Об закон Ома

[leblon]

Оказывается, до сих пор неизвестно, как вывести закон Ома из микроскопической теории электронов. Конечно, есть жульнические выводы (в любом учебнике по теории твердого тела), но ни одного честного. Честно доказано только следующее: если все электроны локализованы (из-за случайного потенциала), то сопротивление бесконечно (имеется в виду, сопротивление постоянному току). Т.е. проводимость равна нулю и ток не течет. Это замечательно, но нам-то интересно вывести знаменитую формулу Друде, которая говорит, что проводимость пропорциональна длине свободного пробега. А вот тут облом. 

Далее, теория Друде это, конечно, очень наивная теория. В 50х годах Кубо вывел знаменитую "общую" формулу для проводимости, через интегралы от корреляторов тока. В отличие от теории Друде, считается, что она применима даже в случае, когда квантовые эффекты велики. Беда в том, что (1) непонятно, когда эта формула дает конечный (и ненулевой) результат; (2) нет ни одной модели, где можно было бы показать, что формула Кубо дает конечный и ненулевой результат; (3) предположения, в которых выведена формула, противоречат сами себе, строго говоря, потому что с одной стороны постулируют существование стационарного состояния с ненулевым током, а с другой стороны, не включают никакого способа отвести куда нибудь образующееся джоулево тепло. 

Ситуация с законом Фурье (т.е. теплопроводностью) еще хуже.

Comments

[juan_gandhi]

Таак... как только добавляем тепло, система становится нестационарной. Ужас. Вы меня сейчас разуверите в законе Ома.

[dmm]

Вот-вот, начинаешь сомневаться в редукционизме :-) Хммм...

[tiresome_cat]

Все зависит от области применения. Если это теория электрических цепей, то там вроде всё как обычно :)

[leblon]

Тут надо понимать, что вопрос не в том, правда ли что падение напряжения пропорционально току. Ну, пусть пропорционально (при малых токах), с какой стати ему быть неаналитической функцией тока? Вопрос в том, от чего зависит буковка R которая входит в закон Ома. В частности, почему сопротивление зависит так, как оно зависит, от поперечного сечения провода и его длины, и почему оно не зависит от того, как устроено окружение провода (куда, собственно, и уходит энергия)? Например, от того, окружен ли провод изоляцией, или просто воздухом? Иначе говоря, почему можно посчитать сопротивление параллелепипеда, сделанного из куска чистой меди, просто заглянув в справочник и умножив число, взятое оттуда, на длину и поделив на площадь поперечного сечения?

[juan_gandhi]

Тут уже законы Кирхгофа как бы намекают.

[alexanderr]

это не совсем так. точнее, это совсем не так, как учат электрических инженеров.

в реальном проводе всегда есть скин-эффект, ток по нему течет крайне неоднородно, есть емкость, индуктивность и вообще его невозможно описать никаким законом Ома, а нужно честно решать уравнения Максвелла в трехмерном пространстве. и окружение провода конечно же будет крайне важно и его придется тоже учесть при решении уравнений. 3D решалок очень много разных (например HFSS, ЕМХ, но их реально много), инженерам без них просто никуда

а кроме того, электрических инженеров учат флуктуационно-диссипативной теореме, и они знают, что провод с ненулевым сопротивлением будет сильно "шуметь", в зависимости от температуры, сопротивления и так далее. хуже того, инжемерам приходится изучать несколько видов разных шумов, thermal, flicker, shot noise и так далее

[leblon]

Я про постоянный ток говорил, так что все это (скин эффект и т.д.) не имеет отношения к делу.

[glav]

Насчёт Джоулева тепла, там всегда предполагается бесконечный резервуар с постоянной температурой. Почему это противоречит ненулевому току?

Даже в законе Фурье все градиенты предполагаются малыми и явно существует температура резервуара.

[glav]

Насколько я понимаю, формула Кубо не должна доказывать существование и конечность проводимости. Цепочка рассуждений обратная: "допустим, что коэффициент существует и конечен, тогда… ". А конкретные модели на то и модели, что справедливы в "идеальных" условиях. Собственно, явное выражение для коэффициента теплопроводности существует лишь для идеальных газов. Для неидеальных систем они все считаются в симуляциях, по той самой формуле Кубо.

[leblon]

Резервуар, конечно, необходим для существования стационарного состояния. Проблема в том, что при выводе формулы Кубо он никак не учитывается: система считается замкнутой.

[leblon]

Как это "неважно"? Во-первых, нужно же знать, когда можно формулу применять, а когда нельзя? Если формула дает иногда бесконечный результат, и нет никакого способа заранее определить, когда это происходит, то очень хреновая ситуация. Во-вторых, во всех случаях, когда удается показать (а не голословно заявить), что результат получается конечным, то он всегда оказывается равным нулю! В третьих, при симуляциях транспортных коэффициентов на компьютере (например, методом молекулярной динамики), всегда добавляют негамильтоновы силы, призванные как раз изображать термостат. Никакого хорошего обоснования этой процедуры нет, но иначе вообще стационарное состояние не получить.

[glav]

Формулу можно применять всегда, когда градиенты небольшие. Что есть "небольшой" определяется экспериментальным путём. Известно, что у определённых жидкостей (про электронные расчёты я ничего не знаю, исхожу из того, что подход аналогичен молекулярным системам) автокорреляционные функции имеют толстые хвосты, и это действительно проблема для сходимости. Но, насколько я знаю, это не инвалидирует саму формулу Кубо, а расширяет её интерпретацию (например, с помощью нелокальности коэффициентов).

