Quantum Field Theory and mathematics

[leblon]

Пришел потенциальный аспирант, побеседовать "за жизнь". Не знает, куда податься: в математику или физику. Он интересуется маломерной топологией и геометрией, а также топологической теорией поля. Я ему прямо сказал, что пора выбирать: или нужно 2 года квантовую теорию поля учить, положив с прибором на математику и математическую строгость, или бросать физику и заниматься чистой математикой. Компромисс, по-моему, невозможен. Он тогда спросил, возможно ли после аспирантуры в физике делать постдок в математике, или наоборот. Мой ответ: не советую. Я знаю одну попытку так сделать, и результат довольно плачевный: несмотря на то, что человек является автором знаменитых статей, на которые все ссылаются, он так и не стал "своим" в другой области. В общем, хотя теорфизики и математики часто занимаются одними и теми же проблемами, подходы и идеология настолько разные, что они не могут уместиться в одной голове. За исключением головы Виттена.

Перефразируя известную поговорку: можно ли научить математика квантовой теории поля? Можно, но будет ли ему от этого польза и удовольствие?

Comments

[sowa.livejournal.com]

Взглянул на его последнюю работу в (математическом) архиве. При поверхностном просмотре это стопроцентная математика, причем весьма абстрактная (ср. предыдущий коммент).

[leblon.livejournal.com]

Он занимается математикой, но по-моему его работы были гораздо интереснее (в том числе для математиков) когда он не гнался за строгостью, а использовал физическую интуицию. Последние работы, с точки зрения физика, строго доказывают совершенно тривиальные результаты. Т.е. берется интересная задача и выхолащивается до такой степени, когда все интересные аспекты пропадают, но зато все можно строго доказать. Я говорил с математиками об этих работах - им это тоже не интересно.

Практически нет людей, котоые знают физику достаточно хорошо, чтобы иметь соответствующую интуицию, и в то же время владеют математической техникой и математической культурой в достаточном объеме. Пожалуй, я только двух человек могу назвать, которые имеют и то, и другое: Виттен и Концевич.

[sowa.livejournal.com]

Еще про физическую интуицию. Мы говорим об очень абстрактных этажах физики. Действительно ли нужно выучиться на физика и приобрести всю эту интуицию, чтобы понимать, что там делается? Скажем, нужно ли прочитать, ну, скажем, Феймановские лекции и Ландау-Лифшица, повариться в среде физиков, и так далее? Или можно начать прямо с КТП?

Мое сторонее впечатление, что главное, что отличает физику этог уровня (абстракции) от математики - это не отсутствие доказательств, а другая система ценностей. И математику очень трудно пройти через барьер этой другой системы ценностей, которая никогда не формулируется явно.

При этом, видимо, именно эта другая система ценностей и позволяет физикам придумывать штуки, которые в последние 20-30 лет так нравятся математикам.

Скажем, почему математики не могли сами придумать уравнения Сайберга-Виттена?

[leblon.livejournal.com]

Может, действительно правильнее говорить не "интуиция", а "идеология".

Например, есть такое очень важное понятие: effective field theory. В КТП его важность осознали в 70-е годы; это - основная идея теории Сайберга-Виттена. Но на самом деле, классической аналог этого понятия гораздо старее, он сидит у физков "в печенках". Называется - derivative expansion, или "длинноволновое приближение". В ЛЛ на этом построено почти все, особенно в последующих томах (5-10). Метод ренорм-группы - это просто более современный и мощный вариант derivative expansion. Ясное дело, даже если физики упомянут о важности effective field theory в теории Сайберга-Виттена, они вряд ли будут детально объяснять, что это такое: если человек этого уже не знает, то скорее всего он и других базовых вещей не знает, так что лучше в это не вдаваться.

Выводы неутешительные (для математиков). Чтобы понять физику, надо самому стать физиком :)

[sowa.livejournal.com]

Так что вы подтверждаете мои подозрения. Надо учиться с самого начала.

А тут есть очень серьезный чисто психологический барьер, в человеческом смысле. У сложившегося математика всегда есть масса вещей из математики, которые можно поучить с большой пользой и удовольствием, если уж он решил поучить что-нибудь. Начинать учиться сначала очень неестественно.

При этом обычный внутриматематический метод изучения все же состоит в том, чтобы "броситься в воду". Если мне нужна незнакомая область математики, я начинаю сверху, а не с азов. Если кому-то нужна алгебраическая геометрия, он скорее всего начнет даже не с Харстхорна, а с чего-то специального, и только потом выйдет на основы коммутативной алгебры (конечно, предполагается, что базовые представления об алгебре у человека есть). Как мне кажется, так же поступают и физики, когда им нужна новая математика, которой их не учили в университете.

