Quantum Field Theory and mathematics

[leblon]

Пришел потенциальный аспирант, побеседовать "за жизнь". Не знает, куда податься: в математику или физику. Он интересуется маломерной топологией и геометрией, а также топологической теорией поля. Я ему прямо сказал, что пора выбирать: или нужно 2 года квантовую теорию поля учить, положив с прибором на математику и математическую строгость, или бросать физику и заниматься чистой математикой. Компромисс, по-моему, невозможен. Он тогда спросил, возможно ли после аспирантуры в физике делать постдок в математике, или наоборот. Мой ответ: не советую. Я знаю одну попытку так сделать, и результат довольно плачевный: несмотря на то, что человек является автором знаменитых статей, на которые все ссылаются, он так и не стал "своим" в другой области. В общем, хотя теорфизики и математики часто занимаются одними и теми же проблемами, подходы и идеология настолько разные, что они не могут уместиться в одной голове. За исключением головы Виттена.

Перефразируя известную поговорку: можно ли научить математика квантовой теории поля? Можно, но будет ли ему от этого польза и удовольствие?

Comments

[sowa.livejournal.com]

Упомянутая вами попытка: в каком направлении она была? Если это автор знаменитых статей, то, может быть, его можно и назвать (на ваше усмотрение)?

[leblon.livejournal.com]

Один из SYZ. Надеюсь, понятно, кто именно :) Попытка была из физики в математику.

[sowa.livejournal.com]

Вроде понятно.

Это странно. Мне кажется, что переход из физики в математику возможен, если делается достаточно рано. Скажем, многие ученики ЛД (надо думать, тоже понятно, кто это) учились на физфаке. Диссертации они писали уже не по физике, но пять лет советского университета соответствуют и части американской graduate school. Или такой знаменитый пример, как математик Хариш-Чандра, начинавший как физик - он был недоволен недостаточной стргостью физики и перешел в математику. Правда, я не помню, как долго он продержался в физике.

В целом, мне кажется, что переход из более абстрактных областей в менее абстрактные принципиально легче обратного. Внутри математики это легко проследить. Переход в более абстрактные области практически не встречается. Но ведь физика в стиле Виттена и Вафы не менее абстрактна, чем большая часть современной математики, и этого препятствия не должно быть.

[leblon.livejournal.com]

По-моему, то, что Вы говорите, согласуется с тем, что я говорю. На раннем этапе (до работы над диссертацией) переключиться можно, в обоих направлениях. После Ph. D. это практически не встречается. Думаю, большую роль тут играет именно сложность КТП. Чтобы разработать интуицию и освоить современную технику КТП, нужно 2-3 года непрерывной работы. Пять лет физфака не дают достаточного знания КТП. С другои стороны, чтобы учить КТП, нужно быть готовым забыть о математической строгости. 2-3 года занятий КТП приводят к необратимым изменениям в мозгу аспиранта, в результате чего аспирант теряет способность доказывать теоремы.:)

Согласен, что чаще встречается движение в сторону понижения абстрактности (и в физике тоже), а также что уровень абстрактности в теорфизике и математике примерно одинаковый. Хотя я знаю одного человека, который начал в Applied Physics, а в аспирантуре переключился на теорию струн, причем с очень математическим уклоном. Правда, потом он все равно оказался на Уолл Стрит.

[sowa.livejournal.com]

"С другой стороны, чтобы учить КТП, нужно быть готовым забыть о математической строгости. 2-3 года занятий КТП приводят к необратимым изменениям в мозгу аспиранта, в результате чего аспирант теряет способность доказывать теоремы.:)"

Раз уж о этом зашла речь. КТП пытались выучить зрелые математики, для которых риска потерять способность доказывать теоремы нет. Насколько я знаю, ощутимого по физическим стандартам вклада в физику они все же не внесли, но меня интересует другое. Как математику выучить КТП? Есть тексты, на вид написанные специально для математиков, но очень высокомерно, я бы сказал. Там прямо говорится: для того, чтобы понимать КТП, надо изучить это, это, и это - попросту, стать физиком. Короче, такой текст понять нельзя.

Но дело тут не в строгости. Математики вполне могут оперировать с недоказанными утверждениями - они это все время делают. Математики могут пользоваться интуитивными представлениями, которым в настоящее время нет никакого ообснования. Но для математиков нужно писать с учетом их культуры. Приложить какие-то усилия для того, чтобы быть понятным. Со своей стороны, математики всегда прилагали усилия к тому, чтобы быть понятными нематематикам. В частности, математики могут писать, опуская доказательства и заменяя их на примеры и мотивировки.

От физиков же математикам бы хотелось четких объяснений того, что делается, без аппеляции к "физической интуиции".

Я, наверное, не очень внятно это написал, но, может быть, мне все же удалось что-то передать.

