Аналогичный, вроде бы, вопрос: есть ли какой-нибудь признак, по которому можно определить, что целочисленные когомологии пространства являются свободными абелевыми группами?
Если замысел в том, чтобы научиться проверять такие свойства когомологий, нисколько при этом не приближаясь к собственно вычислению когомологий, то у меня нет идей, как бы это можно было делать.
Вернее сказать, есть одна идея: если действие группы гомотопически тривиально (пространство с действием группы гомотопически эквивалентно какому-нибудь пространству с тривиальным действием той же группы), то эквивариантные когомологии с коэффициентами в поле -- свободный модуль над эквивариантными когомологиями точки.
Если замысел не в этом, то достаточно было бы построить фильтрацию на когомологиях, присоединенный фактор к которой является свободным модулем. Для этого достаточно построить вырождающуюся спектральную последовательность, сходящуюся к искомым когомологиям, начинающуюся со свободного модуля.
Т.е. чуть более возвышенный вариант утверждения, что когомологии пространства, разбитого на четномерные клетки, являются (при очевидных условиях конечности) свободными абелевыми группами.
![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png)
branchandroot
(no subject)
Date: 2008-12-30 04:02 pm (UTC)Если замысел в том, чтобы научиться проверять такие свойства когомологий, нисколько при этом не приближаясь к собственно вычислению когомологий, то у меня нет идей, как бы это можно было делать.
Вернее сказать, есть одна идея: если действие группы гомотопически тривиально (пространство с действием группы гомотопически эквивалентно какому-нибудь пространству с тривиальным действием той же группы), то эквивариантные когомологии с коэффициентами в поле -- свободный модуль над эквивариантными когомологиями точки.
Если замысел не в этом, то достаточно было бы построить фильтрацию на когомологиях, присоединенный фактор к которой является свободным модулем. Для этого достаточно построить вырождающуюся спектральную последовательность, сходящуюся к искомым когомологиям, начинающуюся со свободного модуля.
Т.е. чуть более возвышенный вариант утверждения, что когомологии пространства, разбитого на четномерные клетки, являются (при очевидных условиях конечности) свободными абелевыми группами.