(no subject)

[leblon]

Квантование - дело сложное, как для физиков, так и для математиков. Физиков обычно волнует проблема единственности квантования, а математикам даже существование какого-то разумного квантования неочевидно. Это потому, что физики и математики квантуют разные классы объектов. Например, физиков совершенно не занимают пуассоновы многообразия, и ажиотаж вокруг работы Концевича их почти не затронул. Единственный класс примеров, известный физикам, где квантование "не работает" - это киральные калибровочные теории. Там есть всевозможные "аномалии". Но это очень сложный (бесконечномерный) пример. Я вот нашел гораздо более простой класс моделей, где существование квантования неочевидно. Это суперсимметричные квантовые механики. (Например, такие, которые возникают в теории топологическихс Д-бран).

Классически, там имеется симплектическое супермногообразие плюс специальная подалгебра супералгебры векторных полей. Хочется проквантовать так, чтобы эта подалгебра "выжила" в квантовой теории и действовала на гильбертово пространство.

Например, подалгебра может состоять из единственного нечетного векторного поля которое антикоммутирует само с собой. Тогда мы хотим квантовать дифференциалное пуассоново супермногообразие так, чтобы получилась диффенциальная супералгебра. По-моему, тут могут быть всякие препятствия.

Простейший пример такого рода связан с комплексным подмногообразием и голоморфным расслоением на нем.

Comments

[sowa.livejournal.com]

" Например, физиков совершенно не занимают пуассоновы многообразия, и ажиотаж вокруг работы Концевича их почти не затронул."

А кого же он тогда затронул?

[leblon.livejournal.com]

Математиков, насколько я понимаю. Я помню, вскоре после объявления результата, в Ратгерсе была организована серия лекций Концевича, и был полный аншлаг среди математиков. Гельфанд тоже там был, хотя на первой лекции сразу заснул и проснулся только в самом конце. Потом я видел кучу статей где используется или обобщается результат Концевича, и все они, за малыми исключениями, принадлежат математикам (Cattaneo, Felder, Тамаркин, Цыган, и т.д.)

[sowa.livejournal.com]

Аншлаг был, я думаю, потому, что это Концевич.

Мне действительно хотелось бы узнать, как этот результат соотносится, так сказать, с mainstream mathematics. Пуассоновы многообразия - это такая штука, занятие которой обычно оправдыват ее важностью для физики. В особенности ее квантование. (Те, кого вы перечислили, работают в этой узкой области, действительно.) И тут вы говорите, что физикам это не нужно.

[leblon.livejournal.com]

Физикам симплектические многообразия гораздо нужнее пуассоновых, а с математической точки зрения симплектический случай довольно тривиален в смысле деформационного квантования.

Пуассоновы тоже могут пригодиться, но я до сих пор не видел хороших применений в физике. У меня они появляются потому, что мое симплектическое многообразие на самом деле супермногообразие, на нем действует гомологическое векторное поле (БРСТ оператор), и меня интересует когомология этого оператора (которую обычно можно рассматривать как алгебру функций на каком-то пуассоновом супермногообразии) и ее квантование (которое должна быть просто ассоциативной алгеброй). Без БРСТ оператора все было бы симплектично. В более стандартных ситуациях, вроде калибровочных теорий, БРСТ оператор тоже есть, но очень специфический (связанный с калибровочными симметриями). Там БРСТ когомология - это опять таки алгебра функций на симплектическом многообразии, и вся эта пуассонова технология не нужна.

[sowa.livejournal.com]

Математикам тоже гораздо интереснее симплектические многообразия. Так что слава этой теоремы остается загадочной.

???

[roma.livejournal.com]

smotrja kakim. ne ochen' ponjatno chto Vy imeli v vidu.

Re: ???

[sowa.livejournal.com]

Я, главным образом, высказал пожелание, чтобы мне объяснили (или дали ссылки), чем важна эта теорема Концевича. Ясно, что для некоторых математиков она важна, но в целом, как мне кажется, симпектическая геометрия/топология, плюс, скажем, теорема об индексе - несравнимо более обширная область математики, чем изучение пуассоновых многообразий. Мое подозрение состоит в том, что последние реально нужны только в некоторых специальных вопросах теории представлений (которые кому-то могут быть милее всего). Я буду только рад, если меня поправят.

[roma.livejournal.com]

A razve Felder ne fizik?

[leblon.livejournal.com]

Самые физические его работы - про конструкцию представлений алгебры Вирасоро как когомологии подходящего дифференциала на свободных полях. Все остальное - чистая математика, по-моему. Если Фелдер - физик, то тогда и Фейгин тоже физик.

[roma.livejournal.com]

> Простейший пример такого рода связан с комплексным подмногообразием и голоморфным расслоением на нем

А как связан-то, т.е. как ты строишь супермногообразие с нечетным векторным полем по голом. расслоению?
Комплекс Дольбо что ли какой-нибудь?

на эту тему есть байка, может рассказывал [перескажу тут потом если будет время]

[leblon.livejournal.com]

Если подмногообразие - это все многообразие, то получается просто комплекс Дольбо проективизации нашего голоморфного расслоения. (Ну, там на самом деле еще надо иметь метрику на расслоении, чтобы задать пуассонову структуру). А вот для общих подмногообразий все получается значительно хитрее. Я про это рассказывал в Принстоне зимой в частном случае, когда расслоение линейное. Ответ должен вычислять алгебру эндоморфизмов соответствующего объекта в прозводной категории объемлющего многообразия.

[roma.livejournal.com]

OK. u tebja ved' est' tekst pro eto, da? Kazhdan velel ego izuchat', no ja ne izuchil, kak vsegda