(no subject)

[leblon]

Стоя в очереди в аэропорту имени Мак-Артура (Лонг Айленд), размышлял, как бы объяснить, что число отображений из пустого множества в непустое равно единице (это я считал количество плоских связностей на двумерной сфере, используя ее клеточное разбиение на одну 2-клетку и одну 0-клетку).

Comments

[vladimir-anski.livejournal.com]

Понятно, переливание из пустого в порожнее считается достойным занятием. Но не будет большой беды считать это и пустым занятием, то есть, число отображений ноль. Ибо как можно отличить совершённое отображение от еще не совершённого?

[xgrbml.livejournal.com]

Отображение из X в Y - это подмножество f в произведении X×Y,обладающее следующим свойством: для всякого x из X существует и единственен такой y из Y, что пара (x,y) принадлежит подмножеству f.

Если X пусто, то:
- произведение X и Y пусто;
- следовательно, подмножество f в произведении X×Y единственно (и пусто, но это уже неважно);
- наконец, это единственное подмножество удовлетворяет определению отображения, т.к. всякое утверждение, начинающееся с "для всякого x из X", истинно, если X пусто.

Так что либо надо считать занятия "чистой" математикой пустым занятием (но тогда уж любые), либо смириться с тем, что из пустого отображение одно, а из непустого в пустое отображений ноль.

[vladimir-anski.livejournal.com]

То есть, это следствие формального определения отображения. Для такого пустого дела можно было бы сделать и исключение и дать другое определение, чтобы было что отображать. А то пустое множество мало того, что его не видно не вооруженным глазом, его не видно также и под микроскопом.

[xgrbml.livejournal.com]

Если давать определения с исключениями для вырожденных случаев, то получится форменный сумдом, и работать с такими определениями будет просто невозможно: в любом сколько-нибудь серьезном рассуждении количество ветвлений, вызванных проверками на исключение, будет лавинообразно расти.

[vladimir-anski.livejournal.com]

Хорошо, пусть будет так, как было, т. е., по Вашему. Вреда ведь не будет?

[xgrbml.livejournal.com]

Не будет!

[bortans.livejournal.com]

Считать число отображений ноль будет большой бедой, поскольку это будет противоречить определениям "отображения" и "числа", при введении этих понятий через исходное понятие "множества".
"Отображение из X в Y" это функциональное отношение между X и Y, т.е. множество упорядоченных пар (x,y) для всех x из X и некоторых y из Y с тем условием, что разные y должны входить в разные элементы этого отношения.
"Натуральные числа" это конечные ординалы, которые одновременно и конечные кардиналы. В частности, 0 - это ординал/кардинал пустого множества. 1 - ординал/кардинал множества состоящего из одного элемента - пустого подмножества и т.д. При этом важно понимать разницу между "подмножеством" и "элементом множества". Пустое множество является подмножеством любого множества, но не является элементом любого множества. Когда пустое множество это не только подмножество, но и единственный элемент множества, то вместо ординала 0 появляется ординал 1. При этом число подмножеств меняется с 2⁰=1 (единственное подмножество состояющее из самого множества - пустого множества) на 2¹=2 (подмножество - пустое множество и подмножество - элемент, который является пустым множеством).

Соответственно, если X пустое множество, то для любого Y будет существовать отображение из X в Y - функциональное отношение состоящее из пустого множества. Причем в этом функциональном отношении пустое множество будет не просто подмножеством, но и элементом этого функционального отношения. Число элементов этого отношения будет равно 1 по определению числа 1.

А если X непустое множество, а Y пустое, то из X в Y нельзя построить функциональное отношение, поскольку для элементов X нельзя будет указать пары (x,y), а это противоречит требованию в определении функционального отношения.

Если я что-то написал некорректно, то, надеюсь, posic меня исправит.

[vladimir-anski.livejournal.com]

Спасибо за терпеливое и дружественное разъяснение, я попробую усвоить все эти тонкие различия.

(frozen) (no subject)

[bortans.livejournal.com]

Не за что, только я должен добавить дисклеймер, что я не профессиональный математик, и что я надеюсь, что кто-то из оных меня исправит, если я в чем-то вас и других дезинформировал. (Выше кроме комментариев posic увидел сейчас и комментарии chaource и xgrbml, так что, возможно, исправят и они.)