Mathematics of Quantum Mechanics
Apr. 4th, 2007 04:40 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
leblonОбщение с математиками оказывает на меня разлагающее действие. Например, после 20 лет бездумного пользования квантовой механикой, я вдруг задался вопросом: почему математическая структура КМ описывается в терминах операторов на гильбертовом пространстве? Операторы образуют алгебру над комплексными числами, но зачем это нужно в физике - непонятно.
Какой, например, смысл того, что операторы можно складывать? Если у меня есть два прибора: один для измерения импульса, а другой для измерения координаты, совершенно неочевидно, как построить прибор для измерения их суммы.
А какой физический смысл умножения операторов? Никакого, насколько я могу судить. Так как произведение эрмитовых операторов не обязательно эрмитово, можно было бы предположить, что физический смысл имеет не произведение, а его эрмитовая часть. Такая операция не ассоциативна, но в любом случае, не ясно, какой от нее толк.
Фон Неймана перечитать, что ли?
Какой, например, смысл того, что операторы можно складывать? Если у меня есть два прибора: один для измерения импульса, а другой для измерения координаты, совершенно неочевидно, как построить прибор для измерения их суммы.
А какой физический смысл умножения операторов? Никакого, насколько я могу судить. Так как произведение эрмитовых операторов не обязательно эрмитово, можно было бы предположить, что физический смысл имеет не произведение, а его эрмитовая часть. Такая операция не ассоциативна, но в любом случае, не ясно, какой от нее толк.
Фон Неймана перечитать, что ли?
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
(no subject)
Date: 2007-04-16 03:49 am (UTC)Günther Ludwig, An Axiomatic Basis for Quamtum Mechanics, 2 vols., Springer. Людвиг проделал титаническую работу по выводу матаппарата квантовой механики из аксиоматики, напрямую мотивированной свойствами приборов и экспериментов, причем в рамках копенгагенской интерпретации КМ. Очень "бурбакистская" по духу работа.
Karl Kraus, States, Effects and Operations: Fundamental Notions of Quamtum Theory, Springer. По моему мнению, вполне убедительная мотивировка алгебраической структуры КМ -- а именно, возможность построения выпуклых комбинаций операторов со спектром, лежащим в отрезке [0,1] (которые Краус называет "эффектами"), что необходимо для обобщения колмогоровских аксиом теории вероятностей на некоммутативный случай.
Paul Busch, Marian Grabowski and Pekka Lahti, Operational Quantum Physics, Springer, 1995. Авторы этой книги менее амбициозны -- они принимают матаппарат КМ как данность, но акцентируются на проблемах измерений/приборов и связанных с этим вопросов симметрии, ковариантности и т.д.
Недавняя работа: Giacomo M. D'Ariano, How to Derive the Hilbert-Space Formulation of Quantum Mechanics From Purely Operational Axioms, http://arxiv.org/abs/quant-ph/0603011