Сами мы не местные

[leblon]

Эквивариантные когомологии пространства являются модулем над эквивариантными когомологиями точки. Есть ли какой-нибудь простой признак, по которому можно определить, что этот модуль свободный?

Comments

[leblon.livejournal.com]

Мне надо посчитать эквивариантные когомологии некоего многообразия. Я где-то видел утверждение, что с точностью до модулей кручения эквивариантные когомологии равны тензорному произведению когомологий точки на обычные когомологии неподвижной части многообразия. Неподвижная часть у меня очень простая. Теперь остается выяснить, есть ли там вообще кручение.

[posic.livejournal.com]

Тогда это вопрос о том, при каких условиях пространство и его подпространство имеют одинаковые эквивариантные когомологии.

[posic.livejournal.com]

Само утверждение сомнительно, в то же время. Пусть G -- компактная группа Ли, T -- ее максимальный тор, X=G/T -- интересующее нас многообразие с действием G. Тогда неподвижная часть X пуста, если G не совпадает с T. А эквивариантные когомологии X как G-многообразия равны эквивариантным когомологиям точки как T-многообразия, то есть когомологиям BT. Последние не являются модулем кручения над когомологиями BG (не помню, являются ли они свободным модулем). Например, если G=U(n), n>1, то когомологии BT есть кольцо многочленов от n переменных x_1,...,x_n, живущих в градуировке 2. А когомологии BG есть подкольцо симметрических многочленов от x_1,...,x_n.

[leblon.livejournal.com]

Как указано ниже, это верно, когда группа - тор.

[bravchick.livejournal.com]

Я где-то видел утверждение, что с точностью до модулей кручения эквивариантные когомологии равны тензорному произведению когомологий точки на обычные когомологии неподвижной части многообразия.

Это верно, для эквивариантных когомологий относительно тора. Называется теорема локализации (она очень внятно и коротко изложена в статье Атьи и Ботта "The moment map and equivariant cohomology"). Для неабелевой группы все сложнее и, на сколько я знаю, общих утверждений такого рода нет.

[leblon.livejournal.com]

Да, спасибо, я забыл указать, что группа - тор.

[roma.livejournal.com]

nu, dlja gruppy Lie est' i svoditsja k toru?

[bravchick.livejournal.com]

Это как? Мне казалось, что в общем случае когомологии вообще не произведение по модулю кручения. Эквивариантные когомологии группы, это инварианты в когомологиях относительно тора. Но неподвижные точки относительно тора не равны неподвижным точкам относительно группы. Можно пробовать выразить все через когомологии неподвижных точек тора и того как на них действует группа Вейля. Но мне казалось, что если ничего не предполагать про это действие, то никаких общих утверждений сделать нельзя.

[roma.livejournal.com]

Sorry, ja nevnimatel'no prochital vopros. Obychno ispol'zuetsja, chto esli vzjat' element s v gruppe i (skazhem) popolnit' po sootv. harakteru ekv-h kogomologij tochki, to rezul'tat opisyvaetsja cherez nepodvizhnye tochki etogo elementa. Eto, razumeetsja, svoditsja k sluchaju kogda gruppa -- tor.