Tr(P' ( PSP/Tr(PS)) ) = Tr(P'(PSP)) / Tr(PS) = Tr(P'(PSP)P') / Tr(PS)
и новое состояние: P'PSPP'/ Tr(P'PSPP')
Заметьте, что не P'PS, а P'PSPP' ! то есть мы умножаем и слева и справа одновременно.
это тоже матрица плотности. именно здесь как раз существенно умножение операторов.
то есть мы перемножаем проекторы, затем матрицу плотности, затем проекторы в обратном порядке.
Мы не перемножаем сами операторы физических величин. следовательно, не возникает проблемы, что произведение эрмитовых не является эрмитовым. Это не важно для подсчета вероятности. Главное чтобы матрицы были в одном базисе.
Сами операторы физических величины мы должны перемножать только если рассматриваем ансамбль частиц, то есть усредняем.
эти вещи хорошо описаны в книге Wheeler J.A., Zurek W.H. (eds.) Quantum Theory and Measurement (Princeton, 1983) в статье AHARONOV, BERGMANN, LEBOWITZ "Time symmetry". она есть в интернете.
здесь, если не ошибаюсь, вы имеете ввиду произведение наблюдаемых, то есть произведение величин. но это не есть последовательное измерение физических величин на системе.
Re: Mathematics of Quantum Mechanics
Date: 2010-05-02 12:12 am (UTC)Re: Mathematics of Quantum Mechanics
Date: 2010-05-03 11:53 am (UTC)