(no subject)
Jun. 16th, 2013 07:51 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
leblonСтоя в очереди в аэропорту имени Мак-Артура (Лонг Айленд), размышлял, как бы объяснить, что число отображений из пустого множества в непустое равно единице (это я считал количество плоских связностей на двумерной сфере, используя ее клеточное разбиение на одну 2-клетку и одну 0-клетку).
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
(no subject)
Date: 2013-06-16 03:02 pm (UTC)Число отображений из непустого множества в пустое равно нулю, с другой стороны.
(no subject)
Date: 2013-06-16 03:32 pm (UTC)(no subject)
Date: 2013-06-16 03:38 pm (UTC)(no subject)
Date: 2013-06-16 03:41 pm (UTC)(no subject)
Date: 2013-06-16 03:45 pm (UTC)(no subject)
Date: 2013-06-16 03:45 pm (UTC)Такое отображенiе единственно, т.к. любыя два такихъ отображенiя f1, f2 не отличаются: нельзя найти такого элемента x перваго (пустого) множества, для котораго элементы f1(x) и f2(x) второго множества будутъ разными.
(no subject)
Date: 2013-06-16 03:47 pm (UTC)(no subject)
Date: 2013-06-16 03:50 pm (UTC)(no subject)
Date: 2013-06-16 08:05 pm (UTC)Если X пусто, то:
- произведение X и Y пусто;
- следовательно, подмножество f в произведении X×Y единственно (и пусто, но это уже неважно);
- наконец, это единственное подмножество удовлетворяет определению отображения, т.к. всякое утверждение, начинающееся с "для всякого x из X", истинно, если X пусто.
Так что либо надо считать занятия "чистой" математикой пустым занятием (но тогда уж любые), либо смириться с тем, что из пустого отображение одно, а из непустого в пустое отображений ноль.
(no subject)
Date: 2013-06-16 08:12 pm (UTC)(no subject)
Date: 2013-06-16 08:19 pm (UTC)(no subject)
Date: 2013-06-16 08:28 pm (UTC)(no subject)
Date: 2013-06-16 08:56 pm (UTC)(no subject)
Date: 2013-06-16 09:35 pm (UTC)"Отображение из X в Y" это функциональное отношение между X и Y, т.е. множество упорядоченных пар (x,y) для всех x из X и некоторых y из Y с тем условием, что разные y должны входить в разные элементы этого отношения.
"Натуральные числа" это конечные ординалы, которые одновременно и конечные кардиналы. В частности, 0 - это ординал/кардинал пустого множества. 1 - ординал/кардинал множества состоящего из одного элемента - пустого подмножества и т.д. При этом важно понимать разницу между "подмножеством" и "элементом множества". Пустое множество является подмножеством любого множества, но не является элементом любого множества. Когда пустое множество это не только подмножество, но и единственный элемент множества, то вместо ординала 0 появляется ординал 1. При этом число подмножеств меняется с 20=1 (единственное подмножество состояющее из самого множества - пустого множества) на 21=2 (подмножество - пустое множество и подмножество - элемент, который является пустым множеством).
Соответственно, если X пустое множество, то для любого Y будет существовать отображение из X в Y - функциональное отношение состоящее из пустого множества. Причем в этом функциональном отношении пустое множество будет не просто подмножеством, но и элементом этого функционального отношения. Число элементов этого отношения будет равно 1 по определению числа 1.
А если X непустое множество, а Y пустое, то из X в Y нельзя построить функциональное отношение, поскольку для элементов X нельзя будет указать пары (x,y), а это противоречит требованию в определении функционального отношения.
Если я что-то написал некорректно, то, надеюсь,
(no subject)
Date: 2013-06-16 09:39 pm (UTC)(frozen) (no subject)
Date: 2013-06-16 09:56 pm (UTC)(no subject)
Date: 2013-06-17 06:25 am (UTC)Произведение пустого множества на любое - пустое множество. У него есть единственное подмножество и нужными свойствами оно обладает.
(no subject)
Date: 2013-06-17 07:08 am (UTC)Спасибо за помощь.
(no subject)
Date: 2013-06-16 03:42 pm (UTC)(no subject)
Date: 2013-06-16 04:53 pm (UTC)Это какой-то нулевой объект получается (как в случае с группами, например)...
(no subject)
Date: 2013-06-16 04:56 pm (UTC)Из пустого в любое равно единице.
(no subject)
Date: 2013-06-17 05:07 pm (UTC)(no subject)
Date: 2013-06-16 06:11 pm (UTC)(no subject)
Date: 2013-06-16 06:14 pm (UTC)(no subject)
Date: 2013-06-16 08:05 pm (UTC)(no subject)
Date: 2013-06-16 08:52 pm (UTC)(no subject)
Date: 2013-06-16 08:59 pm (UTC)(no subject)
Date: 2013-06-16 09:56 pm (UTC)Если представить себе необходимость рассуждать про пространство, размерность которого совершенно неизвестна и запросто может быть как нулем, так и двойкой или бесконечностью, ситуация становится понятнее. Не говоря уже о необходимости иметь дело сразу со всей категорией векторных пространств.
(frozen) (no subject)
Date: 2013-06-16 10:04 pm (UTC)(no subject)
Date: 2013-06-16 03:55 pm (UTC)(no subject)
Date: 2013-06-16 04:30 pm (UTC)(no subject)
Date: 2013-06-16 05:37 pm (UTC)(no subject)
Date: 2013-06-16 08:03 pm (UTC)Но утверждения типа "раз нечего отображать, то отображение есть и оно одно", я не вмещаю.
(no subject)
Date: 2013-06-16 09:24 pm (UTC)звон, что у Лейбница было много проблем от того, что он пытался построить логику, неправильно обращаясь с пустым множеством, то ли что "для любого" у него влекло "существует", то ли еще какая такая несуразица. Так что твои вопрошающие в хорошей компании, 300 лет назад с ними было бы о чем поговорить!(no subject)
Date: 2013-06-17 01:24 am (UTC)(frozen) (no subject)
Date: 2013-06-17 07:19 am (UTC)