Об закон Ома

[leblon]

Оказывается, до сих пор неизвестно, как вывести закон Ома из микроскопической теории электронов. Конечно, есть жульнические выводы (в любом учебнике по теории твердого тела), но ни одного честного. Честно доказано только следующее: если все электроны локализованы (из-за случайного потенциала), то сопротивление бесконечно (имеется в виду, сопротивление постоянному току). Т.е. проводимость равна нулю и ток не течет. Это замечательно, но нам-то интересно вывести знаменитую формулу Друде, которая говорит, что проводимость пропорциональна длине свободного пробега. А вот тут облом. 

Далее, теория Друде это, конечно, очень наивная теория. В 50х годах Кубо вывел знаменитую "общую" формулу для проводимости, через интегралы от корреляторов тока. В отличие от теории Друде, считается, что она применима даже в случае, когда квантовые эффекты велики. Беда в том, что (1) непонятно, когда эта формула дает конечный (и ненулевой) результат; (2) нет ни одной модели, где можно было бы показать, что формула Кубо дает конечный и ненулевой результат; (3) предположения, в которых выведена формула, противоречат сами себе, строго говоря, потому что с одной стороны постулируют существование стационарного состояния с ненулевым током, а с другой стороны, не включают никакого способа отвести куда нибудь образующееся джоулево тепло. 

Ситуация с законом Фурье (т.е. теплопроводностью) еще хуже.

Comments

[leblon]

Как это "неважно"? Во-первых, нужно же знать, когда можно формулу применять, а когда нельзя? Если формула дает иногда бесконечный результат, и нет никакого способа заранее определить, когда это происходит, то очень хреновая ситуация. Во-вторых, во всех случаях, когда удается показать (а не голословно заявить), что результат получается конечным, то он всегда оказывается равным нулю! В третьих, при симуляциях транспортных коэффициентов на компьютере (например, методом молекулярной динамики), всегда добавляют негамильтоновы силы, призванные как раз изображать термостат. Никакого хорошего обоснования этой процедуры нет, но иначе вообще стационарное состояние не получить.

[glav]

Формулу можно применять всегда, когда градиенты небольшие. Что есть "небольшой" определяется экспериментальным путём. Известно, что у определённых жидкостей (про электронные расчёты я ничего не знаю, исхожу из того, что подход аналогичен молекулярным системам) автокорреляционные функции имеют толстые хвосты, и это действительно проблема для сходимости. Но, насколько я знаю, это не инвалидирует саму формулу Кубо, а расширяет её интерпретацию (например, с помощью нелокальности коэффициентов).

Не понял насчёт нулевого результата.

Да, термостат добавляют, потому что он там должен быть по определению. Почему вы считаете, что система замкнута?

[leblon]

Я еще раз повторяю, что иногда формула дает бесконечный результат. Как же ее применять тогда? Причем здесь градиенты, если формула дает бесконечность?

Под нулевым результатом я имел в виду нулевое значение проводимости. Так получается, например, если все состояния электронов локализованы. Это единственный случай, когда можно доказать, что формула Кубо дает конечный результат.

"Почему вы считаете, что система замкнута?" Не я так считаю, а Кубо. Кубо вывел "формулу Кубо" используя предположение об унитарной эволюции матрицы плотности. По определению, это означает, что система замкнута. Конечно, на практике для вычисления корреляторов люди "переобуваются" и добавляют нефизические негамильтоновы силы, но при этом используют ту же формулу. Причем разные люди используют разные негамильтоновы силы. Как это назвать? Это не теорфизика, а жульничество.

[glav]

Я имел в виду, что не знаю про результаты с бесконечной и нулевой проводимостью. Можете дать ссылку на них?

У Кубо два результата: для замкнутой и канонической системы :) В молекулярной динамике используют второй. Можно, конечно, обсуждать, как именно Кубо получает второй из первого (подобные обсуждения, кстати, велись для более поздних результатов Эванса и Яржинского), но симуляторщики тут никак не мухлюют. Есть также разные способы реализации термостата в симуляциях, но это чисто "инженерные" финты, тоже не связанные с теоретическим выводом.

[leblon]

Бесконечная проводимость получается в ситуации с периодическим потенциалом (и без учета взаимодействия электронов, потому что учитывать их взаимодействие никто не умеет). Это тривиальный результат, следует непосредственно из теоремы Блоха и формулы Кубо.

Нулевая проводимость: это есть в книге Aizenman, Warzel, "Random operators". Ну и в разных статьях, например, вот: https://arxiv.org/abs/math-ph/0408028 . Тут нужен случайный потенциал (и опять же, невзаимодействующие электроны.

"У Кубо два результата: для замкнутой и канонической системы." Я не понял, что такое каноническая система. В смысле, канонический ансамбль? Это совершенно неважно, какой ансамбль. Важно, что при выводе предполагается, что матрица плотности удовлетворяет квантовому уравнению Лиувилля. Это означает, что система замкнута в процессе эволюции, а значит стационарного состояния получиться не может.

Наконец, что касается термостатов (гауссовы там, или Nose-Hoover). Все они абсолютно нефизичны. Я не видел, чтобы где либо доказывалось, что они эквивалентны чему то более физически обоснованному. Наиболее подробное обсуждение есть в книге Evans, Morriss, но по моему оно не удовлетворительно даже для классической молекулярной динамики, а уж что делать в квантовом случае или систем на решетке вообще непонятно.