Гомологическая алгебра и квантовая механика

[leblon]

Вчера Тудор Димофте сделал красивый доклад у нас на семинаре. Пусть у нас есть суперсимметричная квантовая механика описывающая частицу со спином на искривленном компактном пространстве Х. Суперсимметричные основные состояния этой системы имеют нулевую энергию и состоят из гармонических форм на Х. По теореме Ходжа, это то же самое, что когомологии де Рама Х (с компексными коэффициентами).  Если на Х действует группа Ли Н, то у этой суперсимметричной квантовой механики есть суперсимметричная деформация: к гамильтониану добавляется квадрат векторного поля Киллинга соответствующего какому-то элементу в алгебре Ли группы Н. Этот потенциал имеет нули в нулях поля Киллинга. Если нулей нет, то суперсимметрия спонтанно нарушена, т.е. основные состояния имеют энергию строго больше нуля. Подобное происходит в суперсимметричных теориях поля: спонтанное нарушение суперсимметрии ведет к ненулевой энергии вакуума, т.е. к космологической постоянной. Какова же энергия основного состояния? Напрашивающийся ответ: порядка деформации гамильтониана. Но правильный ответ другой и гораздо более интересный. Пространство всех состояний суперсимметричной квантовой механики образует бесконечомерный DG модуль над пространством цепей в группе Ли. Когомологии этого DG модуля это и есть пространство суперсимметричных основных состояний, и они образуют конечномерный модуль над гомологиями группы Ли. Однако, на этом конечномерном модуле есть дополнительные операции ("операции Масси"), которые превращают этот модуль в А-infinity модуль. Оказывается, если первые K операций обращаются в ноль, то  энергия основного состояния имеет порядок К+1 в теории возмущений по величине деформации. Например, если Х - это сфера размерности 2К+1, группа Н - это окружность, a интегральные линии поля Киллинга- это слои расслоения Хопфа, то первая нетривиальная операция появляется в степени 2К+1 (по соображениям размерности), а значит энергия основного состояния будет равна нулю вплоть до порядка 2К+1 в теории возмущений.