Не понял насчёт нулевого результата.

Да, термостат добавляют, потому что он там должен быть по определению. Почему вы считаете, что система замкнута?

[leblon]

Я еще раз повторяю, что иногда формула дает бесконечный результат. Как же ее применять тогда? Причем здесь градиенты, если формула дает бесконечность?

Под нулевым результатом я имел в виду нулевое значение проводимости. Так получается, например, если все состояния электронов локализованы. Это единственный случай, когда можно доказать, что формула Кубо дает конечный результат.

"Почему вы считаете, что система замкнута?" Не я так считаю, а Кубо. Кубо вывел "формулу Кубо" используя предположение об унитарной эволюции матрицы плотности. По определению, это означает, что система замкнута. Конечно, на практике для вычисления корреляторов люди "переобуваются" и добавляют нефизические негамильтоновы силы, но при этом используют ту же формулу. Причем разные люди используют разные негамильтоновы силы. Как это назвать? Это не теорфизика, а жульничество.

[alexanderr]

постоянный ток тоже шумит и тоже течет неоднородно

[alexanderr]

ну и потом понятно, что постоянный ток это некий предел, частота стремится к нулю. в зависимости от деталей, как этот предел достигается, часто можно получить разные ответы

[leblon]

Закон Ома это про среднее значение тока, а не про шум. ФДТ говорит нам, как шум связан с проводимостью, но ничего не говорит нам, чему равна эта самая проводимость.

Почему постоянный ток должен неравномерно распределяться по диаметру провода?

"в зависимости от деталей, как этот предел достигается, часто можно получить разные ответы"

Как это? Предел (как функция частоты) либо есть, либо его нет. На практике, он всегда есть (ну, кроме случая сверхпроводников).

[glav]

Я имел в виду, что не знаю про результаты с бесконечной и нулевой проводимостью. Можете дать ссылку на них?

У Кубо два результата: для замкнутой и канонической системы :) В молекулярной динамике используют второй. Можно, конечно, обсуждать, как именно Кубо получает второй из первого (подобные обсуждения, кстати, велись для более поздних результатов Эванса и Яржинского), но симуляторщики тут никак не мухлюют. Есть также разные способы реализации термостата в симуляциях, но это чисто "инженерные" финты, тоже не связанные с теоретическим выводом.

[leblon]

Бесконечная проводимость получается в ситуации с периодическим потенциалом (и без учета взаимодействия электронов, потому что учитывать их взаимодействие никто не умеет). Это тривиальный результат, следует непосредственно из теоремы Блоха и формулы Кубо.

Нулевая проводимость: это есть в книге Aizenman, Warzel, "Random operators". Ну и в разных статьях, например, вот: https://arxiv.org/abs/math-ph/0408028 . Тут нужен случайный потенциал (и опять же, невзаимодействующие электроны.

"У Кубо два результата: для замкнутой и канонической системы." Я не понял, что такое каноническая система. В смысле, канонический ансамбль? Это совершенно неважно, какой ансамбль. Важно, что при выводе предполагается, что матрица плотности удовлетворяет квантовому уравнению Лиувилля. Это означает, что система замкнута в процессе эволюции, а значит стационарного состояния получиться не может.

Наконец, что касается термостатов (гауссовы там, или Nose-Hoover). Все они абсолютно нефизичны. Я не видел, чтобы где либо доказывалось, что они эквивалентны чему то более физически обоснованному. Наиболее подробное обсуждение есть в книге Evans, Morriss, но по моему оно не удовлетворительно даже для классической молекулярной динамики, а уж что делать в квантовом случае или систем на решетке вообще непонятно.

[alexanderr]

> Почему постоянный ток должен неравномерно распределяться по диаметру провода?

ну, а как он там оказался? какие граничные условия наложить, так он и потечет. конечно, если сразу предположить, что ток и инжектируется и забирается идеально равномерно вдоль всего сечения, то (кроме случая сверхпроводников) он так и потечет. но конечно в реальности создать такую ситуацию крайне затруднительно.

кроме граничных условий, как вы правильно заметили, есть и много других соображений. ток неизбежно приведет к выделению тепла, т.е. в центре провода температура будет не равна температуре на краях, т.е. как результат и локальная проводимость изменится тоже. и соответственно изменится плотность тока тоже

еще один законный вопрос, который я согласен, что можно задать, это почему же магнитное поле, созданное проводом совершенно никак не влияет на то, что вне провода, почему это взаимодействие игнорируется. но конечно, есть много ситуаций, когда это влияние и взаимодействие безусловно будет

про переход к пределу DC, конечно предел есть, но он может зависеть от траектории, как мы к этому пределу пришли. ну, например я стремил частоту к нулю, но при этом моя емкость стремилась к бесконечности или индуктивность. другой пример это масштабы времен, строго DC достигается только за бесконечное время. а на конечных временах если ток был в какой-то момент включен и потек, то какие-то частотные компоненты могут жить еще очень долго. и хотя напряжение формально постоянное, но на самом деле ток так и не будет постоянным очень долго

в целом, эта картинка с однородным и постоянным током вдоль сечения действительно идеализирована невероятно. трудно создать ситуацию, когда она близка к действительности