Наивный вопрос

[leblon]

1. Как определяется К_0 DG-категории (или хотя бы DG-алгебры)?

2. Пусть имеется два DG-модуля A и B над DG-категорией W (над полем комплексных чисел). Пусть V(A,B) - градуированное векторное пространство, k-я компонента которого V_k определена как k-я когомология комплекса Hom_W(A,B). V(A,B) - это градуированный модуль над градуированной алгеброй V(A,A). Пусть T - какой-нибудь элемент V(A,A), рассматриваемый как линейный оператор на V(A,B). Пусть у нас все конечномерно, так что суперслед T хорошо определен. Правда ли, что он не меняется, если заменить B на какой-нибудь другой модуль с тем же классом в К_0?

Comments

[posic.livejournal.com]

1. Вопрос в том, как это дело определяется в литературе или как оно должно было бы определяться? В первом случае я не смогу помочь -- чукча не читатель. Ссылки на литературу имеются здесь; вам они, наверно, знакомы. Во втором случае я думаю, что существует несколько вариантов определения. Уже для обычного кольца W существует K_0 (классы конечно-порожденных проективных модулей по модулю прямых сумм) и K'_0 (классы конечно-порожденных модулей по модулю точных троек). Для DG-алгебры/DG-категории мне навскидку кажется, что должно быть примерно 4 варианта -- два обобщающих K_0 и два обобщающих K'_0. (Дело в том, что существует, в принципе, два разных варианта определения производной категории DG-модулей -- так называемые производные и копроизводные категории, или производные категории первого и второго рода.)

Я буду писать через / определения, относящиеся к ситуации DG-алгебры/DG-категории.

Во-первых, можно рассмотреть все конечно-порожденные проективные в сильном смысле DG-модули -- DG-модули, которые можно получить из DG-модуля W над DG-алгеброй W/представимых DG-модулей операциями конуса, сдвига и перехода к прямому слагаемому. Во-вторых, можно рассмотреть конечно-порожденные проективные в слабом смысле DG-модули -- DG-модули, которые, если забыть в них дифференциал, становятся конечно-порожденными проективными просто модулями/прямыми слагаемыми конечных прямых сумм представимых просто (не DG) модулей. В том и в другом случае, следует породить абелеву группу классами изоморфизма DG-модулей соответствующего типа и профакторизовать ее по соотношениям, проистекающим из точных троек DG-модулей и сдвигов DG-модулей. (Выделенные треугольники в производной категории DG-модулей происходят из точных троек DG-модулей.) В-третьих и в-четвертых, чтобы обобщить K'_0, надо как-то определить конечно-порожденные DG-модули. Я не уверен, как лучше, но попробуем сказать, что мы рассматриваем DG-модули, которые конечно порождены как просто модули. Нужно, чтобы категория конечно-порожденных просто модулей была абелевой, то есть чтобы алгебра была нетеровой. Дальше можно применить ту же конструкцию, что и выше -- это будет в-четвертых. А в третьих, можно еще добавить соотношение, что класс DG-модуля с нулевыми когомологиями равен нулю.

2. При использовании первого определения выше -- правда, если наша DG-алгебра/все комплексы морфизмов в DG-категории имеют тотально конечномерные когомологии (только в конечном числе степеней когомологии ненулевые, и там -- конечномерны). При использовании второго определения выше -- правда, если DG-алгебра/все комплексы морфизмов в DG-категории конечномерны. В обоих случаях это так потому, что для любой точной тройки DG-модулей B'->B->B'' имеется точная тройка комплексов Hom_W(A,B') -> Hom_W(A,B) -> Hom_W(A,B'') (поскольку DG-модули A,B,... проективны как просто модули). Важно, чтобы комплекс Hom_W(A,B) имел конечномерные когомологии для всех рассматриваемых DG-модулей A и B. При использовании третьего или четвертого определений -- вероятно, неправда, а чтобы было правдой, надо заменить Hom на соответствующий RHom.

[posic.livejournal.com]

Дополнение к 2. При использовании третьего определения K_0, желаемое утверждение будет верно, если предполагать, что DG-модуль A -- конечно-порожденный проективный в сильном смысле (см. первое определение), а DG-алгебра W/все комплексы морфизмов в DG-категории W конечномерны. При использовании четвертого определения K_0, желаемое утверждение будет верно, если предполагать, что DG-модуль A -- конечно-порожденный проективный в слабом смысле (см. второе определение), а DG-алгебра W/все комплексы морфизмов в DG-категории W конечномерны.

При использовании первого определения К_0, если заменить Hom_W(A,B) на Hom_W(B,A), то достаточно предполагать, что в подкатегории конечно порожденных проективных в сильном смысле DG-модулей лежат DG-модули B, DG-модули A же могут быть любыми с конечномерными когомологиями/такими, что образы всех объектов W имеют конечномерные когомологии. При использовании второго определения, если заменить Hom_W(A,B) на Hom_W(B,A), достаточно предполагать, что в подкатегории конечно порожденных проективных в слабом смысле DG-модулей лежат DG-модули B, DG-модули A же могут быть любыми конечномерными/такими, что образы всех объектов W конечномерны.

P.S. Я посмотрел в Келлера. Он определяет К_0 (и даже все К_i) для DG-категории способом, который имеет у меня называется первым.

[leblon.livejournal.com]

Спасибо.

Тогда еще вопрос. Есть ли тут какое-то свойство универсальности? Т.е. можно ли заменить К_0 в этом утверждении на какой-нибудь фактор К_0? Для а=1, мы имеем дело с индексом, а индекс вроде выражается через характер Черна, живущий не в К-теории, а в циклической когомологии.