[leblon.livejournal.com]

Кажется, все попытки обучить взрослых математиков КТП провалились. Я сам до конца не понимаю, в чем проблема. Моя любимая гипотеза такова. Невозможно выучить КТП, не имея хорошего понимания классической механики, классической теории поля, и квантовой механики конечного числа степеней свободы. Т.е. без предварительного знания физики в объеме первых 3-х курсов Ландау-Лифшица, и даже чуть больше (скажем, в ЛЛ не обсуждатся интеграл по траекториям, без которого в КТП нельзя). Физики просто забывают, что математики не имеют всего этого предварительного знания (даже если они часть этого изучали студентами, они успели все это позабыть).

В качестве иллюстрации: берем случайного математика и просим написать уравнения Максвелла, действие из которого они выводятся, а также тензор энергии-импульса электромагнитного поля. Уверен, что почти никто не сможет этого сделать, даже среди интересующихся физикой. Более того, даже если подсказать ответы на первые два вопроса, на третий ответа все равно не будет. Поскольку математики не знают теорему Нетер (т.е. может, слышали про нее, но не помнят доказательство или конечные формулы). А ведь все это - 1-2 тома ЛЛ.

Попытка учить КТП без всей это базы - это все равно, что учить человека, не знающего алгебры, - алгебраической геометрии на уровне Хартсхорна. Какое-то общее представление о предмете останется, но ни одной конкретной задачи человек решить не сможет.

[sowa.livejournal.com]

Взглянул на его последнюю работу в (математическом) архиве. При поверхностном просмотре это стопроцентная математика, причем весьма абстрактная (ср. предыдущий коммент).

[leblon.livejournal.com]

Он занимается математикой, но по-моему его работы были гораздо интереснее (в том числе для математиков) когда он не гнался за строгостью, а использовал физическую интуицию. Последние работы, с точки зрения физика, строго доказывают совершенно тривиальные результаты. Т.е. берется интересная задача и выхолащивается до такой степени, когда все интересные аспекты пропадают, но зато все можно строго доказать. Я говорил с математиками об этих работах - им это тоже не интересно.

Практически нет людей, котоые знают физику достаточно хорошо, чтобы иметь соответствующую интуицию, и в то же время владеют математической техникой и математической культурой в достаточном объеме. Пожалуй, я только двух человек могу назвать, которые имеют и то, и другое: Виттен и Концевич.

[sowa.livejournal.com]

Еще про физическую интуицию. Мы говорим об очень абстрактных этажах физики. Действительно ли нужно выучиться на физика и приобрести всю эту интуицию, чтобы понимать, что там делается? Скажем, нужно ли прочитать, ну, скажем, Феймановские лекции и Ландау-Лифшица, повариться в среде физиков, и так далее? Или можно начать прямо с КТП?

Мое сторонее впечатление, что главное, что отличает физику этог уровня (абстракции) от математики - это не отсутствие доказательств, а другая система ценностей. И математику очень трудно пройти через барьер этой другой системы ценностей, которая никогда не формулируется явно.

При этом, видимо, именно эта другая система ценностей и позволяет физикам придумывать штуки, которые в последние 20-30 лет так нравятся математикам.

Скажем, почему математики не могли сами придумать уравнения Сайберга-Виттена?

[leblon.livejournal.com]

Может, действительно правильнее говорить не "интуиция", а "идеология".

Например, есть такое очень важное понятие: effective field theory. В КТП его важность осознали в 70-е годы; это - основная идея теории Сайберга-Виттена. Но на самом деле, классической аналог этого понятия гораздо старее, он сидит у физков "в печенках". Называется - derivative expansion, или "длинноволновое приближение". В ЛЛ на этом построено почти все, особенно в последующих томах (5-10). Метод ренорм-группы - это просто более современный и мощный вариант derivative expansion. Ясное дело, даже если физики упомянут о важности effective field theory в теории Сайберга-Виттена, они вряд ли будут детально объяснять, что это такое: если человек этого уже не знает, то скорее всего он и других базовых вещей не знает, так что лучше в это не вдаваться.

Выводы неутешительные (для математиков). Чтобы понять физику, надо самому стать физиком :)

[sowa.livejournal.com]

Так что вы подтверждаете мои подозрения. Надо учиться с самого начала.

А тут есть очень серьезный чисто психологический барьер, в человеческом смысле. У сложившегося математика всегда есть масса вещей из математики, которые можно поучить с большой пользой и удовольствием, если уж он решил поучить что-нибудь. Начинать учиться сначала очень неестественно.

При этом обычный внутриматематический метод изучения все же состоит в том, чтобы "броситься в воду". Если мне нужна незнакомая область математики, я начинаю сверху, а не с азов. Если кому-то нужна алгебраическая геометрия, он скорее всего начнет даже не с Харстхорна, а с чего-то специального, и только потом выйдет на основы коммутативной алгебры (конечно, предполагается, что базовые представления об алгебре у человека есть). Как мне кажется, так же поступают и физики, когда им нужна новая математика, которой их не учили в университете.

И это получается. Поэтому, когда это не получается с физикой - опускаются руки, что ли. В результате мостом между математикой и физикой служат, видимо, буквально несколько человек.

Неужели нельзя эту идеологию как-то объяснить?

