Сами мы не местные

[leblon]

Эквивариантные когомологии пространства являются модулем над эквивариантными когомологиями точки. Есть ли какой-нибудь простой признак, по которому можно определить, что этот модуль свободный?

Comments

[posic.livejournal.com]

Аналогичный, вроде бы, вопрос: есть ли какой-нибудь признак, по которому можно определить, что целочисленные когомологии пространства являются свободными абелевыми группами?

Если замысел в том, чтобы научиться проверять такие свойства когомологий, нисколько при этом не приближаясь к собственно вычислению когомологий, то у меня нет идей, как бы это можно было делать.

Вернее сказать, есть одна идея: если действие группы гомотопически тривиально (пространство с действием группы гомотопически эквивалентно какому-нибудь пространству с тривиальным действием той же группы), то эквивариантные когомологии с коэффициентами в поле -- свободный модуль над эквивариантными когомологиями точки.

Если замысел не в этом, то достаточно было бы построить фильтрацию на когомологиях, присоединенный фактор к которой является свободным модулем. Для этого достаточно построить вырождающуюся спектральную последовательность, сходящуюся к искомым когомологиям, начинающуюся со свободного модуля.

Т.е. чуть более возвышенный вариант утверждения, что когомологии пространства, разбитого на четномерные клетки, являются (при очевидных условиях конечности) свободными абелевыми группами.

[leblon.livejournal.com]

Мне надо посчитать эквивариантные когомологии некоего многообразия. Я где-то видел утверждение, что с точностью до модулей кручения эквивариантные когомологии равны тензорному произведению когомологий точки на обычные когомологии неподвижной части многообразия. Неподвижная часть у меня очень простая. Теперь остается выяснить, есть ли там вообще кручение.

[posic.livejournal.com]

Тогда это вопрос о том, при каких условиях пространство и его подпространство имеют одинаковые эквивариантные когомологии.

[posic.livejournal.com]

Само утверждение сомнительно, в то же время. Пусть G -- компактная группа Ли, T -- ее максимальный тор, X=G/T -- интересующее нас многообразие с действием G. Тогда неподвижная часть X пуста, если G не совпадает с T. А эквивариантные когомологии X как G-многообразия равны эквивариантным когомологиям точки как T-многообразия, то есть когомологиям BT. Последние не являются модулем кручения над когомологиями BG (не помню, являются ли они свободным модулем). Например, если G=U(n), n>1, то когомологии BT есть кольцо многочленов от n переменных x_1,...,x_n, живущих в градуировке 2. А когомологии BG есть подкольцо симметрических многочленов от x_1,...,x_n.

[bravchick.livejournal.com]

Я где-то видел утверждение, что с точностью до модулей кручения эквивариантные когомологии равны тензорному произведению когомологий точки на обычные когомологии неподвижной части многообразия.

Это верно, для эквивариантных когомологий относительно тора. Называется теорема локализации (она очень внятно и коротко изложена в статье Атьи и Ботта "The moment map and equivariant cohomology"). Для неабелевой группы все сложнее и, на сколько я знаю, общих утверждений такого рода нет.

[leblon.livejournal.com]

Да, спасибо, я забыл указать, что группа - тор.

[leblon.livejournal.com]

Как указано ниже, это верно, когда группа - тор.

[roma.livejournal.com]

nu, dlja gruppy Lie est' i svoditsja k toru?

[bravchick.livejournal.com]

Это как? Мне казалось, что в общем случае когомологии вообще не произведение по модулю кручения. Эквивариантные когомологии группы, это инварианты в когомологиях относительно тора. Но неподвижные точки относительно тора не равны неподвижным точкам относительно группы. Можно пробовать выразить все через когомологии неподвижных точек тора и того как на них действует группа Вейля. Но мне казалось, что если ничего не предполагать про это действие, то никаких общих утверждений сделать нельзя.

[roma.livejournal.com]

Sorry, ja nevnimatel'no prochital vopros. Obychno ispol'zuetsja, chto esli vzjat' element s v gruppe i (skazhem) popolnit' po sootv. harakteru ekv-h kogomologij tochki, to rezul'tat opisyvaetsja cherez nepodvizhnye tochki etogo elementa. Eto, razumeetsja, svoditsja k sluchaju kogda gruppa -- tor.