Я как раз первый том ЛЛ и имел ввиду, почти-что процитировал его. Не нужны никакие симметрии для сохраняющихся величин. Симметрии лишь упрощают вид (запись) законов сохранения. Например, одномерное уравнение Ньютона для частицы во внешнем неоднородном и явно зависящем от времени поле имеет два интеграла движения, хотя никаких симметрий у задачи нет.
Очевидно, мы говорим о несколько "разных" вещах. Я называю законами сохранения все интергалы движения (широкое толкование), а Вы - только некоторые (общепринятое или узкое толкование). Для меня важнее, чтобы уравнения имели физические решения, так как не все уравнения их имеют, хотя формально "законы сохранения" можно написать и для них.
In classical mechanics, any conserved quantity which does not have explicit time-dependence is a generator of a one-parameter family of canonical transformations which commutes with time evolution. That is, every conserved quantity corresponds to a symmetry. This is a theorem, are you arguing with a theorem? You may not wish to think about this symmetry, for ideological reasons, but it is there nevertheless.
Нет, я с теоремами не спорю. Просто я не понимаю, а что делать с сохраняющимися величинами, которые явно зависят от времени. Казнить их я не вижу повода.
Возьмем частицу с массой m=1 во внешнем однородном, но явно зависящем от времени поле сил F(t). Ее скорость есть v(t) = v(0) + int_0^t dt' F(t'), откуда v(0) = v(t) - int_0^t F(t')dt' - первая сохраняющаяся величина (комбинация динамических величин и времени, не меняющаяся во времени). Проинтегрировав еще раз, получим вторую независимую сохраняющуюся величину: x(0)=x(t)-v(0)t -int_0^t dt' {int_0^t' F(t'')dt''}. Эти сохраняющиеся величины - следствие существования решений уравнения Ньютона и все. Их можно комбинировать как угодно в другие сохраняющиеся величины, как вздумается, но такие привычные комбинации, как энергия и импульс сохраняться не будут. Если же взять частный вид силы - силу, явно не зависящую от времени, то энергия станет сохраняться, но это не будет третьей независимой сохраняющейся величиной, а будет сводиться к комбинации предыдущих двух. Поэтому главным является, на мой взгляд, корректная формулировка уравнений. Меня раздражает, например, бодрое и радостное написание формально сохраняющихся величин в классической электродинамике (и не только там), когда фактически физических решений нет, и, значит, и содержательных сохраняющихся величин тоже. А все потому, что не на то делается упор при построении физической теории. (В классической электродинамике масса электрона "приобретает" бесконечную поправку, ведущую к решениям v(t) = v(0), x(t) = x(0) +v(0)t при любой внешней силе. Хороша динамика?).
Канонические преобразования тоже всего лишь частный случай замены переменных. Если замена переменных позволяет разрешить уравнения, но не сохраняет "каноническую форму" новых уравнений, тем хуже для формы. Важно лишь суметь решить уравнения.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png)
branchandroot
(no subject)
Date: 2013-04-07 06:43 pm (UTC)(no subject)
Date: 2013-04-08 11:00 am (UTC)(no subject)
Date: 2013-04-09 04:24 pm (UTC)(no subject)
Date: 2013-04-09 05:27 pm (UTC)Возьмем частицу с массой m=1 во внешнем однородном, но явно зависящем от времени поле сил F(t). Ее скорость есть v(t) = v(0) + int_0^t dt' F(t'), откуда v(0) = v(t) - int_0^t F(t')dt' - первая сохраняющаяся величина (комбинация динамических величин и времени, не меняющаяся во времени). Проинтегрировав еще раз, получим вторую независимую сохраняющуюся величину: x(0)=x(t)-v(0)t -int_0^t dt' {int_0^t' F(t'')dt''}. Эти сохраняющиеся величины - следствие существования решений уравнения Ньютона и все. Их можно комбинировать как угодно в другие сохраняющиеся величины, как вздумается, но такие привычные комбинации, как энергия и импульс сохраняться не будут. Если же взять частный вид силы - силу, явно не зависящую от времени, то энергия станет сохраняться, но это не будет третьей независимой сохраняющейся величиной, а будет сводиться к комбинации предыдущих двух. Поэтому главным является, на мой взгляд, корректная формулировка уравнений. Меня раздражает, например, бодрое и радостное написание формально сохраняющихся величин в классической электродинамике (и не только там), когда фактически физических решений нет, и, значит, и содержательных сохраняющихся величин тоже. А все потому, что не на то делается упор при построении физической теории. (В классической электродинамике масса электрона "приобретает" бесконечную поправку, ведущую к решениям v(t) = v(0), x(t) = x(0) +v(0)t при любой внешней силе. Хороша динамика?).
Канонические преобразования тоже всего лишь частный случай замены переменных. Если замена переменных позволяет разрешить уравнения, но не сохраняет "каноническую форму" новых уравнений, тем хуже для формы. Важно лишь суметь решить уравнения.