Наивный вопрос

[leblon]

1. Как определяется К_0 DG-категории (или хотя бы DG-алгебры)?

2. Пусть имеется два DG-модуля A и B над DG-категорией W (над полем комплексных чисел). Пусть V(A,B) - градуированное векторное пространство, k-я компонента которого V_k определена как k-я когомология комплекса Hom_W(A,B). V(A,B) - это градуированный модуль над градуированной алгеброй V(A,A). Пусть T - какой-нибудь элемент V(A,A), рассматриваемый как линейный оператор на V(A,B). Пусть у нас все конечномерно, так что суперслед T хорошо определен. Правда ли, что он не меняется, если заменить B на какой-нибудь другой модуль с тем же классом в К_0?

Comments

[roma.livejournal.com]

1) Kak K_0 ot sootv. triangulirovannoj.

2) Da, po-moemu ochevidno sleduet iz dlinnoj tochnoj posl-ti kogomologij i opredelinja K_0.

[leblon.livejournal.com]

1. This is true, of course, but I would prefer an explicit description in terms of DG-modules. A DG-category is a much simpler thing, than its derived category. Also, which kind of modules should one consider?

2. Can you explain in detail how it goes? Including my vague expression "everything is finite-dimensional"?

[posic.livejournal.com]

1. Вопрос в том, как это дело определяется в литературе или как оно должно было бы определяться? В первом случае я не смогу помочь -- чукча не читатель. Ссылки на литературу имеются здесь; вам они, наверно, знакомы. Во втором случае я думаю, что существует несколько вариантов определения. Уже для обычного кольца W существует K_0 (классы конечно-порожденных проективных модулей по модулю прямых сумм) и K'_0 (классы конечно-порожденных модулей по модулю точных троек). Для DG-алгебры/DG-категории мне навскидку кажется, что должно быть примерно 4 варианта -- два обобщающих K_0 и два обобщающих K'_0. (Дело в том, что существует, в принципе, два разных варианта определения производной категории DG-модулей -- так называемые производные и копроизводные категории, или производные категории первого и второго рода.)

Я буду писать через / определения, относящиеся к ситуации DG-алгебры/DG-категории.

Во-первых, можно рассмотреть все конечно-порожденные проективные в сильном смысле DG-модули -- DG-модули, которые можно получить из DG-модуля W над DG-алгеброй W/представимых DG-модулей операциями конуса, сдвига и перехода к прямому слагаемому. Во-вторых, можно рассмотреть конечно-порожденные проективные в слабом смысле DG-модули -- DG-модули, которые, если забыть в них дифференциал, становятся конечно-порожденными проективными просто модулями/прямыми слагаемыми конечных прямых сумм представимых просто (не DG) модулей. В том и в другом случае, следует породить абелеву группу классами изоморфизма DG-модулей соответствующего типа и профакторизовать ее по соотношениям, проистекающим из точных троек DG-модулей и сдвигов DG-модулей. (Выделенные треугольники в производной категории DG-модулей происходят из точных троек DG-модулей.) В-третьих и в-четвертых, чтобы обобщить K'_0, надо как-то определить конечно-порожденные DG-модули. Я не уверен, как лучше, но попробуем сказать, что мы рассматриваем DG-модули, которые конечно порождены как просто модули. Нужно, чтобы категория конечно-порожденных просто модулей была абелевой, то есть чтобы алгебра была нетеровой. Дальше можно применить ту же конструкцию, что и выше -- это будет в-четвертых. А в третьих, можно еще добавить соотношение, что класс DG-модуля с нулевыми когомологиями равен нулю.

2. При использовании первого определения выше -- правда, если наша DG-алгебра/все комплексы морфизмов в DG-категории имеют тотально конечномерные когомологии (только в конечном числе степеней когомологии ненулевые, и там -- конечномерны). При использовании второго определения выше -- правда, если DG-алгебра/все комплексы морфизмов в DG-категории конечномерны. В обоих случаях это так потому, что для любой точной тройки DG-модулей B'->B->B'' имеется точная тройка комплексов Hom_W(A,B') -> Hom_W(A,B) -> Hom_W(A,B'') (поскольку DG-модули A,B,... проективны как просто модули). Важно, чтобы комплекс Hom_W(A,B) имел конечномерные когомологии для всех рассматриваемых DG-модулей A и B. При использовании третьего или четвертого определений -- вероятно, неправда, а чтобы было правдой, надо заменить Hom на соответствующий RHom.

[posic.livejournal.com]

Дополнение к 2. При использовании третьего определения K_0, желаемое утверждение будет верно, если предполагать, что DG-модуль A -- конечно-порожденный проективный в сильном смысле (см. первое определение), а DG-алгебра W/все комплексы морфизмов в DG-категории W конечномерны. При использовании четвертого определения K_0, желаемое утверждение будет верно, если предполагать, что DG-модуль A -- конечно-порожденный проективный в слабом смысле (см. второе определение), а DG-алгебра W/все комплексы морфизмов в DG-категории W конечномерны.

При использовании первого определения К_0, если заменить Hom_W(A,B) на Hom_W(B,A), то достаточно предполагать, что в подкатегории конечно порожденных проективных в сильном смысле DG-модулей лежат DG-модули B, DG-модули A же могут быть любыми с конечномерными когомологиями/такими, что образы всех объектов W имеют конечномерные когомологии. При использовании второго определения, если заменить Hom_W(A,B) на Hom_W(B,A), достаточно предполагать, что в подкатегории конечно порожденных проективных в слабом смысле DG-модулей лежат DG-модули B, DG-модули A же могут быть любыми конечномерными/такими, что образы всех объектов W конечномерны.

P.S. Я посмотрел в Келлера. Он определяет К_0 (и даже все К_i) для DG-категории способом, который имеет у меня называется первым.

[leblon.livejournal.com]

Спасибо.

Тогда еще вопрос. Есть ли тут какое-то свойство универсальности? Т.е. можно ли заменить К_0 в этом утверждении на какой-нибудь фактор К_0? Для а=1, мы имеем дело с индексом, а индекс вроде выражается через характер Черна, живущий не в К-теории, а в циклической когомологии.