Наивный вопрос

[leblon]

1. Как определяется К_0 DG-категории (или хотя бы DG-алгебры)?

2. Пусть имеется два DG-модуля A и B над DG-категорией W (над полем комплексных чисел). Пусть V(A,B) - градуированное векторное пространство, k-я компонента которого V_k определена как k-я когомология комплекса Hom_W(A,B). V(A,B) - это градуированный модуль над градуированной алгеброй V(A,A). Пусть T - какой-нибудь элемент V(A,A), рассматриваемый как линейный оператор на V(A,B). Пусть у нас все конечномерно, так что суперслед T хорошо определен. Правда ли, что он не меняется, если заменить B на какой-нибудь другой модуль с тем же классом в К_0?

Comments

[posic.livejournal.com]

Дополнение к 2. При использовании третьего определения K_0, желаемое утверждение будет верно, если предполагать, что DG-модуль A -- конечно-порожденный проективный в сильном смысле (см. первое определение), а DG-алгебра W/все комплексы морфизмов в DG-категории W конечномерны. При использовании четвертого определения K_0, желаемое утверждение будет верно, если предполагать, что DG-модуль A -- конечно-порожденный проективный в слабом смысле (см. второе определение), а DG-алгебра W/все комплексы морфизмов в DG-категории W конечномерны.

При использовании первого определения К_0, если заменить Hom_W(A,B) на Hom_W(B,A), то достаточно предполагать, что в подкатегории конечно порожденных проективных в сильном смысле DG-модулей лежат DG-модули B, DG-модули A же могут быть любыми с конечномерными когомологиями/такими, что образы всех объектов W имеют конечномерные когомологии. При использовании второго определения, если заменить Hom_W(A,B) на Hom_W(B,A), достаточно предполагать, что в подкатегории конечно порожденных проективных в слабом смысле DG-модулей лежат DG-модули B, DG-модули A же могут быть любыми конечномерными/такими, что образы всех объектов W конечномерны.

P.S. Я посмотрел в Келлера. Он определяет К_0 (и даже все К_i) для DG-категории способом, который имеет у меня называется первым.

[leblon.livejournal.com]

Спасибо.

Тогда еще вопрос. Есть ли тут какое-то свойство универсальности? Т.е. можно ли заменить К_0 в этом утверждении на какой-нибудь фактор К_0? Для а=1, мы имеем дело с индексом, а индекс вроде выражается через характер Черна, живущий не в К-теории, а в циклической когомологии.