Mathematics of Quantum Mechanics

[leblon]

Общение с математиками оказывает на меня разлагающее действие. Например, после 20 лет бездумного пользования квантовой механикой, я вдруг задался вопросом: почему математическая структура КМ описывается в терминах операторов на гильбертовом пространстве? Операторы образуют алгебру над комплексными числами, но зачем это нужно в физике - непонятно.

Какой, например, смысл того, что операторы можно складывать? Если у меня есть два прибора: один для измерения импульса, а другой для измерения координаты, совершенно неочевидно, как построить прибор для измерения их суммы.

А какой физический смысл умножения операторов? Никакого, насколько я могу судить. Так как произведение эрмитовых операторов не обязательно эрмитово, можно было бы предположить, что физический смысл имеет не произведение, а его эрмитовая часть. Такая операция не ассоциативна, но в любом случае, не ясно, какой от нее толк.

Фон Неймана перечитать, что ли?

Comments

[sowa.livejournal.com]

На самом деле математик спотыкается о подобные трудности в самом начале. Потом привыкает: раз физики сказали, что операторы в гильбертовом пространстве - пусть будут операторы в гильбертовом пространстве. По крайней мере, понятно, что это такое. В отличие от приборов.

Кстати, отсутствие приборов в этой, видимо, стандартной формулировке, вызывает у меня, как у математика, затруднения. К чему вся эта странная терминология состояний и наблюдаемых, если наблюдаем мы, на самом деле, нечто совсем другое. А теорией операторов можно и так заниматься.

Я даже подозреваю, что если бы приборы были введены в математическую формулировку теории, математиком было бы гораздо легче понять систему ценностей физики.

[ded-maxim.livejournal.com]

Попытки ввести приборы в математическую формулировку квантовой механики предпринимались неоднократно. Из известных мне:

Günther Ludwig, An Axiomatic Basis for Quamtum Mechanics, 2 vols., Springer. Людвиг проделал титаническую работу по выводу матаппарата квантовой механики из аксиоматики, напрямую мотивированной свойствами приборов и экспериментов, причем в рамках копенгагенской интерпретации КМ. Очень "бурбакистская" по духу работа.

Karl Kraus, States, Effects and Operations: Fundamental Notions of Quamtum Theory, Springer. По моему мнению, вполне убедительная мотивировка алгебраической структуры КМ -- а именно, возможность построения выпуклых комбинаций операторов со спектром, лежащим в отрезке [0,1] (которые Краус называет "эффектами"), что необходимо для обобщения колмогоровских аксиом теории вероятностей на некоммутативный случай.

Paul Busch, Marian Grabowski and Pekka Lahti, Operational Quantum Physics, Springer, 1995. Авторы этой книги менее амбициозны -- они принимают матаппарат КМ как данность, но акцентируются на проблемах измерений/приборов и связанных с этим вопросов симметрии, ковариантности и т.д.

Недавняя работа: Giacomo M. D'Ariano, How to Derive the Hilbert-Space Formulation of Quantum Mechanics From Purely Operational Axioms, http://arxiv.org/abs/quant-ph/0603011