И это получается. Поэтому, когда это не получается с физикой - опускаются руки, что ли. В результате мостом между математикой и физикой служат, видимо, буквально несколько человек.

Неужели нельзя эту идеологию как-то объяснить?

[leblon.livejournal.com]

Понимаете, математика больше развивается "вширь", а физика - "вглубь". Но в математике тоже есть области, подобные физике в этом отношении. Если умный физик захочет разобраться в работах, за которые Воеводский получил Филдса, ему придется бросить все и потратить как минимум 3-4 года. Я думаю, специалисту, допустим, по динамическим системам (в математическом смысле) придется потратить на это ровно столько же времени, сколько физику.

Если бы Вы хотели выучить что-то попроще, например, классическую теорию поля, то на это бы хватило месяца. Кавантовая механика займет, как минимум, полгода. И т.д.

Кстати, в следующем году в IAS Рома Б. хочет опять устроить попытку обучения математиков физике. Безумству храбрых поем мы песню.

[sowa.livejournal.com]

Да я понимаю, хотя я сформулировал бы это иначе. Математика действительно шире, или так кажется, но развивается она тоже вглубь. В математике нет главных проблем. Даже авторитет Гильберта не сумел навязать математикам его проблемы как главные. Едва ли не главная часть математики 20-го века никак не касается проблем Гильберта.

А со стороны кажется, что в физике есть главная проблема - квантовая гравитация, наверное.

Воеводский - не очень удачный пример. Это, более-менее, максимальный уровень абстракции. Поэтому сложившийся специалист по динамическим системам изучить этого просто не сможет. Я однажды пытался объяснить очень хорошему специалисту как раз по динамическим системам всего лишь формулировку наиболее просто формулируемого результата Воеводского - гипотезы Милнора. Так что я представляю себе трудности.

Тем не менее, для человека, привыкшего достаточно абстрактным вещам, формулировки не вызовут затруднений, да и многое другое.

Речь не о том, чтобы работать в какой-то области, будь то КТП или мотивы Воеводского. Я говорю о желании понять идеологию.

Внутри математики у меня самого есть опыт довольно успешного использования идеологии посторонней для меня области. Причем я не изучал эту другую область систематически, начиная с основ и разбирая доказательства. Это было бы интересно, но не очень полезно для моей работы, потому что основы у меня другие, и детали доказательств не переносятся. Тем не менее, начав сверху, с research-expository papers, я смог усвоить нужную мне часть идеологии и применить ее к моим задачам.

Вот этого хочется и в отношении физики. Именно объяснения идеологии.

[leblon.livejournal.com]

Возможно, если бы существовали обзорные статьи по разным разделам физики, то человек "со стороны" мог бы разобраться в идеологии. К сожалению, в физике нет традиции написания обзорных статей для неспециалистов. Т.е. есть обзоры по каким-то узким предметам, но не по КТП или квантовой механике.

С моей точки зрения, чтобы был шанс на успех, надо начинать с азов теорфизики, а не с КТП. Для этого нужна или годовая программа лекций, по модели IAS, или самостоятельное изучение обзорных статей. Но нереалистично ожидать, что значительное количество взрослых математиков потратят год своего времени, чтобы изучать undergraduate physics. Второй вариант кажется более приемлемым; к сожалению, тут все упирается в отсутствие обзорных статей. Нужен какой-то физический аналог серии ВИНИТИ по математике (Encyclopeadia of Mathematical Sciences). Только меньший по объему, сфокусированный на pre-requisites для КТП, и написанный на современном математическом языке.

[sowa.livejournal.com]

" Нужен какой-то физический аналог серии ВИНИТИ по математике (Encyclopeadia of Mathematical Sciences). Только меньший по объему, сфокусированный на pre-requisites для КТП, и написанный на современном математическом языке."

Да. Это было бы то, что надо, и это было бы очень здорово.

Кстати, а упомянутый выше Р. Б. - физик или математик по образованию? Для меня несколько неожиданно, что он собирается учить людей физике, настолько чисто математическими выглядят его работы.

[leblon.livejournal.com]

Я неаккуратно сформулировал. Р.Б. - организатор этой программы; он хотел пригласить какого-нибудь физика или физиков прочитать лекции для математиков.