Гомологическая алгебра и квантовая механика

[leblon]

Вчера Тудор Димофте сделал красивый доклад у нас на семинаре. Пусть у нас есть суперсимметричная квантовая механика описывающая частицу со спином на искривленном компактном пространстве Х. Суперсимметричные основные состояния этой системы имеют нулевую энергию и состоят из гармонических форм на Х. По теореме Ходжа, это то же самое, что когомологии де Рама Х (с компексными коэффициентами).  Если на Х действует группа Ли Н, то у этой суперсимметричной квантовой механики есть суперсимметричная деформация: к гамильтониану добавляется квадрат векторного поля Киллинга соответствующего какому-то элементу в алгебре Ли группы Н. Этот потенциал имеет нули в нулях поля Киллинга. Если нулей нет, то суперсимметрия спонтанно нарушена, т.е. основные состояния имеют энергию строго больше нуля. Подобное происходит в суперсимметричных теориях поля: спонтанное нарушение суперсимметрии ведет к ненулевой энергии вакуума, т.е. к космологической постоянной. Какова же энергия основного состояния? Напрашивающийся ответ: порядка деформации гамильтониана. Но правильный ответ другой и гораздо более интересный. Пространство всех состояний суперсимметричной квантовой механики образует бесконечомерный DG модуль над пространством цепей в группе Ли. Когомологии этого DG модуля это и есть пространство суперсимметричных основных состояний, и они образуют конечномерный модуль над гомологиями группы Ли. Однако, на этом конечномерном модуле есть дополнительные операции ("операции Масси"), которые превращают этот модуль в А-infinity модуль. Оказывается, если первые K операций обращаются в ноль, то  энергия основного состояния имеет порядок К+1 в теории возмущений по величине деформации. Например, если Х - это сфера размерности 2К+1, группа Н - это окружность, a интегральные линии поля Киллинга- это слои расслоения Хопфа, то первая нетривиальная операция появляется в степени 2К+1 (по соображениям размерности), а значит энергия основного состояния будет равна нулю вплоть до порядка 2К+1 в теории возмущений. 

Comments

Теперь позвольте пару слов без протокола

[clovis3.livejournal.com]

Пространство всех состояний суперсимметричной квантовой механики образует бесконечомерный DG модуль над пространством цепей в группе Ли. Когомологии этого DG модуля это и есть пространство суперсимметричных основных состояний, и они образуют конечномерный модуль над гомологиями группы Ли.

? А не эквивариантные когомологии X, которые были бы модулем над инвариантными многочленами H?

Нет ли у этой конструкции аналога в изначально рассмотренном Виттеном более простом случае, когда на X есть суперпотенциал W? Если W -- это функция Морса, то получается соответствующий комплекс, и те критические точки, которые убиваются, наверное, получают энергию порядка квазиклассической экспоненты (это уж как водится) с какой-то понятной степенью h перед ней. Но если W имеет вырожденные критические точки, то возможно, амплитуды подбарьерных переходов имеют более высокие степени h, и тут возможны всякие сокращения, связанные с операциями Масси на когомологиях X.

Re: Теперь позвольте пару слов без протокола

[leblon.livejournal.com]

На первый вопрос Тудор ответил в ходе доклада так: это то же самое. Это специальный случай кошулевой двойственности. Если считать симметрию глобальной, то естественней думать про модуль над гомологиями Н. Если считать ее калибровочной, то естественней думать про модуль над инвариантными многочленами Н. Кошулева двойственность означает, что можно ходить туда-сюда не теряя информации.

На второй вопрос ответа не знаю. Т.е. формально. наверное, надо смотреть на когомологии де Рама как на A-infinity алгебру. Однако довольно часто эта алгебра формальна, т.е. все операции Масси равны нулю. Например, в известной статье Deligne, Griffiths, Morgan, Sullivan доказано, что это так если Х - кэлерово многообразие.

Re: Теперь позвольте пару слов без протокола

[clovis3.livejournal.com]

Однако довольно часто эта алгебра формальна, т.е. все операции Масси равны нулю. Например, в известной статье Deligne, Griffiths, Morgan, Sullivan доказано, что это так если Х - кэлерово многообразие.

Получается, что расширенная суперсимметрия запрещает высшие произведения?

Re: Теперь позвольте пару слов без протокола

[leblon.livejournal.com]

Вроде так. Что-то подобное было у нас в статье с Виттеном про геометрический Ленглендс. Там в какой-то момент надо было считать гомологию Флоера лагранжевого пересечения, и благодаря тому, что объемлющее многообразие было гиперкэлеровым, а наши лагранжевы подмногообразия были комплексными лагранжевыми по отношению к комплексной симплектической структуре, наивный ответ (без учета флоеровского дифференциала) совпадал с правильным. Если я правильно помню.