[leblon.livejournal.com]

Понимаете, математика больше развивается "вширь", а физика - "вглубь". Но в математике тоже есть области, подобные физике в этом отношении. Если умный физик захочет разобраться в работах, за которые Воеводский получил Филдса, ему придется бросить все и потратить как минимум 3-4 года. Я думаю, специалисту, допустим, по динамическим системам (в математическом смысле) придется потратить на это ровно столько же времени, сколько физику.

Если бы Вы хотели выучить что-то попроще, например, классическую теорию поля, то на это бы хватило месяца. Кавантовая механика займет, как минимум, полгода. И т.д.

Кстати, в следующем году в IAS Рома Б. хочет опять устроить попытку обучения математиков физике. Безумству храбрых поем мы песню.

[sowa.livejournal.com]

Да я понимаю, хотя я сформулировал бы это иначе. Математика действительно шире, или так кажется, но развивается она тоже вглубь. В математике нет главных проблем. Даже авторитет Гильберта не сумел навязать математикам его проблемы как главные. Едва ли не главная часть математики 20-го века никак не касается проблем Гильберта.

А со стороны кажется, что в физике есть главная проблема - квантовая гравитация, наверное.

Воеводский - не очень удачный пример. Это, более-менее, максимальный уровень абстракции. Поэтому сложившийся специалист по динамическим системам изучить этого просто не сможет. Я однажды пытался объяснить очень хорошему специалисту как раз по динамическим системам всего лишь формулировку наиболее просто формулируемого результата Воеводского - гипотезы Милнора. Так что я представляю себе трудности.

Тем не менее, для человека, привыкшего достаточно абстрактным вещам, формулировки не вызовут затруднений, да и многое другое.

Речь не о том, чтобы работать в какой-то области, будь то КТП или мотивы Воеводского. Я говорю о желании понять идеологию.

Внутри математики у меня самого есть опыт довольно успешного использования идеологии посторонней для меня области. Причем я не изучал эту другую область систематически, начиная с основ и разбирая доказательства. Это было бы интересно, но не очень полезно для моей работы, потому что основы у меня другие, и детали доказательств не переносятся. Тем не менее, начав сверху, с research-expository papers, я смог усвоить нужную мне часть идеологии и применить ее к моим задачам.

Вот этого хочется и в отношении физики. Именно объяснения идеологии.

[leblon.livejournal.com]

Возможно, если бы существовали обзорные статьи по разным разделам физики, то человек "со стороны" мог бы разобраться в идеологии. К сожалению, в физике нет традиции написания обзорных статей для неспециалистов. Т.е. есть обзоры по каким-то узким предметам, но не по КТП или квантовой механике.

С моей точки зрения, чтобы был шанс на успех, надо начинать с азов теорфизики, а не с КТП. Для этого нужна или годовая программа лекций, по модели IAS, или самостоятельное изучение обзорных статей. Но нереалистично ожидать, что значительное количество взрослых математиков потратят год своего времени, чтобы изучать undergraduate physics. Второй вариант кажется более приемлемым; к сожалению, тут все упирается в отсутствие обзорных статей. Нужен какой-то физический аналог серии ВИНИТИ по математике (Encyclopeadia of Mathematical Sciences). Только меньший по объему, сфокусированный на pre-requisites для КТП, и написанный на современном математическом языке.

[sowa.livejournal.com]

" Нужен какой-то физический аналог серии ВИНИТИ по математике (Encyclopeadia of Mathematical Sciences). Только меньший по объему, сфокусированный на pre-requisites для КТП, и написанный на современном математическом языке."

Да. Это было бы то, что надо, и это было бы очень здорово.

Кстати, а упомянутый выше Р. Б. - физик или математик по образованию? Для меня несколько неожиданно, что он собирается учить людей физике, настолько чисто математическими выглядят его работы.

[leblon.livejournal.com]

Я неаккуратно сформулировал. Р.Б. - организатор этой программы; он хотел пригласить какого-нибудь физика или физиков прочитать лекции для математиков.

[bors.livejournal.com]

Извините за дурацкий вопрос.
Вот так просто взял и пришел поговорить?
А он из вашего же университета или из другого?

[leblon.livejournal.com]

"Вот так просто взял и пришел поговорить?"

Да, а что?

"А он из вашего же университета или из другого?"

Из другого университета; сейчас такое время года, когда принятые в аспирантуру приезжают посмотреть, куда их, собственно, приняли (хороших студентов принимают сразу в несколько мест, и им надо выбирать).

[bors.livejournal.com]

А, тогда понятно. Я думал, он еще не выпустился и ходит, смотрит, куда подать документы.

"Мальчик, дальше! Здесь не встретишь ни веселья, ни сокр

[roma.livejournal.com]

> "Можно, но будет ли ему от этого польза и удовольствие?"

Можно подумать, кто-то еще надеется на удовольствие! :)

Re: "Мальчик, дальше! Здесь не встретишь ни веселья, ни со

[leblon.livejournal.com]

А, месье мазохист?

обсуждение физиков и математиков

[evaluatepc.livejournal.com]

простите за вторжение в столь интересную дискуссию, господа, но не кажется ли вам, что ваше место специально отведено здесь
forum.fundamentalscience.ru
?